chuyên đề MŨ, LÔGARIT

1. Về kiến thức: Học sinh nắm vững các kiến thức về lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit. 2. Về kĩ năng: Rèn kỹ năng thực hiện các phép tính về lũy thừa, lôgarit. Rèn kỹ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 3. Về thái độ: + Rèn luyện tính chính xác, tư duy lôgíc. + Rèn khả năng quan sát sự liên hệ giữa song song và vuông góc. 4. Định hướng năng lực hình thành: năng lực tư duy, tổng hợp kiến thức, hợp tác, giải quyết vấn đề, năng lực tính toán… II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH GV: Giáo án, hệ thống bài tập cho học sinh ôn luyện. HS: Vở ghi, đồ dùng học tập, máy tính bỏ túi, làm bài tập ở nhà.

Rèn kỹ năng thực hiện các phép tính về lũy thừa, lôgarit.

Rèn kỹ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

3 Về thái độ:

+ Rèn luyện tính chính xác, tư duy lôgíc

+ Rèn khả năng quan sát sự liên hệ giữa song song và vuông góc

4 Định hướng năng lực hình thành: năng lực tư duy, tổng hợp kiến thức, hợp tác,

giải quyết vấn đề, năng lực tính toán…

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

GV: Giáo án, hệ thống bài tập cho học sinh ôn luyện.

HS: Vở ghi, đồ dùng học tập, máy tính bỏ túi, làm bài tập ở nhà.

III Tổ chức các hoạt động học tập:

Phần 1: Ôn lại lý thuyết

I LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA.

1 Các công thức về lũy thừa:

- Lũy thừa với số mũ nguyên:

=  ÷ 

- Nếu cơ số: a>1 thì: aα >aβ ⇔ >α β

- Nếu cơ số: 0< <a 1 thì: aα >aβ ⇔ <α β

2 Hàm số lũy thừa:

2.1 Khái niệm: Hàm số lũy thừa được cho bởi công thức: y x= α (với: α ∈R)

2.2 Tập xác định: - Nếu α nguyên dương: ∀ ∈x R ⇒ =D R

- Nếu α nguyên âm: x≠0 ⇒ =D R\ 0{ }

- Nếu α không nguyên: x>0 ⇒ =D (0;+∞)

2.3 Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

* Nếu: α =1 ⇒ =y x đồ thị là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

II LÔGARIT – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

1 Các công thức logarit:

- Với ,a b>0 và a≠1 aα = ⇔ =b α loga b

loga aα =α aloga b =b

- logarit của một tích loga(b b1 2) =loga b1+loga b2 (với b b1, 2 >0)

Mở rộng: với b i > ∀ =0, i 1,n loga(b b b1 2 n) =loga b1+loga b2 + + loga n b

- logarit của một thương

a

= logc aloga b=logc b

Đặc biệt: với n N n∈ , >1 log 1

2 Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên:

- Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10 log b thường được viết là: logb hay: lgb 10

- Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e log e b thường được viết là: lnb

3.1 Định nghĩa: Cho 0< ≠a 1,

Hàm số mũ là hàm số được cho bởi công thức: y a= x trong đó a là cơ số.

3.2 Đạo hàm của hàm số mũ: Cho 0< ≠a 1 và u u x= ( ) là một hàm số theo x

Hàm số mũ có đạo hàm với mọi x và

x y

O a 1

1

4 Hàm số lôgarit.

4.1 Định nghĩa: Cho 0< ≠a 1

Hàm số lôgarit là hàm số được cho bởi công thức: y=loga x với a là cơ số

- Điều kiện xác định: x >0

- Hàm số hợp tương ứng: y=loga u với u u x= ( ) có điều kiện xác định là: ( ) 0u x >

4.2 Đạo hàm của hàm số lôgarit: Cho 0< ≠a 1 và u u x= ( ) là một hàm số theo

x Hàm số mũ y=loga x có đạo hàm với mọi x>0 và

x y

1

1

x y

O a

1

1

III CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.

Ở phần này giáo viên đưa ra các ví dụ để giúp học sinh nhớ và vận dụng được các công thức về lũy thừa và logarit Rèn luyện kỹ năng tính toán, sử dụng các phép biến đổi tương đương, củng cố cho học sinh các tính chất của lũy thừa và logarit dựa vào

cơ số và số mũ Bên cạnh đó đưa ra một ví dụ có sử dụng tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit.

