BAT DANG THUC SVACXO VA UNG DUNG
Bat dang thức Svacxơ được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực Aston ya Đ1,ba, Đn(
b¡>0, — 1,2;-.-;11) thì ta có:
a? 32 2 „(eitaz+ ta )? 1 2 n
5 tb t+ +> 2 Bibby t rb, ()
Ta sé chứng minh BDT A) băng BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đăng thức Bunhiacôpxki cho
42
hai bộ số Te vba” “bey à Vb1,VBạ, VĐnta duoc BDT (1)
31 Ẻ2_ _ 3n Đăng thức xảy ra khi bi bạ ”— bạ
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho sự tiện lợi của BDT Svacxo trong việc chứng minh BĐT
(Ở đây chỉ là những hướng dẫn cơ bản đề các bạn có thê chứng minh BĐT, còn phân đăng thức xảy ra thì các ban có thê dê dàng tìm ra nên không trình bày )
Vị dụ 1:Chứng minh rằng với các số duong a,b,c ta đều có :
Lạy
(+ÿ+£) (a+b+c) >9
Lời giải: Ycbt (yêu cầu bải toán) Carp Tế 2 a-+b+c
„ GH+UẺ © 9
Áp dụng BĐT (1) được: atpte> a+b+c —a+b-+csuy raDPCM
Ví dụ 2: chứng minh răng với các số đương a,b,c thoả mãn a2 +b? +c2 < lta co:
1 1 1
221+bc Tb2Lca Lc2+ab
Lời giải: Áp dụng BĐT (1) được
(1+1+1)?
>
vT2 a2+b2-+c2+ab+bc+ca
VT> 3 >?
Ta có BĐT quen thuộc a2 b2-+c2 > ab+bc+ca , suy ra — 2(a2+b*+c2) = 2(vì
a2-+b2-++c2<1(@ÐPCM)
4 b2, c2 3(ab+bc+ca)
Ví dụ 3: chứng minh rằng với các số dương a,b,cthìÐtc €†a a+b“^ 2a+b+o)
Lời giải : Áp dụng BĐT (1) ta suy ra
Trang 2(atb+c)?
VTP2ab+o
Mà ta có BĐT quen thuộc a4+b“+c32> ab+bc+ca — (a+b+c)“> 3(ab+bc+ca) thay vao bén
trén ta suy ra DPCM
3
a2 bey
Vi du 4: Cho cac s6 duong a,b,c thoa man abc = 1 CMR 1+b T1+c T1+a ~2
Lời giải : Áp dụng BĐT Svacxơ được:
(at+b+c)?
1=
Theo BĐT côsi ta có != ab€ €Œ—~ã—)” >a+b+c >3
(a+b+c}? _ a+b+c 5 3
Từ đó suy ra “2(a+b+d) — 2 =2
(PPCM)
Vi du 5:Cho a,b,c là các số dương và thoả mãn a+b+c = 1 Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức
T= 22+8bcb2+8ca Ìc2+Bab
T _ a2 b2 + c3 (at+b+c)?
Lời giải: Tacó a9 +Babcbh3+Babc | c3+Babe — a34+b34c3424abc
Ta lai co @+b+c)? = a3 +b34+c343(a+b+0) (@b+bc+ca)—3abc >
3
a3+b3+ct+27 Yabo (abc)*—3abc — a3-Lb3-Lc3-L24abc
1
Từ đó suy ra T2 a+b+c — | mm
- đạt được tại = P= 9 =3
Vi du 6:Cho a,b,c > 0 va thoa man a+b+c =l Tìm giá trị nhỏ nhất của
— 1, TL,
Q=:282+c2 Tabc
Lời giải: Áp dụng BĐT côsi c6 1 = opbtc > 3Ÿabc và
ab-Fbc-Lca > 3\/ (abc)? > 9ửabcV (abc)? = 9abc
Từ đó Q> 22+b2+c2 Tab+bc+ca _— C2TbDLc2 Tab+bc+ca) †ãb+bc+ca
1
> = =
22b2+c2 Tab+bc+ca Tab+bc+ca —a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) (a+b+c)2 ?
Trang 3= 2 mm
_,_,_1
Vay Q29+21= 30 suy ra minQ = 30, dat duoc tạ t2 ĐÐ=Cc=5