Về Môđun và vành S-CS

Những năm sau đó, khái niệm này và các khái niệm mở rộng của nó đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới.Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là nội xạ nế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HOÀNG OANH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Khái niệm môđun nội xạ được R Baer nghiên cứu đầu tiên vào năm

1940 Những năm sau đó, khái niệm này và các khái niệm mở rộng của nó

đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới.Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là nội xạ nếu với mọi đơncấu f : PR → QR, với mọi PR, QR, mỗi đồng cấu γ : PR → MR tồn tại

R-đồng cấu γ : QR → MR sao cho γf = γ.

Môđun M được gọi là CS nếu mọi môđun con của M cốt yếu trongmột hạng tử trực tiếp của M. Rõ ràng, môđun nội xạ là CS Các kết quả

về môđun CS được nghiên cứu và viết đầy đủ trong quyển sách “Extendingmodules” (N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer) Trongđịnh nghĩa môđun CS, nếu ta chỉ lấy các môđun con suy biến của M thay

vì mọi môđun con của M thì môđun mới này được gọi là s-CS

Được sự gợi ý của thầy giáo, GS TS Lê Văn Thuyết, tôi chọn đề tài:

VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S-CS làm đề tài luận văn của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là tổng quan các kiến thức liên quan đến môđun

và vành s-CS Trong quá trình tổng quan, chúng tôi sẽ chứng minh cụ thểcác tính chất của lớp môđun và vành này, làm rõ thông qua một số ví dụ

Là một tổng quan nên nó có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho một sốhọc viên cao học, cho các sinh viên toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là môđun và vành s-CS

Phạm vi nghiên cứu của luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, vàcác tính chất của lớp môđun và vành s-CS

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc hiểu các vấn đề liên quan đến môđun nội xạ, môđun CS

- Thu thập nghiên cứu các tài liệu, bài báo liên quan đến môđun vàvành s-CS

- Tổng hợp, phân tích, giải quyết các vấn đề nảy sinh

- Trao đổi, thuyết trình tại xêmina của nhóm

5 Bố cục đề tài

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun, môđun concốt yếu và đối cốt yếu, môđun con suy biến và không suy biến, môđun conđóng và UC-môđun, môđun nội xạ, môđun CS và một số vành liên quan.Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ, các tính chất của môđun vàvành s-CS

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản

về môđun, môđun con cốt yếu và đối cốt yếu, môđun con suy biến và khôngsuy biến, môđun con đóng và UC-môđun, môđun nội xạ, môđun CS và một

số vành liên quan

Trong suốt luận văn này, vành được nhắc đến luôn là vành kết hợp cóđơn vị 1 6= 0, các R-môđun đều unita và khi nói đến môđun ta hiểu làmôđun phải

1.1 Một số khái niệm cơ bản về môđun

Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con

là 0 và M. Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan (haiphía) là 0 và R.

MôđunM được gọi là nửa đơn nếu M là tổng trực tiếp của các môđuncon đơn Vành R được gọi là nửa đơn phải (t.ư., trái) nếu RR (t.ư., RR)nửa đơn

Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun M

nếu A 6= 0 và với mọi môđun con B của M mà B < A thì B = 0. Môđuncon A ≤ M được gọi là môđun con cực đại của môđun M nếu A 6= M

và với mọi môđun con B của M mà A < B thì B = M.

Mệnh đề 1.1.1 Môđun MR đơn khi và chỉ khi M 6= 0 và với mọi

0 6= m ∈ M, M = mR.

Cho A và B là hai R-môđun phải Đồng cấu α từ A vào B là ánh xạ

Sau đây là định lý cơ bản về đồng cấu môđun.

Định lý 1.1.3 Mỗi đồng cấu của các môđun phải α : A → B đều

có thể phân tích được α = α0ν, trong đó đồng cấu ν : A → A/Ker(α)

là toàn cấu chính tắc, còn α0 : A/Ker(α) → B là đơn cấu xác địnhbởi α0(a + Ker(α)) = α(a).