Ví dụ 1: Cho các số thực dương ,a b (với a≠1); ,α β là các số thực tùy ý Chọn mệnh đề sai:

A Nếu a>1 thì: aα <aβ ⇔ >α β B Nếu 0< <a 1 thì: aα >aβ ⇔ <α β

C Nếu a>1 thì: aα >aβ ⇔ >α β D Nếu 0< <a 1 thì: aα <aβ ⇔ >α β

Đáp án: A Nếu a>1 thì: aα <aβ ⇔ >α β

(GV chú ý cho học sinh: Cơ số lớn hơn 1 bất đẳng thức không đổi chiều, cơ số nhỏ hơn 1 bất đẳng thức đổi chiều)

Ví dụ 2: Giá trị của các biểu thức: 5 ( ) 0,75 3

3log 3

ax ax

− = −

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức (giả thuyết các tham số đều có nghĩa):

(loga logb 2 log) ( a logab )logb 1

A Q=0 B Q=1 C Q=loga b D Q=logb a.

Đáp án: C Q=loga b GV hướng dẫn học sinh tính giá trị của biểu thức:

(loga logb 2 log) ( a logb logab logb ) 1

−

+ . B 2 3( )

3

x x

−+ . C 3 3( )

3

x x

−+ . D 4 3( )

3

x x

−+

3

x x

−

+

Ví dụ 8: Đạo hàm cấp hai của hàm số y e= sin x là:

A y''= −sinxesinx −cos x e2 sinx B y'' sin= xesinx −cos x e2 sinx

C y'' sin= xesinx +cos x e2 sinx D y''= −sinxesinx +cos x e2 sinx

Đáp án: D y''= −sinxesinx +cos x e2 sinx

Giải:

sin x

y e= ⇒ =y' ( )esinx '=(sinx e)' sinx =cosx e sinx

⇒ y''=(cosx e)' sinx +cosx e( )sinx '= −sinxesinx +cos x e2 sinx

Ví dụ 9: Tập xác định của hàm số: y=ln 1 2( − x) là:

IV BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức 2 5

A

24

a b

+

3(1 )1

b a

−

3(1 )1

b a

−

52(a−1). D

52(a 1)

2

x y

Câu 11: Cho hàm số y e= xcosx Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

+

4 2 12(2 2)

−

4 2 12(2 2)

Câu 16: Sắp xếp các số 10log1, 2log 3 5 và 5

1 log 2

3 theo thứ tự tăng dần, đáp án đúng là:

3

C 2log 3 5 , 10log1, 5

1 log 2

1 log 2

3 , 2log 3 5 , 10log1,

đáp án: A 5

1 log 2

3 , 10log1, 2log 3 5

Câu 17: Cho biểu thức K = 2 2 3 Hãy tìm biểu thức K được viết dưới dạng lũy

thừa với số mũ hữu tỉ

x x

x x

x x

D Tập giá trị của hàm số y = log xa là tập R

đáp án: D Tập giá trị của hàm số y = log xa là tập R

Câu 29: Các điểm trên đồ thị hàm số y = ln( 4x – 1) mà tiếp tuyến tại điểm đó song

song với đường thẳng y = x là:

A Đồ thị hàm số y =loga x với cơ số a>1 luôn đồng biến

B Đồ thị hàm số y =loga x với cơ số 0< <a 1 nhận trục Oy là tiệm cận đứng

C Đồ thị hàm số y =loga x với cơ số a>1 nhận trục Ox là tiệm cận đứng

D Đồ thị hàm y =loga x (với 0< ≠a 1) luôn đi qua hai điểm ( )1;0 và ( )a;1

Cách Giải: - Nếu: b≤0 ⇒ phương trình vô nghiệm

- Nếu: b>0 phương trình có nghiệm:

a x =b ⇔ =x loga b Tổng quát: f x( ) ( ) log

a

a = ⇔b f x = b (với: b>0)

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a) 5x =2 b) 3.9x+ 2 +32x+ 2 =28

2 Các phương pháp giải phương trình mũ:

2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số: Khi giải phương trình mũ qua các phép

biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng: a f x( ) =ag( )x ⇔ ( ) g( ) f x = x

a =t a =t a =t đưa phương trình mũ về phương trình đại số.

