Căn và đế của môđun

LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận của em đã được hoàn thành.. Em xin chân thành cảm ơn sự

-

NGUYỄN THỊ HẢO

CĂN VÀ ĐẾ CỦA MÔĐUN

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học Th.S DƯƠNG THỊ LUYẾN

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận của em đã được hoàn thành

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số đã tạo điều kiện cho

em trong suốt thời gian em làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô giáo, Thạc sỹ Dương Thị Luyến – người

đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn nữa do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện tốt hơn

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Hảo

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng

dẫn nhiệt tình của cô giáo, Thạc sĩ Dương Thị Luyến cùng với sự cố

gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Hảo

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MÔĐUN 3

1.1 Môđun, môđun con, môđun thương 3

1.1.1 Định nghĩa môđun 3

1.1.2 Môđun con 6

1.1.3 Môđun thương 7

1.2 Đồng cấu môđun 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Mệnh đề 1 9

1.2.3 Mệnh đề 2 9

1.2.4 Mệnh đề 3 10

1.2.5 Định lí cơ bản của R – đồng cấu tổng quát 11

1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 11

1.3.1 Tích trực tiếp 11

1.3.2 Tổng trực tiếp 12

1.3.3 Mệnh đề 12

1.3.4 Hạng tử trực tiếp 14

1.4 Một số môđun đặc biệt 14

1.4.1 Môđun noether và môđun Artin 14

1.4.2 Môđun xạ ảnh và môđun nội xạ 20

Chương 2 CĂN VÀ ĐẾ CỦA MÔĐUN 24

2.1 Căn và đế của môđun 24

2.1.1 Định nghĩa 2.1.1 Cho R- môđun M 24

2.1.2 Ví dụ 29

2.2 Tính chất cơ bản của căn và đế 31

2.2.1 Tính chất căn của môđun 31

2.2.2 Tính chất đế của môđun 35

2.3 Căn của môđun xạ ảnh, môđun hữu hạn sinh, đế của môđun hữu hạn đối sinh 37

2.3.1 Căn của môđun xạ ảnh 37

2.3.2 Căn của môđun hữu hạn sinh 37

2.3.3 Đế của môđun hữu hạn đối sinh 38

2.4 Đặc trưng môđun hữu hạn sinh, môđun hữu hạn đối sinh bởi căn và đế 39

2.4.1 Đặc trưng căn của môđun hữu hạn sinh 39

2.4.2 Đặc trưng đế của môđun hữu hạn đối sinh 40

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

MỞ ĐẦU

Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán học Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại Ngày nay, nhu cầu học hỏi của sinh viên Khoa Toán, các thầy cô dạy Toán và nhiều người khác quan tâm đến Toán học nói chung và môn Đại số nói riêng, ngày càng gia tăng, nhằm nâng cao hiểu biết của mình Tuy nhiên

để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết sâu sắc về cấu trúc đại số Bởi vì đó chính là công cụ để nghiên cứu các lý thuyết Toán học

Chính vì thế, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Căn và đế của môđun” thuộc chuyên ngành Đại số với mục đích phần nào đó giúp

các bạn sinh viên năm cuối của Khoa Toán và các độc giả làm quen với một khái niệm của lý thuyết môđun

Do khuôn khổ của khóa luận nên trong phần nội dung của khóa luận chỉ trình bày một số khái niệm cơ bản nhất, đặc biệt là khái niệm căn và đế của môđun, một khái niệm cơ bản của đại số giao hoán – một

lý thuyết phong phú và phát triển mạnh mẽ hiện nay

Nội dung khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của

môđun như: môđun con, môđun thương, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun, đồng cấu môđun…

Chương 2 Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản nhất

của căn và đế của môđun và chứng minh một số kết quả đơn giản

Trong quá trình thực hiện đề tài ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo hướng dẫn –

Thạc sĩ Dương Thị Luyến và sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy, cô giáo

trong khoa Toán Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lời chúc sức khỏe đến các thầy cô

Mặc dù có cố gắng song do hạn chế về thời gian cũng như về kiến thức, tài liệu… nên khóa luận không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em mong nhận được sự quan tâm, góp ý của các thầy cô giáo và các bạn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh Viên