Đơn cấu α0 là đẳng cấu khi và chỉ khi α toàn cấu

Ta thu được hệ quả sau từ định lý cơ bản về đồng cấu môđun

Hệ quả 1.1.4 Cho α : AR → BR là đồng cấu R-môđun Lúc đó:

của RR nếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR.

Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng là một lũy đẳng và

1.2 Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu

Một môđun con K của M là cốt yếu hoặc lớn trong M nếu với mọimôđun con L ≤ M, K ∩ L = 0 suy ra L = 0. Khi đó chúng ta cũng gọi

M là mở rộng cốt yếu của K và được ký hiệu là K ≤e M. Một môđuncon K của M là đối cốt yếu hoặc bé trong M nếu với mọi môđun con

L ≤ M, K + L = M suy ra L = M và được ký hiệu là K  M.

Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Im(f ) ≤e M. Toàncấu g : M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(g)  M.

Dưới đây là một vài tính chất đặc trưng của môđun con cốt yếu vàmôđun con đối cốt yếu

Mệnh đề 1.2.1 Cho MR, K ≤ N ≤ M và H ≤ M. Khi đó:(1) K ≤e M ⇔ K ≤e N và N ≤e M.

(2) H ∩ K ≤e M ⇔ H ≤e M và K ≤e M.

Mệnh đề 1.2.2 Cho MR, K ≤ N ≤ M và H ≤ M. Khi đó:(1) N  M ⇔ K  M và N/K  M/K.

(2) H + K  M ⇔ H  M và K  M.

Mệnh đề 1.2.3 Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu vàchỉ nếu với mỗi 0 6= x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K.

Đế phải của môđun MR được ký hiệu là soc (MR), nó là tổng của tất

cả các môđun con đơn của MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếucủa MR, đây là môđun con nửa đơn lớn nhất của M Căn của môđun MR

được ký hiệu là rad (MR) nó là giao của tất cả các môđun con cực đại của

MR, là tổng của tất cả các môđun con đối cốt yếu của MR Nếu M là nửađơn thì rad(M ) = 0 Đặc biệt, rad (RR) = rad (RR) = J (R) và

J (R) = {a ∈ R|1 − ar khả nghịch ∀r ∈ R}

Mệnh đề 1.2.8 Mọi môđun con N ≤ M có một M-phần bù.Hơn nữa, nếu N0 là một M-phần bù của N, thì:

(1) N ⊕ N0 ≤e M.

(2) (N ⊕ N0)/N0 ≤e M/N0.

1.3 Môđun con suy biến và môđun con không suy biến

Cho MR và X ⊆ M. Linh hóa tử phải của X trong R được địnhnghĩa là:

r(X) = {r ∈ R|xr = 0, x ∈ X}.

Cho A ⊆ R. Linh hóa tử trái của A trong M là:

l(A) = {m ∈ M |ma = 0, a ∈ A}.

Cho MR. Phần tử m ∈ M được gọi là phần tử suy biến của M nếuiđêan phải r(m) cốt yếu trong RR. Tập hợp tất cả các phần tử suy biếncủa M được ký hiệu là Z(M ).

Một môđun MR được gọi là suy biến (t.ư., không suy biến) nếu

Z(M ) = M (t.ư., Z(M ) = 0) Vành R được gọi là suy biến phải (t.ư.,suy biến trái, suy biến) nếu Z(RR) = R (t.ư., Z(RR) = R, suy biếnphải và suy biến trái ) Định nghĩa tương tự đối với vành R không suy biếnphải

Một môđun N được gọi là môđun con suy biến của M nếu N ≤ M

và r(N ) ≤e RR.

Mệnh đề 1.3.2 Cho vành R, S = soc(RR). Khi đó:

(2) Nếu A ≤ B và Z(B) = 0 thì Z(B/A) = B/A ⇔ A ≤e B.

Môđun con suy biến thứ hai Z2(M ) của M là môđun con của M

chứa Z(M ) sao cho Z2(M )/Z(M ) = Z(M/Z(M )).

Mệnh đề 1.3.5 Cho R-môđun phải M, khi đó:

(1) Z(M ) ≤e Z2(M ).