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

5

x x

= −



 =

Với t =5 ⇒ 5x =5 ⇒ x=1

- Nếu trong phương trình mũ có chứa hai biểu thức a và x b và hai cơ số a , b x

thỏa mãn điều kiện: a b=1 thì ta đặt t a= x (điều kiện: t>0) thì b x 1

(loại)

Phương trình đã cho tương đương với: 4 3 18 2 17

t t

2.3 Phương pháp lôgarit hóa:

Khi giải phương trình mũ chứa tích của các biểu thức có cơ số khác nhau ta có thể

sử dụng phương pháp lôgarit hóa (lấy lôgarit hai vế của phương trình) Người ta thường lấy lôgarit hai vế phương trình theo cơ số có số mũ phức tạp hơn

Ví dụ 7: Giải phương trình sau: 3 2

 =



Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình

( )

f x =C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b) Do đó nếu tồn tại x0∈( )a b;

sao cho f x( )0 =C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình ( ) f x =C

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là một hàm giảm

trong khoảng (a;b) thì phương trình f x( ) =g x( ) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) Do đó nếu tồn tại x0∈( )a b; sao cho f x( )0 =g x( )0 thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f x( ) =g x( ).

Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:

        ⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình 3x +4x =5x có nghiệm duy nhất là: x =2

3 Bài tập tương tự:

Câu 1: Số nghiệm của phương trình e x 2+2x − =1 0 là:

S =  

2

;23

S = − 

−

−

++ = − có nghiệm là:

x x

x x

x x

Câu 14: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 9 x −2(m−1).3x + + =m 1 0

có hai nghiệm phân biệt:

A m∈( )0;3 B m∈ −∞( ;0) (∪ 3;+∞) C m∈ +∞[3; ) D m∈[ ]0;3

đáp án: B m∈ −∞( ;0) (∪ 3;+∞)

Câu 15: Một người gởi 40 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép 6 tháng

với lãi suất 3,42% Giả sử lãi suất không thay đổi Số tiền người đó thu được cả vốnlẫn lãi sau 3 năm khoảng

A 48,8 triệu B 48,7 triệu C 48,6 triệu D 48,9 triệu

đáp án: D 48,9 triệu.

II Phương trình lôgarit.

1 Phương trình lôgarit cơ bản:

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: loga x b= (a>0,a≠1)

Cách Giải: Điều kiện: x>0

loga x b= ⇔ =x a b Tổng quát: loga f x( )=b ( ) 0

2 Các phương pháp giải phương trình lôgarit:

2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

Khi giải phương trình lôgarit nếu trong phương trình có nhiều cơ số nhưng có thể đưa về cung một cơ số thì ta sử dụng các phép biến đổi của lôgarit đưa phương trình

về cùng một cơ số (thường đưa về cơ số nguyên nhỏ nhất) hoặc biến đổi phương trình

về dạng:

loga f x( ) log g( )= a x

( ) 0g( ) 0( ) ( )

f x x

nếu thỏa mãn thì là nghiệm của phương trình, nếu không thỏa mãn thì loại nghiệm.

Khi giải phương trình logarit nếu trong phương trình chỉ có một biểu thức loga x

hoặc các biểu thức logarit đều có thể biến đổi đưa về loga x ; log2a x ; log3a x ; … ta đặt t log= a x (điều kiện: x>0) suy ra: log2a x t= 2; log3a x t= 3; …

* Vị dụ 13: Giải các phương trình sau:

a) 4log22x+log 2 x=2 Điều kiện: x > 0.

Với 1

4

t= −

1 4

Ví dụ 15: Giải phương trình sau: log2x+log 25( x+ =1) 2 (*)

>

 + >

Ta có x=2 là nghiệm của phương trình (*) vì log 2 log 2.2 12 + 5( + =) 2

Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất

Vì x>0 ⇒ f x'( ) 0> ⇒ hàm số ( )f x luôn đồng biến với ∀ >x 0

⇒ phương trình ( ) 0f x = có một nghiệm duy nhất với ∀ >x 0

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm x =2

3 Bài tập tương tự:

Câu 1: Số nghiệm của phương trình log 2( x2 + − =x 6) log(x2 +3x−3) là:

Đáp án : B 1.

Câu 2: Nghiệm của phương trình 4{ 2 2( 2 ) }

1log 2log 1 log 1 3log

Câu 7: Tìm m để phương trình 2 2

log x+ log x+ −1 2m− =1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3.

x x

1 Bất phương trình mũ cơ bản:

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng: a x >b với 0< ≠a 1

(hoặc a x ≥b, a x <b a, x ≤b) Tổng quát: a f x( ) >b với 0< ≠a 1

(hoặc a f x( ) ≥b, a f x( ) <b a, f x( ) ≤b)

Cách Giải:

(ở phần này chỉ đưa ra cách giải của hai bất phương trinh: a x >b và a x <b hai bất phương trình còn lại có cách giải tương tự)

Giải bất phương trình: a x >b Tập nghiệm

- Nếu b≤0 ⇒ Bất phương trình có vô số nghiệm x R∈

- Nếu b>0 + Với: 0< <a 1 ta có: a x >b ⇔ <x loga b x∈ −∞( ;loga b)

+ Với: a>1 ta có: a x >b ⇔ >x loga b x∈(log ;a b +∞)

Giải bất phương trình: a x <b Tập nghiệm

- Nếu b≤0 ⇒ Bất phương trình vô nghiệm Φ

- Nếu b>0 + Với: 0< <a 1 ta có: a x <b ⇔ >x loga b x∈(log ;a b +∞)

+ Với: a>1 ta có: a x <b ⇔ <x loga b x∈ −∞( ;loga b)

Chú ý:

- Khi giải bất phương trình mũ trước hết phải giải được nghiệm của phương trình

mũ Quy tắc lấy nghiệm của bất phương trình mũ là: Cơ số nhỏ hơn 1 bất đẳng thức

sảy ra ngược chiều, Cơ số lớn hơn 1 bất đẳng thức sảy ra cùng chiều.

- Bất phương trình mũ có các phương pháp giải tương tự như phương trình mũ.

2 Một số phương pháp giải bất phương trình mũ:

2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

(Các cách đặt ẩn phụ tương tự như phần Phương trình mũ)

Vậy bất phương trình có nghiệm: S = −[ 1;1]

Vậy bất phương trình có nghiệm: S =( )0;2

II Bất phương trình lôgarit.

1 Bất phương trình lôgarit cơ bản: Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

loga x b> với 0< ≠a 1 (hoặc loga x b≥ , loga x b< , loga x b≤ )

Tổng quát: loga f x( )>b (hoặc loga f x( )≥b, loga f x( )<b,

loga f x( )≤b)

Cách Giải: Để giải được bất phương trình lôgarit trước hết ta phải giải thành thạo các dạng của phương trình lôgarit sau đó thay dấu “=” ở phương trình bằng dầu bất

đẳng thức theo quy tắc: “Cơ số nhỏ hơn 1 bất đẳng thức xảy ra ngược chiều, cơ số

lớn hơn 1 bất đẳng thức xảy ra cung chiều”

Điều kiện Giải bất phương trình: loga x b> Tập nghiệm

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: S =(10;+∞)

2 Một số phương pháp giải bất phương trình lôgarit:

2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

loga f x( ) log g( )> a x f x f x( )( )<>g x g x( )( ) với cơ số a>1

với cơ số 0< <a 1loga f x( ) log g( )< a x f x f x( )( )<>g x g x( )( ) với cơ số a>1

b) log (5 x+ +2) log (5 x− <2) log (45 x+1)

> −

+ >

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là: S=( )2;5

0,5

2

x x

x

x x

2

S  

=   b) 2

2

2log

Suy ra: 2

2

2log

III Bài tập tương tự:

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 1( )

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình

Câu 9: Một khách hàng có 100 000 000 đồng gửi ngân hàng kì hạn 3 tháng (1 quý)

với lãi suất 0,65% một tháng theo phương thức lãi kép (tức là người đó không rút lãitrong tất cả các quý định kì) Hỏi vị khách này sau bao nhiêu quý mới có số tiền lãi lớnhơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng?

A 36 quý B 24 quý C 12 quý D Không thể có

Câu 10: Một người gửi số tiền gốc ban đầu là P triệu đồng vào ngân hàng với lãi

suất 7,6%/năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, sốtiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu và được tính vào vốn của kỳ kế tiếp (người tagọi đó là “lãi kép”) Hỏi người đó phải mất ít nhất bao nhiêu năm để có gấp đôi số tiềnban đầu (nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người gửi khôngrút tiền ra)

Câu 2: Cho hàm số f x( )= −(5 x2 2)3 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A f '(1)= −6 B f '(1) 6= C f '(1) 1= D f '(1)= −1

Câu 3: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: Cho số dương a khác 1.

A Nếu 0< <a 1 thì bất phương trình loga x b≥ có nghiệm là: 0< ≤x a b

B Nếu a>1 thì bất phương trình loga x b≤ có nghiệm là: 0< ≤x a b

D Nếu 0< <a 1 thì bất phương trình loga x b< có nghiệm là: x a> b

Câu 4: Cho hàm số y =log 2( x2 −7x+3) Tính f '(4).

Câu 5: Tập nghiệm của phương trình: 25x −27.5x +50 0=

A S ={2;25} B S ={25;log 25 } C S ={2;log 35 } D S ={2;log 25 }

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình: 2log22x+log2x3− ≤9 0

Câu 12: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A Nếu a>1 thì aα >bβ khi và chỉ khi α β>

B Nếu a>1 thì aα ≤bβ khi và chỉ khi α β≤

C Nếu 0< <a 1 thì aα ≥bβ khi và chỉ khi α β≤

Câu 13: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

3 m Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá

thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m2 Hãy xác định kích thước của hồ nướcsao cho chi phí thuê nhân công là thấp nhất Chi phí đó là?

Câu 20: Cho hai số thực dương a và b, a ≠1 Hãy chọn mệnh đề sai:

A log 10 loga + a b=log 10a( )b B loga a−7 = −7

x y

O a 1

1

Câu 22: Hình nào dưới đây là dạng của đồ thị hàm số y =loga x với 0< <a 1

x y

O a 1

1

x y

1

1

x y

C Giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ ]0;1 bằng 0 D Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;1).

Câu 31: Phương trình: 22x 6 + +2x 7 + =17 có nghiệm là:

A -3. B 2 C 3 D 5

Câu 32: Giả sử ta có hệ thức a2 + =b2 7ab a b( , >0) Hệ thức nào sau đây là đúng?

A 2log a b2( + ) =log a log b.2 + 2 B 2log2a b+ =log a log b2 + 2

C log2a b+ =2 log a log b( 2 + 2 )

3 . D 4log2a b+ =log a log b2 + 2

Câu 33: Xác định m để phương trình: 4x −2m.2x + + =m 2 0 có hai nghiệm phân biệt?Đáp án là:

A m < 2 B -2 < m < 2 C m > 2 D m∈∅

Câu 29: Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng với phương thức trả góp Nếu cuối

mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 5.500.000 và chịu lãi suất số tiền chưatrả là 0,5%/tháng thì sau bao lâu anh trả hết số tiền trên?

A e23 B −e23 C 3e D − 3e

Câu 38: Trên đồ thị (C) của hàm số y = x 2

π lấy điểm Mo có hoành độ xo = 1 Tiếptuyến của (C) tại điểm Mo có phương trình

*) Câu hỏi trắc nghiệm bổ sung

Câu 1: Rút gọn biểu thức (giả thuyết các tham số đều có nghĩa):

1

14

Câu 2: Rút gọn biểu thức (giả thuyết các tham số đều có nghĩa):

(loga logb 2 log) ( a logab )logb 1

−

3

x x

Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số y e= sin x là:

A y''= −sinxesinx −cos x e2 sinx B y'' sin= xesinx −cos x e2 sinx

C y'' sin= xesinx +cos x e2 sinx D y''= −sinxesinx +cos x e2 sinx

Câu 5: Tập xác định của hàm số: y=ln 1 2( − x) là: