Luận văn sư phạm Môđun Noether và môđun Artin

Iđêan trên vành giao hoán .... Môđun Noether .... Môđun Artin ..... Khi đó dãy sau không d ng:.

l i c m n

Trong quá trình nghiên c u th c hi n khóa lu n: “Môđun Noether và môđun

Artin” cùng v i s c g ng, n l c c a b n thân, em đã nh n đ c s h ng d n và

giúp đ t n tình c a Th c S Nguy n Th Ki u Nga, đ ng th i em c ng nh n đ c

s giúp đ , đ ng viên c a các th y cô giáo và c a các b n sinh viên khoa Toán

Em xin g i l i c m n sâu s c t i cô giáo h ng d n-Th c S Nguy n Th

Ki u Nga đã giúp đ và h ng d n t n tình đ em hoàn thành t t khóa lu n c a

mình

Em xin chân thành c m n ban ch nhi m khoa Toán, các th y cô giáo và

các b n sinh viên trong khoa đã t o đi u ki n, giúp đ em hoàn thành khóa lu n

này

Do th i gian và n ng l c b n thân còn h n ch H n n a do l n đ u tiên làm

quen v i công tác nghiên c u khoa h c nên không tránh kh i nh ng thi u sót Em

r t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp quý báu c a th y cô và các b n đ khóa

L i Cam oan

Khóa lu n c a em đ c hoàn thành sau m t th i gian mi t mài nghiên c u

cùng v i s giúp đ t n tình c a cô giáo- Th c S Nguy n Th Ki u Nga Trong quá

trình làm khóa lu n em có tham kh o m t s tài li u nh đã nêu m c tài li u tham

M c L c

L i m đ u 1

Ch ng 1: Môđun 2

1.1 Môđun, môđun con, đi u ki n t ng đ ng v i môđun con 2

1.2 Môđun th ng 6

1.3 T ng tr c ti p, tích tr c ti p, h ng t tr c ti p c a các môđun 8

1.4 T p sinh, t p đ c l p và ph thu c tuy n tính, c s c a môđun, môđun h u h n sinh 10

1.5 nh ngh a đ ng c u môđun, đi u ki n t ng đ ng 11

Ch ng 2: Dãy kh p 16

2.1 nh ngh a dãy kh p, dãy kh p ng n, đi u ki n t ng đ ng 16

2.2 M t s tính ch t dãy kh p 17

2.3 Dãy kh p ng n ch ra 18

Ch ng 3: Môđun Noether Và Môđun Artin 20

3.1 Iđêan trên vành giao hoán 20

3.2 Môđun Noether 25

3.3 Môđun Artin 34

3.4 S phân tích nguyên s c a môđun Noether 41

3.5 M i quan h gi a môđun Noether và môđun Artin 47

3.6 M t s bài t p 52

K t lu n 58

Tài li u tham kh o 59

L i Nói u

i s là m t ngành chi m v trí quan tr ng trong toán h c Nó góp ph n

thúc đ y s phát tri n c a toán h c hi n đ i Ngày nay nhu c u h c h i toán h c nói

chung và môn i s nói riêng c a sinh viên khoa Toán ngày càng t ng Tuy nhiên

đ đi sâu nghiên c u môn i s thì c n có s hi u bi t m t cách sâu s c v c u trúc

đ i s

Ngày nay ng i ta coi đ i t ng ch y u c a i s là các c u trúc đ i s

nh : nhóm, vành, tr ng, môđun, … Trong đó môđun là m t trong nh ng khái

ni m quan tr ng nh t c a i s hi n đ i

Chính vì th em m nh d n ch n đ tài nghiên c u: “Môđun Noether và

môđun Artin” v i mong mu n đ c nghiên c u và tìm hi u sâu h n v b môn i

s và b c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c

N i dung khóa lu n g m ba ch ng:

Ch ng 1: Trình bày nh ng khái ni m và tính ch t c b n c a môđun nh :

môđun con, môđun th ng, t ng tr c ti p, tích tr c ti p, h ng t tr c ti p c a các

môđun, đ ng c u môđun,…

Ch ng 2: Trình bày nh ng khái ni m và tính ch t c b n c a dãy kh p nh :

dãy kh p, dãy kh p ng n, dãy kh p ng n ch ra,…

Ch ng 3: Trình bày nh ng khái ni m và tính ch t c b n c a môđun

Noether và môđun Artin

Trong quá trình th c hi n đ tài ngoài s n l c c a b n thân, em còn nh n

đ c s ch b o, h ng d n t n tình c a Th c S Nguy n Th Ki u Nga và s quan

tâm, giúp đ c a các th y cô giáo trong khoa Toán Em xin g i l i c m n chân

thành đ n các th y, các cô

M c dù có c g ng song do h n ch v th i gian c ng nh v ki n th c, tài

li u… Vì v y em mong nh n đ c s quan tâm, góp ý c a th y cô và các b n

Hà N i, tháng 05, n m 2010

Sinh Viên

ào Th Huê

M M R



, )  (

 ) , (

 Các môđun trái và môđun ph i trên R ch khác nhau m t đi m khi tích

“tác đ ng” trên các môđun này thì “tác đ ng” tr c, hay “tác đ ng” tr c

Vì v y, n u R là vành giao hoán thì khái ni m môđun trái trùng v i khái ni m

môđun ph i

Sau đây, ch xét các R môđun trái, và g i chúng là các R-môđun

 N u R là m t tr ng thì m t R-môđun còn g i là m t không gian

M M Z

 ) , (

V i OA , OB , OC  M

+ Phép c ng các véct có tính ch t k t h p, giao hoán

) ( ) )(

Khi đó A là R-môđun

Ví d 6:

M i iđêan trái c a vành R là m t R-môđun c bi t, m i iđêan c a R là m t

R-môđun và b n thân R c ng là m t R-môđun

1.1.2 Môđun con

a) nh ngh a

Cho M là R-môđun, NM, N g i là R-môđun con c a môđun M n u N là

R-môđun v i hai phép toán c m sinh

 Cho M là R-môđun, S  Mthì giao c a t t c các môđun con c a M ch a

S là m t môđun con c a M ch a S (đó là môđun con bé nh t c a M ch a S ) g i là

môđun con c a M sinh b i S Ký hi u : S

 , thì ( x  N ) x  N

Thì phép nhân vô h ng tho mãn các đi u ki n c a tích vô h ng

Do đó, MN là R-môđun, g i là môđun th ng c a môđun M theo môđun con N

nh ngh a:

Cho N là m t môđun con c a m t R-môđun M Khi đó R-môđun M N nh

v a xây d ng trên đ c g i là môđun th ng c a M theo N Ph n t x+N c a

N

M th ng đ c ký hi u là x, và đ c g i là nh c a x trong M N

Nh n xét:

byaxyb

Suy ra, t n t i môđun th ng

N u R là tr ng thì m t môđun trên R là các không gian vect , các không

gian con là các không gian vect con, do đó, môđun th ng là các không gian vect

(

I i i I i

i

x )

( g i là có giá h u h n n u x i h u h t b ng 0

t i  i i I i i I

I

i

xx

Cho N là môđun con c a R-môđun M Ta nói N là h ng t tr c ti p c a M

khi và ch khi t n t i m t môđun con P c a M sao cho M  N  P

Khi đó ta c ng nói P là m t môđun con ph c a N trong M

M i môđun con khác không c a Z có d ng pZ, p  0

Ta có:

pZ np

nZ np





Suy ra, nZ pZ 0 vì np  , 0 np  nZ  pZ

V y m i môđun con khác 0 c a Z đ u không là h ng t tr c ti p c a Z

1.4 T p sinh, t p đ c l p và ph thu c tuy n tính, c s c a môđun, môđun

h u h n sinh

1.4.1 T p sinh c a môđun, môđun h u h n sinh

Cho M là R-môđun, S  M, giao c a t t c các môđun c a M ch a S là m t

môđun con c a M ch a S (đó là môđun con bé nh t c a M ch a S ) g i là môđun

S s s

T p con S c a M đ c g i là đ c l p tuy n tính n u:  0



sa

S s

s thì

S s

as  , 0  

Nh n xét

N u S là t p đ c l p tuy n tính c a M thì:

sbsa

S s s S

S s

s Trong đó không ph i m i as  0 N u

t p S đ c l p tuy n tính (ph thu c tuy n tính ) thì ta c ng nói các ph n t c a S

đ c l p tuy n tính ( ph thu c tuy n tính)

Cho M, N là các R-môđun, ánh x f : M  N g i là m t đ ng c u môđun

hay R-đ ng c u (còn g i là ánh x tuy n tính) n u f tho mãn hai tính ch t sau:

) (

Im f  f M g i là nh c a f

f N f co

Im ker  g i là đ i h ch c a f

f M coimf

ker

 g i là đ i nh c a f + M t đ ng c u t M vào M g i là m t t đ ng c u c a M

là đ ng c u môđun

+ M là R-môđun thì ánh x đ ng nh t id : M  M

x

x 

c bi t, f : M  N là đ ng c u môđun

 : ( ) 0  (0 )ker f  xM f x  N  f1 N

f x x M

Mf

f  ( ) ( ): Im

Khi đó, Im f là môđun con c a N và ker f là môđun con c a M

Tính ch t 3:

f là đ n c u khi và ch khi ker f  0M

f là toàn c u khi và ch khi Im f  N

Tính ch t 4: ( nh lý c b n c a R-đ ng c u t ng quát)

Cho f : M  N là R-đ ng c u, A, B l n l t là các môđun con c a M, N sao

cho f ( A )  B

A M M

B N N

là các toàn c u chính t c Khi đó, t n t i duy nh t R-đ ng c u

B

N A M

Sao cho f pA pBf hay hình vuông sau giao hoán

pA:  là phép chi u chính t c ( toàn c u chính t c)

Khi đó t n t i duy nh t R-đ ng c u môđun

N A M

 Cho B, C là hai môđun con c a R-môđun A thì

C B

B C C B







x     N N x N

Ta có: ker pN

Suy ra, Imikerp

Mà i là đ n c u, p là toàn c u

Suy ra, dãy trên là dãy kh p ng n

 Cho h : X  Ylà đ ng c u môđun, đ i h t nhân co h Y h

Im

R-môđun th ng, ker h là môđun con c a X

Xét dãy: O  ker h i  X h  Y p co ker h  O

C B

nh ng đ ng c u c a các R-môđun Khi đó: C  O khi và ch khi f là toàn c u và k

là đ n c u

 N u dãy O   C O các R-môđun là dãy kh p thì C  O

 Trong m t dãy kh p tu ý

F E

D C

x (x, 0)

Ch ng 3: Môđun Noether Và Môđun Artin

3.1 Iđêan trên vành giao hoán

3.1.1 nh ngh a

Cho X là vành giao hoán, A là iđêan c a X

- Iđêan th c s A c a X đ c g i là iđêan nguyên s n u xy  , A y  A thì t n t i



n N đ xn A

- Iđêan th c s A c a X g i là iđêan nguyên t n u xy  A thì x  Aho c y  A

- Iđêan th c s A c a X g i là iđêan c c đ i n u t n t i iđêan B c a X mà A  B

thì B = X

- Cho A là iđêan c a X, t p

Rad (A) = {x  X  n N đ xn  A}

đ c g i là c n c a A ( Rad (A) là m t iđêan c a X)

c bi t, c n c a iđêan {0} đ c g i là c n lu linh c a X và kí hi u là Rad (X)

+ N u X là tr ng thì {0} là iđêan nguyên t và {0} là c c đ i vì tr ng X ch có 2

iđêan là {0} và X

+ Ph n t 0 là ph n t lu linh c a X vì 0  Rad (X)

3.1.2 M nh

Cho X là vành giao hoán, A là iđêan c a X Khi đó ta có các phát bi u sau :

a) A là iđêan nguyên t khi và ch khi X

A là mi n nguyên b) A là iđêan c c đ i khi và ch khi X

A là tr ng c) A là iđêan nguyên s khi và ch khi Rad (A) là iđêan nguyên t

d) M t iđêan c c đ i luôn là iđêan nguyên t , m t iđeean nguyên t luôn là

Mà Rad(A) là iđêan nguyên t

Suy ra, xRad(A) ho c yRad(A)

Gi s xRad(A) yRad(A)  t n t i nN: ynA

V y xA nN: ynA

Suy ra, A là nguyên s

d) Theo nh n xét rút ra t a) và b) ta có: m i iđêan c c đ i luôn là iđêan nguyên t

Ta ch ng minh, m t iđêan nguyên t luôn là iđêan nguyên s

Gi s , A là iđêan nguyên t c a X suy ra AX

xyA, xAyA (do A là iđêan nguyên t )

Do đó, iđêan nZ c a Z v a là iđêan nguyên t , v a là iđêan c c đ i khi và ch khi n

là s nguyên t

Ta có: Z   0  Z là mi n nguyên

Suy ra {0} là iđêan nguyên t

{0} không là iđêan c c đ i vì {0}  A, A là iđêan c a Z , A Z

V y M t iđêan nguyên t b t kì ch a ch c đã là iđêan c c đ i

Suy ra, y  Rad p Z (  )

Suy ra, pZ  Rad p Z (  ) (2)

T (1) và (2)  Rad p Z (  )= pZ ( p là s nguyên t )

Do p là s nguyên t nên pZ là iđêan c c đ i

Suy ra, pZ là iđêan nguyên t

Suy ra, Rad p Z (  ) là iđêan nguyên t

Theo c) ta có p Z là iđêan nguyên s

V y, m t iđêan nZ c a Z là iđêan nguyên s khi và ch khi *

,

n  p  N , p là s nguyên t

c bi t, v i  1 thì iđêan nguyên s trùng v i iđêan nguyên t

Suy ra, m t iđêan nguyên s ch a ch c đã là iđêan nguyên t

Do đó, chi u ng c l i c a m nh đ d) là không đúng

3.2 Môđun Noether

3.2.1 nh ngh a

M t R-môđun M đ c g i là môđun Noether n u m i t p khác r ng các

môđun con c a M ch a ít nh t m t ph n t c c đ i theo quan h bao hàm

R g i là vành Noether n u R là môđun Noether

b) M i môđun con c a M đ u h u h n sinh

c) M i dãy t ng các môđun con c a M

Gi s trái l i, t n t i m t môđun con N c a môđun M không h u h n sinh

Khi đó, trong N t n t i m t dãy vô h n các ph n t x1,x2, ,xn, sao cho n u đ t

các môđun con c a M, đi u này mâu thu n v i c)

V y m i môđun con c a M h u h n sinh

Nh th thì dãy (*) b d ng b t đ u t i v trí th k (mâu thu n v i (1) )

V y m i t p h p không r ng các môn đun con c a M đ u có m t ph n t c c đ i

Suy ra, M là R-môđun Noether

M là i '

M M

trong đó, M i là các môđun con c a M

suy ra, t n t i dãy t ng các môđun con c a M là

Gi s , M1  M2   Mk  (1) là dãy t ng các môđun con c a M

Khi đó dãy t ng các môđun con c a M’ là

'

'

''

MMMM

MMMM

'

''

1 1

MMM

MMM

MM

MM

k k

k k

Suy ra, Mk = Mk+ 1

Suy ra, dãy (1) là d ng

Suy ra, M là môđun Noether

D th y ch c n ch ng minh cho tr ng h p h g m hai môđun, sau đó dùng

quy n p, ta s nh n đ c ch ng minh c a h qu

Gi s M M 1 , 2 là hai R-môđun

Ta có dãy kh p ng n

OMM

MM

O 1 1 2  2 Theo h qu 1 ta có: M1M2 là môđun Noether khi và ch khi M M 1 , 2 là môđun

 N u M là môđun Noether thì M h u h n sinh

 Do M h u h n sinh nên M có phân tích

R x R

x

Vì R là vành giao hoán Noether nên các x R ii , 1,n là Noether

Theo h qu trên thì M là Noether

Vì m t t p con khác r ng c a R là m t R-môđun con c a R-môđun R khi và

ch khi nó là m t iđêan c a R nên R là m t vành Noether khi và ch khi R tho mãn

m t trong ba đi u ki n t ng đ ng sau đây:

3) Vành đa th c vô h n bi n R=A[x1, , xn, ] trên m t vành giao hoán A

khác vành 0 không ph i là m t vành Noether, vì t n t i m t dãy t ng vô h n các

iđêan sau đây trong R

) , , (

) , ( )

Suy ra Z là môđun Noether

5) M t tr ng X là m t vành Noether vì tr ng ch có hai iđêan là  0 và X

6) M i môđun M 0 g i là môđun đ n n u ch có hai môđun con là M và

 0

Do đó, m i môđun đ n đ u là môđun Noether

7) Cho V là k không gian vect vô h n chi u thì V không là môđun Noether

3.2.5 M nh đ

Cho R là vành có đ n v , f là t đ ng c u c a R-môđun Noether M Khi đó

Ch ng minh:

 Gi s M là môđun Noether

+ Khi đó, m i dãy t ng các môđun con c a N c ng là dãy t ng các môđun con c a

M

Do M là Noether nên dãy đó ph i d ng

Suy ra, N là Noether

+ Gi s M1 M2  là dãy t ng các môđun con c a môđun M

NNM

NM

NM

n n

n n

Vì N là môđun con c a M Theo m nh đ trên ta có:

T f1 ta s ch n đ c m t dãy vô h n các đa th c f1, f2, , fn, trong I có b c t ng

d n sao cho fj1I \(f1, ,fj) (*)

Và fj1 có b c th p nh t trong s t t c các đa th c thu c I \(f1, ,fj)

G i ailà h t cao nh t c a fj và g i J là iđêan c a R sinh b i t t c các aj

Vì R là vành Noether nên J là h u h n sinh

i

n m m i n

i i

m i n

3.3.1 nh ngh a

M t R-môđun M đ c g i là môđun Artin n u m i t p khác r ng các môđun

con c a M luôn ch a ít nh t m t ph n t c c ti u theo quan h bao hàm

Vành R đ c g i là m t vành Artin n u nó là m t R-môđun Artin

Gi s M1  M2   Mn  là m t dãy gi m các môđun con c a M

M là môđun Artin nên t p Mi : i  1có m t ph n t c c ti u, ch ng h n là Mt, khi

Gi s S là m t t p con khác r ng các môđun con c a M

Vì S  nên ta ch n đ c m t môđun con M1S

Khi đó, n u M1 không c c ti u thì t n t i M2th c s ch a trong M1

Nh v y, néu trong S không có ph n t c c ti u thì s t n t i m t dãy gi m

Khi đó, M là môđun Artin khi và ch khi M', M" là các môđun Artin

Vì m i dãy gi m các môđun con c a M" đ u là nh c a m t dãy gi m trong M qua

toàn c u chính t c, và m i dãy gi m trong M đ u d ng, nên m i dãy gi m trong

'

''

MMMM

MMM

'

''

1 1

MMM

MMM

MM

MM

k k

k k

M i R-môđun h u h n sinh trên vành Artin R là m t R-môđun Artin

Do R là vành Artin nên các Rxi, i  1, n là các môđun Artin

i u này ch ng t M là môđun Artin theo h qu trên

Vành s nguyên Z là Z-môđun, Z không là môđun Artin vì ta có dãy môđun

sau đây là không d ng:

Ví d 4:

V là K không gian vect vô h n chi u thì V không là môđun Artin

Th t v y:

Gi s  u ii  N* là t p h p các ph n t đ c l p tuy n tính trong V Khi đó

dãy sau không d ng:

Do M là môđun Artin nên t n t i n  N đ Nn  Nn1

1 1

a) nh ngh a môđun con nguyên s

Môđun con N c a m t R-môđun M đ c g i là m t môđun con nguyên s

c a M n u N  M, đ ng th i v i m i a  Rthì đ ng c u nhân b i a cho môđun

Trong đó Ni là m t môđun con Pi- nguyên s , i  1, r

+ Phân tích nguyên s (*) đ c g i là m t phân tích nguyên s thu g n, n u các Pi

t ng đôi m t phân bi t và N không th bi u di n qua giao c a m t h con th c s

c a  N1, , Nr

+ Phân tích nguyên s (*) đ c g i là m t phân tích nguyên s t i ti u, n u (*) là

m t phân tích nguyên s thu g n, đ ng th i các thành ph n Nilà c c ti u trong t p

các môđun con Pi-nguyên s ch a N

c) Môđun b t kh quy