Về môđun và vành S- nội xạ

Lê VănThuyết, tôi mạnh dạn chọn đề tài "Về môđun và vành S- nội xạ" đểnghiên cứu với hi vọng có thể tìm hiểu sâu hơn về các tính chất của chúng.. Tìm hiểu và nghiên cứu kỹ các tài liệu c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ DIỄM CHI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1.Tính cấp thiết của đề tài

Lý thuyết vành và môđun là một trong những lý thuyết toán học đã vàđang được phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học.Vào những năm 1960, 1970 của thế kỷ trước, tầm quan trọng của môđunnội xạ trong lý thuyết môđun nói riêng và trong đại số nói chung được nhiềunhà toán học nghiên cứu và phát triển Một trong những nghiên cứu của lýthuyết này là việc nghiên cứu “môđun s-nội xạ” Lý thuyết môđun s-nội xạ

ra đời và có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành s-nội xạ.Trước tiên, chúng tôi xin đề cập đến môđun nội xạ Khái niệm môđunnội xạ được Baer đề xuất vào năm 1940 Theo đó, một môđun M được gọi là

N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M

đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M Môđun M được gọi là nội

xạ nếu M là N-nội xạ với mọi môđun N Không chỉ đưa ra khái niệmmôđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khinào thì một R-môđun M là nội xạ Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩnBaer" và được phát biểu như sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mỗi iđêanphải I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồngcấu g : RR → MR

Từ khi tiêu chuẩn Baer ra đời, môđun nội xạ được mở rộng theo haihướng Một là mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc Hai là mở rộngtheo tiêu chuẩn Baer

Trong mở rộng thứ nhất đó, nhiều người đã nghĩ đến việc mở rộng đồngcấu R-môđun từ môđun con đặc biệt hơn là môđun con của môđun con suybiến Z(N ) của NR vào MR thành đồng cấu R-môđun từ NR vào MR

Vấn đề này được nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu và tìm hiểu.Vào năm 2013, Nasr A.Zeyada đã đưa ra khái niệm về môđun s-N-nội xạ.Trong đó khái niệm s-N-nội xạ được định nghĩa: "Một R-môđun phải M

được gọi là s-N-nội xạ nếu mỗi đồng cấu R-môđun f : K → M, với mỗiđơn cấu ι : K → N tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho f = hι, trong

đó K là môđun con của môđun con suy biến của R-môđun N Song songvới đó ông cũng đã đưa ra các khái niệm về s-nội xạ và s-nội xạ mạnh.Đặc biệt hơn là ông đã đưa ra một số tính chất về s-nội xạ của các môđuntrên vành SI, vành GV, vành PF,

Với mong muốn tìm hiểu về những kết quả của môđun s-nội xạ, vànhs-nội xạ và được sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn GS TS Lê VănThuyết, tôi mạnh dạn chọn đề tài "Về môđun và vành S- nội xạ" đểnghiên cứu với hi vọng có thể tìm hiểu sâu hơn về các tính chất của chúng

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và nghiên cứu kỹ các tài liệu có nguồn gốc khác nhau để lĩnhhội các kiến thức liên quan về môđun và vành s-nội xạ, chứng minh cụ thểcác tính chất của môđun s-nội xạ, làm rõ thông qua một số ví dụ

Hi vọng luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho một số họcviên cao học, cho các sinh viên toán các năm cuối

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là môđun và vành s-nội xạ

Luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, các tính chất quan trọngcủa môđun và vành s-nội xạ và đưa ra các ví dụ minh họa

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là thu thập các bài báo khoa học, các

sách của những tác giả có liên quan đến môđun và vành s-nội xạ, đồng thờitham gia trao đổi các kết quả đang nghiên cứu với các bạn học viên cùngnhóm, với thầy hướng dẫn và với các bạn khác.

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn Chương này được chia làm

ba phần Phần thứ nhất trình bày định nghĩa, các ví dụ về môđun s-nội

xạ Phần thứ hai trình bày các tính chất của môđun s-nội xạ Phần thứ batrình bày về tính chất s-nội xạ của môđun trên các vành đặc biệt

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về vành và môđun,môđun nội xạ, môđun và vành Nơte, môđun con suy biến và không suybiến và một số vành liên quan

Ta quy ước vành được cho là kết hợp có đơn vị, khác0 và mọiR-môđunphải hay trái đều là unita Ta cũng quy ước là các R-môđun là R-môđunphải Khi nào M là R-môđun trái thì sẽ đề cập thêm

1.1 Các kiến thức cơ bản về vành và môđun

Sau đây là một số định quan trọng của đồng cấu môđun

Định lý 1.1.1 Mỗi đồng cấu của các môđun phải

Đơn cấu α0 là đẳng cấu khi và chỉ khi α toàn cấu

Hệ quả 1.1.2 Cho α : AR → BR là đồng cấu R-môđun Lúc đó:

Cho MR và N ≤ M N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồntại một môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P Lúc đó ta nói P làmôđun con phụ của N trong M Từ định nghĩa ta suy ra:

Bổ đề 1.1.7 Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và chỉnếu với mỗi 0 6= x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K

Cho N là một môđun con của M Nếu N0 ≤ M là cực đại với tínhchất N0 ∩ N = 0 thì ta nói N0 là một M-phần bù của N Theo bổ đềZorn ta có thể thấy nếu N ≤ M, thì tập

{K ≤ M | K ∩ N = 0}

chứa một phần tử cực đại N0

Một môđun con K được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con

H của M sao cho K≤eH thì suy ra H = K

Cho A và A0 là các môđun con của MR Khi đó A0 gọi là M-phần bùcộng tính (hay còn gọi tắt là M-phần phụ) của A, nếu

(*) A + A0 = M

(*) A0 là môđun con cực tiểu thỏa mãn A + A0 = M, nghĩa là,với mọi B ≤ M [A + B = M và B ≤ A0 ⇒ B = A0]

Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con

là 0 và M Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan là 0

được gọi là vành nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (RR) nửa đơn

Cho MR và X ⊆ M Linh hóa tử phải của X trong R được ký hiệu

rR (X) và được xác định như sau:

môđun con đơn của MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của

MR, đây là môđun con nửa đơn lớn nhất của M Căn của môđun MR

được ký hiệu là rad (MR), nó là giao của tất cả các môđun con cực đại của

MR, là tổng các môđun con đối cốt yếu của MR Nếu M là nửa đơn thì

rad(M ) = 0 Đặc biệt, rad (RR) = rad (RR) = J (R) Khi đó

J (R) = {a ∈ R/1 − ar khả nghịch, ∀r ∈ R}

1.2 Môđun xạ ảnh và nội xạ

Cho MR là một môđun Nếu NR là một môđun, thì M được gọi lànội xạ theo N (hay M là N-nội xạ) trong trường hợp với mọi đơn cấu

f : KR → NR và mỗi đồng cấu g : KR → MR tồn tại R-đồng cấu

g : N → M sao cho gf = g, nghĩa biểu đồ sau giao hoán:

MR được gọi là nội xạ nếu nó là N-nội xạ với mọi R-môđun N

MR được gọi là tựa nội xạ nếu M là M-nội xạ

Để kiểm tra M có R-nội xạ hay không ta hay dùng tiêu chuẩn Baer

Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M là nội xạ nếu với mội iđêanphải I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồngcấu f : RR → MR

Ta có kết quả của phần này là:

Định lý 1.2.1 Mỗi môđun là môđun con của một môđun nội xạnào đó

Hệ quả 1.2.2 Một môđun A là nội xạ nếu và chỉ nếu A là hạng

tử của mỗi môđun thực sự chứa nó

Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P được gọi là xạ ảnh theo N(hay P là N-xạ ảnh) trong trường hợp với mọi toàn cấu g : N → M vàmỗi đồng cấu f : P → M tồn tại đồng cấu h : P → N sao cho f = gh,nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

P

h

}} f

N g //M //0

P được gọi là xạ ảnh nếu P là N-xạ ảnh với mọi R-môđun N

Đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q làmôđun nội xạ còn µ là đơn cấu cốt yếu Ký hiệu E(M ) để chỉ bao nội xạcủa môđun M

Toàn cấu ψ : P → M được gọi là phủ xạ ảnh(hoặc bao xạ ảnh) đốivới M nếu P là môđun xạ ảnh còn ψ là toàn cấu đối cốt yếu

1.3 Môđun và vành Nơte

*) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiệndãy tăng (thường được viết tắt là ACC ) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ ≤ Ln ≤

trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln(i = 1, 2, )

*) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiện dãygiảm (thường được viết tắt là DCC ) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥

trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln(i = 1, 2, )

*) Môđun MR được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các môđun connào đó của M đều có phần tử cực đại.

*) Vành R được gọi là vành Nơte phải nếu môđun RR là Nơte

Tích trực tiếp của các môđun nội xạ là nội xạ, tổng trực tiếp của cácmôđun nội xạ chưa chắc là nội xạ Tuy nhiên, trên vành Nơte thì mọi tổngtrực tiếp của các môđun nội xạ là nội xạ

Định lý 1.3.2.( Định lý Matlis)

Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho:

(1) R là vành Nơte phải

(2) Mọi tổng trực tiếp các R-môđun phải nội xạ là nội xạ

(3) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ các R-môđun phảiđơn là nội xạ

1.4 Môđun suy biến và vành suy biến

Cho M là R-môđun phải Một phần tử m ∈ M được gọi là phần tửsuy biến phải của M nếu iđêan phải r (m) ≤eRR

Tập tất cả các phần tử suy biến phải của M được ký hiệu là Z(M )

được xác định như sau:

Z (M ) = {m ∈ M/r (m) ≤eR} ≤ M.

Z(M ) là môđun con suy biến của M

Môđun M được gọi là suy biến (singular) nếu Z (M ) = M và đượcgọi là không suy biến (nonsingular) nếu Z (M ) = 0

Vành R được gọi là vành suy biến (không suy biến) phải nếu RR làmôđun suy biến (không suy biến)

Môđun con suy biến thứ hai của M là Z2(M ) được xác định bởi:

Z2(M )/Z(M ) = Z(M/Z(M )).

Z2(M ) là môđun con đóng của M và M/Z2(M ) là không suy biến Một

R-môđun G được gọi là xoắn Goldie nếu Z2(G)= G

Một số tính chất của môđun con suy biến

thì ta gọi các lũy đẳng nâng được modulo I

Một vành R được gọi là nửa địa phương nếu vành thương R/J (R) là(artin) nửa đơn

Một vành R được gọi là semipotent nếu mọi iđêan phải (trái) khôngchứa trong J (R) chứa một lũy đẳng khác không

Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R là nửa địa phương vàcác lũy đẳng nâng được modulo J (R)

Cho I là iđêan phải của R, R được gọi là I-nửa hoàn chỉnh nếu vớimỗi iđêan phải K có thể phân tích thành K = eR⊕ U sao cho

e2 = e và U = K ∩ (1 − e)R ≤ I

1.6 bất biến Morita

Định nghĩa 1.6.1 Giả sử C và D là hai phạm trù tùy ý Khi đómột hàm tử hiệp biến F : C → D là một tương đương phạm trù trongtrường hợp có một hàm tử G : D → C và đẳng cấu tự nhiên GF ' 1C

và F G ' 1D Hàm tử G được gọi là tương đương khả nghịch của F Khi

đó C và D được gọi là hai phạm trù tương đương, ký hiệu C ≈ D

Hai vành R và S là bất biến Morita, viết tắt R ≈ S nếu có sự tươngđương cộng tính giữa các phạm trù môđun Nghĩa là: có một đẳng cấu tựnhiên η : GF → 1modR và ζ : F G → 1modS, hay với mỗi MR có mộtđẳng cấu ηM : GF (M ) → M trong modR sao cho với mỗi M, M0 trong

modR và mỗi f : M → M0 trong modR, biểu đồ sau giao hoán:

(3) Một môđun M được gọi là thỏa điều kiện C3 nếu K và L là cácmôđun con của M thỏa mãn K ∩ L = 0, K≤⊕M và L≤⊕M thì K ⊕ L

*) Vành R được gọi là Kasch phải nếu với mỗi R-môđun phải đơn S

đều tồn tại một đơn cấu ι : S ,→ RR

*) Vành R được gọi là vành chính quy (von Neumann) nếu cho mỗiphần tử r ∈ R, thì tồn tại r0 ∈ R sao cho r = rr0r

*) Vành R được gọi là vành giả Frobenius (pseudo-Frobenius) nếu vàchỉ nếu R là nửa hoàn chỉnh, tự nội xạ với đế phải cốt yếu, viết tắt là PF

*) Vành R được gọi là vành SI phải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun phảisuy biến nội xạ

*) Vành R được gọi là vành CF (vành FGF) nếu mỗi R-môđun phảicyclic (hữu hạn sinh) nhúng vào một môđun tự do

*) Vành R được gọi là min-C2 (C2) nếu mỗi iđêan phải đơn (iđêanphải) đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của RR thì cũng là hạng tử trựctiếp của RR

*) Vành R được gọi là vành GV phải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđunphải đơn suy biến nội xạ

CHƯƠNG 2 MÔĐUN VÀ VÀNH S-NỘI XẠ

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày định nghĩa vàcác ví dụ về môđun và vành s-nội xạ, trình bày và chứng minh các tính chấtcủa môđun và vành s-nội xạ và tính chất s-nội nội xạ của môđun trên một

Định nghĩa 2.1.1 Một R-môđun phải M được gọi là s-N-nội xạnếu với mỗi đơn cấu ι : K → N, mọi đồng cấu R-môđun f : K → M

tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho f = hι, trong đó K là môđun concủa môđun con suy biến Z(N ) của N, tức là biểu đồ sau giao hoán:

M được gọi là s-nội xạ nếu M là s-R-nội xạ

M được gọi là s-nội xạ mạnh nếu M là s-N-nội xạ với mọi R-môđunphải N

Nhận xét: R-môđun không suy biến là s-nội xạ mạnh

Sau đây là một số ví dụ về vành s-nội xạ và s-nội xạ mạnh và không

s-nội xạ.

Ví dụ 2.1.2 Vành các số nguyên Z là s-nội xạ mạnh bởi vì Z(Z) = 0,nhưng vành số nguyên Z không nội xạ

Ví dụ 2.1.3 Cho R là Z-đại số sinh bởi x, y với quan hệ như sau:

yx = y2 = 0, khi đó Z(RR) = 0 nên RR là s-nội xạ mạnh

Khi đó Z(RR) = 0 nên RR không suy biến nên RR là s-nội xạ mạnh

Z(RR) 6= 0, với mỗi đồng cấu α : Z (RR) → RR, đồng cấu f : RR → RR

tính chất này cũng đảm bảo đối với môđun s-nội xạ, và với môđun s-nội xạcòn có một số tính chất khác, mệnh đề sau sẽ thể hiện rõ điều này.

Hệ quả 2.2.2 Cho N là R-môđun phải Khi đó:

(1) Tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun s-N-nội xạ là s-N-nội

xạ Đặc biệt, tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun s-nội xạ (s-nội xạmạnh) là s-nội xạ (s-nội xạ mạnh)

(2) Hạng tử của môđun s-N-nội xạ (s-nội xạ, s-nội xạ mạnh) làmôđun s-N-nội xạ (s-nội xạ, s-nội xạ mạnh)

Hệ quả 2.2.3.

(1) Cho M là R-môđun phải và 1 = e1+ e2+ + en trong R, với

ei là các lũy đẳng trực giao Khi đó M là s-nội xạ nếu và chỉ nếu M

Mệnh đề 2.2.4 Nếu N là R-môđun hữu hạn sinh thì các điềukiện sau tương đương:

(1) Tổng trực tiếp bất kỳ các môđun s-N-nội xạ là s-N-nội xạ

(2) Tổng trực tiếp bất kỳ các môđun nội xạ là s-N-nội xạ

(3) Z(N ) là Nơte

Bổ đề 2.2.5 Giả sử M, N là các R-môđun phải sao cho Z2(M )

nội xạ Khi đó mỗi đồng cấu f : K → M mở rộng đến N, K ≤ Z2(N )

Hai mệnh đề tiếp theo cho ta thấy mối quan hệ giữa tính s-nội xạ củamột môđun với tính nội xạ của môđun suy biến thứ hai của nó và các môđunxoắn Goldie, đồng thời cũng cho ta sự phân tích của một môđun s-nội xạmạnh thành tổng trực tiếp của hai môđun con

Mệnh đề 2.2.6 Các phát biểu sau là tương đương:

(1) M là s-nội xạ mạnh

(2) M là s-I(M )-nội xạ, với I(M ) là bao nội xạ của M.

(3) M = E⊕K, với K không suy biến vàE nội xạ thỏa Z(M )≤eE.(4) Z2(M ) nội xạ

(5) M là G-nội xạ với mọi G là môđun xoắn Goldie

(6) M là I-nội xạ, với I = I(Z2(M ))là bao nội xạ của Z2(M )

Hệ quả 2.2.7 Cho M là R-môđun phải xoắn Goldie Khi đó, M

nội xạ nếu và chỉ nếu M là s-nội xạ mạnh

Mệnh đề 2.2.8 Đối với một vành R, các điều kiện sau là tươngđương:

(1) RR là s-nội xạ mạnh

(2) RR là s-I(RR) nội xạ, với I(RR) là bao nội xạ của RR

(3) R = E ⊕ T, với ER là nội xạ và T không suy biến Hơn nữa,nếu Z(RR) 6= 0 thì Z(RR)≤eE và trong trường hợp này thì E và T

nội xạ tương hỗ

(4) Z2(RR) là nội xạ

(5) RR là G-nội xạ với mọi R-môđun G xoắn Goldie

(6) RR là I-nội xạ, với I = I(Z2(RR)) là bao nội xạ của Z2(RR).(7) Mọi R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh là s-nội xạ mạnh

Ví dụ 2.2.9 Cho vành R = Z/4Z là vành tự nội xạ; NR = 2Z/4Z.

Lấy M = RR ⊕ NR Khi đó nên Z(M ) = N ⊕ N 6= 0 nên M khôngsuy biến, và Z2(M ) = M không nội xạ, áp dụng Mệnh đề 2.2.6 suy ra M

không là R-môđun s-nội xạ mạnh

Các ví dụ sau cho thấy hai lớp vành s-nội xạ và soc-nội xạ là khác nhau

Ví dụ 2.2.10 Giả sử F = Z2 là trường có hai phần tử, Fn = F với

n = 1, 2, , Q =

∞Qi=1

Fi, S = ⊕∞

i=1

Fi Nếu R là vành con của Q sinh bởi 1

và S thì R là vành chính quy von Neumann với soc(R)=S, R là s-nội xạmạnh nhưng không là vành soc-nội xạ

Ví dụ 2.2.11 Giả sử R = Z[x1, x2, ], x3i = 0 với mọi i, xixj = 0

với i 6= j và x2i = x2j = m 6= 0 với mọi i, j Khi đó ta có R là vành giaohoán và nửa nguyên thủy, địa phương với J = span {m, x1, x2, } = Zr,

và soc(R) =hmi = J2 = Z2m đơn và cốt yếu trong R Khi đó R làsoc(R)-nội xạ nhưng R không là s-nội xạ

2.3 Tính chất s-nội xạ của môđun trên một số vành

Đối với vành GV, tính nội xạ và s-nội xạ của môđun đơn suy biến lànhư nhau

Mệnh đề 2.3.1 Một vành R là vành GV phải nếu và chỉ nếu mỗi

R-môđun phải đơn suy biến là s-nội xạ mạnh

Bổ đề 2.3.2 Cho M là R-môđun phải, các điều kiện sau tươngđương:

(1) M thỏa mãn điều kiện ACC các môđun con cốt yếu

(2) M/soc(M ) là Nơte

Với RR thỏa điều kiện ACC các môđun con (RR Nơte) tương đươngvới tổng trực tiếp các môđun nội xạ là nội xạ, tuy nhiên nếu M chỉ thỏađiều kiện ACC đối với các môđun con cốt yếu thì tổng trực tiếp các môđunnội xạ hoặc s-nội xạ mạnh có tính chất gì? Mệnh đề tiếp theo sẽ trả lời đượccâu hỏi trên