(2) Nếu U ≤ M và M/U là môđun không suy biến thì Z2(M ) ≤ U.

1.4 Môđun con đóng và UC-môđun

Môđun con C được gọi là đóng trong M nếu C không có mở rộng cốtyếu thực sự trong M và được ký hiệu là C ≤c M.

Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong

M nếu K đóng trong M và N ≤e K.

Định lý sau khẳng định sự tồn tại bao đóng của một môđun

Định lý 1.4.1 Bao đóng của một môđun luôn tồn tại

Dưới đây là một vài tính chất đặc trưng của môđun con đóng

Mệnh đề 1.4.2 Nếu C ≤ D ≤ M, C ≤c D và D ≤c M thì

C ≤c M.

Mệnh đề 1.4.3 Giả sử M là một môđun Khi đó mọi hạng tửtrực tiếp của M đóng trong M.

Từ Mệnh đề 1.4.2 và Mệnh đề 1.4.3 ta dễ dàng có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.4.4 Giả sử M là một môđun và A là môđun con tùy

ý của M, nếu A đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong

(3) Không tồn tại R-môđun X với môđun con cốt yếu thực sự Y

sao cho (X/Y ) ⊕ X nhúng được trong M.

Mệnh đề 1.4.7 Z2(M ) là môđun con đóng trong M.

1.5 Môđun nội xạ

Cho UR là một môđun Nếu MR là một môđun thì U được gọi là nội

xạ theo M (hay U là M-nội xạ) nếu với mọi đơn cấu f : KR → MR vàmỗi đồng cấu ν : KR → UR tồn tại một R-đồng cấu ν : M → U sao cho

biểu đồ sau giao hoán

Cho QR là một môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu

f : KR → MR, với mọi KR, MR và mỗi đồng cấu ν : KR → QR tồn tạimột R-đồng cấu ν : M → Q sao cho biểu đồ sau giao hoán

Cho M là R-môđun phải Đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội

xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ và µ là đơn cấu cốt yếu

Ví dụ 1.5.1 Đơn cấu ι : ZZ → QZ là bao nội xạ của ZZ.

Mệnh đề 1.5.2 Mọi môđun đều có một bao nội xạ Nó duy nhấtsai khác một phép đẳng cấu

Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu nó là M-nội xạ, tức là nếu mọiđồng cấu β : X → M với X ≤ M, mở rộng đến một tự đồng cấu β của

tử trực tiếp của M.

Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện C2 nếu môđun con A của

M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là hạng tử trựctiếp của M.

Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện C3 nếu A và B là hai hạng

tử trực tiếp của M thỏa mãn A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng là một hạng tửtrực tiếp của M.

Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 vàC2 Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1

và C3.

Mệnh đề 1.6.1 Nếu M là môđun tựa nội xạ thì M là CS

Một môđun khác không M được gọi là đều nếu với bất kì hai môđuncon khác không A, B của M ta luôn có A ∩ B 6= 0. Hay nói cách khác M

là đều nếu M 6= 0 và mọi môđun con khác không của M là cốt yếu trong

M. Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.6.2 Nếu M là môđun đều thì M là CS.

Mệnh đề 1.6.3 Mọi hạng tử trực tiếp của môđun CS là CS.Tuy nhiên không phải lúc nào tổng trực tiếp của hai môđun CS cũng

là CS Với số nguyên tố p, Z-môđun Zp⊕Z2

p là môđun CS nhưng Z-môđun

Zp⊕Z3

p không phải là môđun CS, bởi vì môđun conK = Z(1 +Zp, p +Z3p)

là môđun con đóng mà không phải hạng tử trực tiếp

Mệnh đề 1.6.4 Cho M = M1⊕ M2 với M1, M2 là các R-môđunphải Khi đó, M1 là M2-nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của

M mà N ∩ M1 = 0, tồn tại môđun con M0 của M sao cho N ⊆ M0

và M = M1 ⊕ M0.

Mệnh đề dưới đây đưa ra điều kiện để tổng trực tiếp của hai môđun

CS là môđun CS

Mệnh đề 1.6.5 Cho M = M1 ⊕ M2 với M1, M2 là các môđun

CS. Môđun M là CS nếu và chỉ nếu với mọi môđun con đóng K của

M thỏa mãn K ∩ M1 = 0 hoặc K ∩ M2 = 0 thì K là hạng tử trực tiếpcủa M.

Họ các R-môđun {Mi|i ∈ I} được gọi là nội xạ tương hỗ nếu Mi là

Mj-nội xạ với mọi i, j ∈ I, i 6= j.

Mệnh đề 1.6.6 Cho M = M1 ⊕ ⊕ Mn là tổng trực tiếp hữuhạn của các môđun nội xạ tương hỗ Mi. Khi đó M là môđun CS khi

và chỉ khi Mi là CS với mọi i.

Mệnh đề dưới đây cho thấy mối liên hệ giữa môđun CS và môđun consuy biến thứ hai của nó

Mệnh đề 1.6.7 Môđun MR là CS khi và chỉ khi M = Z2(M ) ⊕

M0, với M0 là môđun con nào đó của M sao cho M0 và Z2(M ) là cácmôđun CS và Z2(M ) là M0-nội xạ

Mệnh đề 1.6.8 Cho M là R-môđun CS và giả sử rằng:

(1) R thỏa mãn điều kiện ACC trên các iđêan trái có dạng l(m),

m ∈ M, hoặc

(2) M có dãy ACC trên các môđun con linh hóa tử

Khi đó M là tổng trực tiếp của các môđun con đều

Từ Mệnh đề 1.6.8 ta có hệ quả sau:

Hệ quả 1.6.9 Cho M là R-môđun không suy biến CS. Khi đó

M là tổng trực tiếp của các môđun con đều khi và chỉ khi R thỏa mãnđiều kiện ACC trên các iđêan trái có dạng l(m) với m ∈ M.

Cho dãy hữu hạn các môđun con của môđun A. Giả sử đó là:

0 = B0 ≤ B1 ≤ B2 ≤ ≤ Bk−1 ≤ Bk = A.

Dãy này được gọi là dãy hợp thành đối với A nếu với mọi i = 1, 2, , k,

Bi−1 cực đại trong Bi và ta nói k là độ dài của dãy hợp thành đó Độ dàicủa môđun A được định nghĩa là độ dài của dãy hợp thành của A.

Mệnh đề 1.6.10 Giả sử M = M1 ⊕ M2 với M1 là môđun nửađơn và M2 là tổng trực tiếp của các môđun nội xạ tương hỗ có độ dài

2 Khi đó M là môđun CS.

1.7 Một số vành liên quan

Vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R/J là nửa đơn và các phần

tử lũy đẳng có thể nâng được modulo J.

Mệnh đề 1.7.1 Cho vành R, các điều kiện sau tương đương:(1) R là vành nửa hoàn chỉnh

(2) Mọi R-môđun phải (trái) hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh.(3) Mọi R-môđun phải (trái) cyclic đều có phủ xạ ảnh

(4) Mọi R-môđun phải (trái) đơn đều có phủ xạ ảnh

Môđun MR được gọi là Artin (t.ư., Nơte) nếu mỗi tập khác rỗng cácmôđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu (t.ư., cực đại) Vành R

được gọi là Artin (t.ư., Nơte) phải nếu môđun RR là Artin (t.ư., Nơte).Tập κ các môđun con nào đó của môđun M được gọi là thỏa mãn điềukiện dãy giảm hay DCC nếu với mọi dãy K1 ≥ K2 ≥ ≥ Kn ≥

trong κ, tồn tại n ∈ N để cho Kn+i = Kn với i = 1, 2,

Dưới đây là đặc trưng của môđun Artin

Định lý 1.7.2 Cho MR và A ≤ M. Các điều kiện sau tươngđương:

(1) M là Artin

(2) A và M/A Artin

(3) M thỏa mãn DCC đối với tập các môđun con

(4) Mỗi môđun thương của môđun M hữu hạn đối sinh

(5) Trong tập {Ai, i ∈ I} 6= 0 các môđun con của môđun M tồntại tập con hữu hạn {Ai, i ∈ I0} (nghĩa là I0 ⊂ I hữu hạn) sao choT

trong κ, tồn tại n ∈ N để cho Kn+i = Kn với i = 1, 2,

Dưới đây là đặc trưng của môđun Nơte

Định lý 1.7.3 Cho MR và A ≤ M. Các điều kiện sau tươngđương:

(1) M là Nơte

(2) A và M/A Nơte

(3) M thỏa mãn ACC đối với tập các môđun con

(4) Mỗi môđun con của môđun M hữu hạn sinh

(5) Trong tập {Ai, i ∈ I} 6= 0 các môđun con của môđun M tồntại tập con hữu hạn {Ai, i ∈ I0} (nghĩa là I0 ⊂ I hữu hạn) sao choP

i∈I Ai = P

i∈I0 Ai.

Vành R được gọi là CS phải (t.ư., trái ) nếu RR (t.ư., RR) là CS

với F là trường Ta có vành R là CS phải.

Vành R được gọi là vành Kasch phải nếu mọi môđun phải đơn K

nhúng được trong RR hay RR đối sinh ra K.

Vành R thỏa mãn một trong các điều kiện đương tương sau được gọi

là vành tựa Frobenius, viết tắt là QF.

(1) Vành R là QF

(2) R là vành Artin phải và trái, tự nội xạ phải và trái

(3) R là vành Nơte phải và trái, tự nội xạ phải và trái

(4) R là vành Artin phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái

(5) R là vành Nơte phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái

(6) R thỏa mãn ACC đối với các linh hóa tử phải hoặc trái, tự nội xạphải và trái

Mệnh đề 1.7.5 Mọi vành nửa đơn là không suy biến Đặc biệt,vành R nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải M không suy biến.Vành R được gọi là vành CF phải nếu mọi R-môđun phải cyclic cóthể nhúng được trong một môđun tự do Vành R được gọi là vành F GF

phải nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh có thể nhúng được trong mộtmôđun tự do

Ta dễ thấy mọi vành CF phải là FGF phải

Mệnh đề 1.7.6 Mọi vành CS phải, CF phải là Artin phải Hơnnữa, mọi vành CS phải, F GF phải là QF

CHƯƠNG2 MÔĐUN S-CS

Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, các ví dụ minh họa

và các tính chất liên quan đến môđun và vành s-CS

2.1 Định nghĩa và ví dụ về môđun s-CS

Định nghĩa 2.1.1 Môđun M được gọi là s-CS nếu mọi môđun consuy biến của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Vành R đượcgọi là s-CS phải (t.ư trái ) nếu RR (t.ư RR) là môđun s-CS

Ta dễ thấy mọi môđun không suy biến là s-CS

Ví dụ 2.1.2 Vành Z là ví dụ về vành giao hoán không suy biến và

từ đó là s-CS

Ví dụ 2.1.3 Lấy R là Z-đại số sinh bởi x và y, yx = y2 = 0. Ta cóvành R là không suy biến trái nên RR là s-CS

Ví dụ 2.1.4 Sau đây là vành không giao hoán không suy biến phải

và không phải không suy biến trái là s-CS hai phía

Ví dụ 2.1.5 Sau đây là ví dụ về vành s-CS hai phía mà không phảikhông suy biến.

Ta thấy mọi môđun con suy biến A của R luôn cốt yếu trong một hạng

tử trực tiếp của R. Vậy RR và RR là s-CS

Ví dụ 2.1.6 Từ Mệnh đề 1.7.5 ta thấy mọi vành R nửa đơn là vànhs-CS Hơn nữa, vành R mà mọi R-môđun phải (trái) không suy biến cũng

Ví dụ 2.1.8 Vành giao hoán R = Z2[x1, x2, ] với x3i = 0 ∀i,

xixj = 0 ∀i 6= j và x2i = x2j = m 6= 0 ∀i, j là một ví dụ vành s-CS nhưngkhông phải s-nội xạ