Nguyễn Thị Hảo

(M ) Unitar: 1x x

với mọi ,a bR và mọi ,x yM

Tương tự, một môđun phải trên R là một nhóm Abel cùng với một ánh

thỏa mãn các điều kiện giống như (M ,1) (M2),(M3)nêu trên, trong đó

các vô hướng được viết ở bên phải và điều kiện sau:

' 1(M ) : (x ab)(xa b) ,a b, R

• Nhận xét

+ Các môđun trái và môđun phải trên R chỉ khác nhau ở một điểm:

Khi tích abR “tác động” trên các phần tử của M này thì a “tác động”

trước hay b “tác động” trước Do đó nếu R là một vành giao hoán và ta

đồng nhất x x   thì các khái niệm môđun phải và môđun trái trên R

trùng nhau

Môđun trái trên R còn được gọi là R – môđun trái Môđun phải trên

R còn được gọi là R – môđun phải

Sau đây ta chỉ xét các R – môđun trái, và gọi tắt là R – môđun Trong khóa luận này, ở chương 1 thì R – môđun được hiểu là R – môđun trái, ở chương 2 thì R – môđun được hiểu là R – môđun phải

Đôi khi nếu vành R đã rõ và không sợ nhầm lẫn gì, ta sẽ gọi các R -

môđun là các môđun cho đơn giản

+ Nếu R là một trường thì một R – môđun trên trường R chính là một không gian véctơ trên R và mỗi phần tử của môđun chính là một

véctơ

Ví dụ

1 Mọi nhóm Abel M đều có thể xem là môđun trên vành các số nguyên

với aM n,  tùy ý, phép nhân vô hướng được xác định:

; 00; 0

3 Xét tập M M S R( , ) tất cả các ánh xạ từ một tập S vào một vành có đơn vị R Ta xác định phép toán cộng trên M như sau:

(f g s)( ) f s( )g s( ) với f g, M, s S , thì M là một nhóm Abel cộng Ta xác định một

thì E là một vành giao hoán có đơn vị

1.1.2 Môđun con

Định nghĩa Giả sử M là một R – môđun Tập con N M được gọi là

một R – môđun con của M nếu N là một nhóm con của nhóm cộng M và

N đóng kín đối với phép nhân vô hướng, tức là rxN,   r R, x N

Bổ đề Giả sử M – môđun trái Nếu A là tập con khác rỗng của M thì các

điều kiện sau tương đương:

a) A là môđun con của M

b) A là nhóm con cộng của môđun M và với mọi aA mọi rR

ta có raA

c) Với mọi a b, R thì rasbA

Ví dụ

1) Mỗi môđun M đều có các môđun con tầm thường là {0} và M

2) Mỗi môđun con của – môđun M chính là nhóm con của nhóm Abel M (đối với phép cộng)

3) Vành R có đơn vị xem như R – môđun, các môđun con của R là các Iđêan trái của R

4) Nếu R là một trường thì mỗi R – môđun con của một R – không gian véctơ là một R – không gian véctơ con

5) Giả sử R là một R - môđun tùy ý và m0M Khi đó tập con

0 0

Rm  rm rR

là một môđun con của M

6) Giả sử A, B là hai môđun con của một R – môđun M Khi đó

AB sẽ là một môđun con của M và A B ab aA b, B là

một môđun con của M

+ Nếu M có một hệ sinh hữu hạn thì ta nói rằng M là một R –

môđun hữu hạn sinh

+ Môđun con sinh bởi một phần tử chính là môđun con xiclic

+ Môđun con sinh bởi tập M chính là tập M

+ Nếu S   thì ( ) ,

n

i i i i i

S   x R x S

  , trong đó i bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn iN

1.1.3 Môđun thương

• Xây dựng môđun thương

Cho M là R – môđun, N là R – môđun con của M Do N là nhóm con của nhóm Abel M nên tồn tại nhóm thương:

M N  x  N x M với phép cộng xác định:

(xN) ( yN)  x y N

1) Cho M là R – môđun có các môđun con tầm thường là  0 và

M Nên có các môđun thương là:

3) Nếu R là một trường thì một môđun trên R là một không gian

véctơ Với mỗi không gian véctơ con của không gian véctơ trên ta có không gian véctơ thương chính là các môđun thương

1.2 Đồng cấu môđun

1.2.1 Định nghĩa

Cho M và N là các R – môđun Một R – đồng cấu môđun hay một

ánh xạ tuyến tính :f M N là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện:

f xy  f x  f y

( ) ( )

f x f x với mọi ,x yM mọi rR

Kerf  x M f x   f  f  là hạt nhân của

đồng cấu f thì Imf là môđun con của N và Kerf là môđun con của M

1 2

 

(ba): Giả sử f x( ) f x( ') Khi đó f x( x')0 Gọi M là môđun

xiclic (xx')R cùng với phép nhúng chính tắc 1: M  X

Còn 2 là đồng cấu : M X biến mọi phần tử của M thành phần tử không trong X Khi đó dễ thấy f1  f2 Do giả thiết ta có  1 2 Điều này chứng tỏ 1(xx')  x x' 0 Nghĩa là f đơn cấu

1.2.5 Định lí cơ bản của R – đồng cấu tổng quát

Cho f M: N là R – đồng cấu môđun, A và B lần lượt là hai môđun con của M, N sao cho ( ) f A B P M; A: M A P N; B: N B

là toàn cấu chính tắc Khi đó tồn tại duy nhất R – đồng cấu

:

f M AN B sao cho f P AP f B tức biểu đồ sau giao hoán:

• Nhận xét: Nếu B = 0 thì ta có định lí cơ bản của R – đồng cấu môđun:

Gọi M i ( )x i i I ( )x i i I có giá hữu hạn  thì M i với hai phép

toán cộng và nhân vô hướng xác định ở trên cũng là R – môđun gọi là

tổng trực tiếp của họ các môđun  M i i I

Khi I là một tập chỉ số hữu hạn, I 1,2, ,n thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp bằng nhau

Bây giờ ta xét ánh xạ:

1 2:M M M M n

( )x ( ,x x1 2, ,x n)Trong đó x x1 x2  x n Dễ dàng kiểm tra được  là một song ánh bảo toàn hai phép toán của môđun

Mệnh đề 2 Giả sử M là một R – môđun và n là một số nguyên dương

Giả sử :i M M là một R – đồng cấu với mọi i1, 2, ,n sao cho:

xid x  x   x  Vậy  là một đơn cấu Với bất kì x iM i (i1, 2, ,n) ta đặt

+ Nếu M là không gian véc tơ hữu hạn chiều thì mọi không gian của

M đều có không gian con phụ

+ là - môđun, mọi môđun con của có dạng n , n

Giả sử m là môđun con bất kì của , m0 , với mọi p làm môđun con của , p0

(cực tiểu) theo quan hệ bao hàm

1.4.1.2 Điều kiện tương đương

Cho M là R – môđun Khi đó các điều kiện sau tương đương:

i) M là R – môđun Noether

ii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

iii) Mọi dãy tăng các môđun con của M: M1M2  M k 

đều dừng tức tồn tại nN để M n M n1 

N  a a được sinh bởi hữu hạn phần tử

Vậy mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

(ii iii) Xét dãy các môđun con M1M2 M3  (1)

Đặt N là hợp của các môđun con trong dãy trên thì N là R – môđun con của M

Theo ii) ta có N hữu hạn sinh, giả sử N ( ,x x1 2, ,x k) thì x i thuộc

một trong các môđun con của M trong dãy (1)

Vậy thì tồn tại một môđun M chứa tất cả các phần tử n x x1, 2, ,x Ta k

có: M n ( ,x x1 2, ,x k)N Vậy M n M n1 

(iii  i): Chứng minh bằng phản chứng

Giả sử M không là môđun Noether tức là tồn tại một họ F 0 các

Giả sử N1F mà F không có phần tử cực đại nên tồn tại N là 2môđun con của M, N2 N1, N2  F

Tương tự, N2 F mà F không có phần tử cực đại nên tồn tại

2) M là R – môđun đơn nếu nó chỉ có hai môđun con là 0 và M

Do đó một R – môđun đơn M vừa là môđun Artin, vừa là môđun

Noether

3) Giả sử V là R – môđun, R là trường, thì V là không gian véctơ trên trường R

+ Nếu V là không gian véctơ hữu hạn chiều, giả sử e1, ,e là cơ n

sở của V Khi đó mọi không gian véctơ con (hay môđun con) của V đều

có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng n

Vậy mọi không gian véctơ con (hay môđun con) của V đều hữu hạn sinh nên V là môđun Noether

+ Nếu V là không gian véctơ vô hạn chiều thì V không là môđun Noether, và V cũng không là môđun Artin

M không là môđun Artin

Còn dãy tăng các môđun con u R1 u R u R1  2 u R u R u R1  2  3  

cũng là dãy không dừng nên M không là môđun Noether

1.4.1.4 Một số tính chất

Mệnh đề Cho N là môđun con của R – môđun M Khi đó M là Noether

(Artin) khi và chỉ khi N và M / N là Noether (Artin)

Chứng minh

Ta chứng minh cho trường hợp môđun Artin Còn trường hợp môđun Noether chứng minh tương tự

Giả sử M là R – môđun Artin

Xét mọi dãy giảm các môđun con của N: N1 N2  N3  cũng là

dãy giảm các môđun con của M

Do M là môđun Artin nên tồn tại nN để N n N n1 

Vậy N là môđun Artin

Giả sử M1 M2 M3  là dãy giảm các môđun con của

môđun M/N Trong đó môđun con của M/N có dạng P/N với P là môđun con của M và P N M N Do đó tồn tại dãy giảm các môđun con của

Nếu N và M N là môđun Artin

Khi đó xét dãy giảm các môđun con của môđun M:

Với mọi xM i (M i1N) thì

1

i i

Vậy M là R – môđun Artin

Mệnh đề Cho R là vành có đơn vị, f là tự đồng cấu của R – môđun Artin

(Noether) M Khi đó nếu f là đơn cấu (toàn cấu) thì f là đẳng cấu

f a  f  b  f b tức f n( )a  f n( )b Do f đơn cấu nên f cũng n

đơn cấu vì vậy a f b( ) hay mọi aM đều có tạo ảnh tức f là toàn

cấu

Vậy f là đẳng cấu

+ Giả sử M là R – môđun Noether, : f M M là tự đồng cấu và f

là toàn cấu Ta chứng minh f là đẳng cấu

Ta có dãy tăng các môđun con của M:

0 f  (0) f (0) f (0)

Do f toàn cấu nên f cũng toàn cấu n

Với mọi a Kerf thì a f1(0) suy ra aM sao cho ( )f a 0

Vì f là toàn cấu nên tồn tại n bM để a f n( )b

Suy ra f a( ) f n1( )b mà ( )f a 0 nên f n1( )b 0

Hay bf  (n 1)(0) f n(0) tức f n( )b 0 Do đó: a 0 hay Kerf 0

Từ đó suy ra f là đơn cấu

f M B, mọi toàn cấu :g AB tồn tại đồng cấu h M: A sao

cho gh = f tức biểu đồ sau giao hoán:

(khi đó h gọi là một nâng của f theo toàn cấu g)

1.4.2.2 Một số tính chất

Mệnh đề 1 Mọi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh

Chứng minh

Giả sử f là môđun tự do với cơ sở U u i i I

Với mọi đồng cấu :f FB , mọi toàn cấu :g AB , vì g là toàn cấu nên g(A) = B Do đó với mọi u iU , tồn tại a iA sao cho ( )f u i g a( )i Khi đó tồn tại đồng cấu

Mệnh đề 2 Môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi nó là một hạng tử trực tiếp

của một môđun tự do (tức tồn tại F để F P Q  , F là môđun tự do)

Chứng minh

Giả sử tồn tại môđun tự do F để F P Q  Ta chứng minh P là

xạ ảnh

Ta kí hiệu : F P là phép chiếu chính tắc

Giả sử f P: C là R – đồng cấu bất kì

g B: C là toàn cấu bất kì

Vì F là môđun tự do nên F là xạ ảnh Do đó mọi

đồng cấu f :FC , mọi toàn cấu g B: C, tồn

tại đồng cấu k F: B sao cho gk  f

1.4.2.3 Định nghĩa môđun nội xạ

Môđun Q được gọi là môđun nội xạ nếu với mọi đồng cấu

:

f AQ , mọi toàn cấu đơn cấu môđun g A: B tồn tại một đồng cấu môđun :h BQ sao cho hg = f tức biểu đồ sau giao hoán: