Vở làm bài tập toán lớp 12 chuyên đề mũ logarit

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LƠGARÍT 1... GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY 3... CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: a... Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,.

Trang 1

GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY

  (n Z , n 1, a R / 0 )      



m

n m n

a  a ( a  0; m, n  N )



m n

m n m n

1 1 a

a a

a a a

a a ( )

Trang 2

Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit

II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LƠGARÍT

1 Định nghĩa: Với a > 0 , a  1 và N > 0

dn

M a

N a

Trang 3

3 Cơng thức đổi cơ số :

 log N a  log b log N a b

a

log N log N

log a

a

1 log N log N

* a > 1 : y  log x a đồng biến trên R 

* 0 < a < 1 : y  log x a nghịch biến trên R 

log ' '

.ln

a

u u

Trang 4

4 Định lý 4: Với 0 < a  1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N  M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N  M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N  M < N (đồng biến)

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:

a Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a M = a N ; log M a  log N a

(Phương pháp đưa về cùng cơ số)

Trang 5

  3 4 6 52

x x

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 6 

Tự luyện: Giải các phương trình sau



   

  2) 4.2 14

x x

3

x x



4x 4 3x  2 x 2 [thỏa (*)]

Ví dụ 3: Giải phương trình log2 xlog3xlog6 xlog36x (1)

Bài giải

♥ Điều kiện: x 0

♥ Áp dụng cơng thức loga cloga blogb c , 0 a b c a, , ; 1;b1, ta cĩ

 1  log2xlog 2 log3  2xlog 2 log6  2 xlog 2 log36  2 x

 log2xlog 2 log 2 1 log 23  6   36 0 *

Do log 2 log 2 1 log 23  6   36  nên 0

 *  log2x0x1

1) log3 xlog3x 2 1

Trang 6

HTTP://THAYTOAN.NET 6 ………

………

2) log3x 1 log3x 2 log 63 ………

………

3)  2    log x 7x 6 log x 1 1

………

4) 2   1   2 2 log 2x 2 log 9x 1 1 ………

………

5) 3 1 1 2 1 3 3 1 1 log log (2 3 ) 3 3 x x    

………

Trang 7

………

6)  2  2 1 2 1 log log x x 3 x  

………

7) log4x 12 log 2 x 1

………

8) 1  1  1   2 2 2 log x 1 log x 1 log 7x  1

………

9) log4x3log2x720

Trang 8

………

10)  2    7 1 7 log x 2 log 8x 0

………

11) 3  1  3 log 2x7 log x5 0 ………

………

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3  2    3 log (x 1) log (2x 1) 2 (1)

Bài giải ♥ Điều kiện: 1 1 0 1 2 1 0 2 x x x x                     (*)

♥ Khi đĩ:  1 2 log3 x 1 2 log 23 x 1 2

log3 x 1 log 23 x 1 1 log3x1 2 x11  x 1 2 x 1 3 (2)

Trang 9

HTTP://THAYTOAN.NET 9  Với 1 1 2 x thì      2

2  1 x 2x  1 3 2x 3x 4 0 : phương trình vơ nghiệm  Với x 1 thì      2  

1

2 1 2 1 3 2 3 2 0 2 2 x x x x x x                  loại [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 2   2 2 log x 2 log 3x4 ………

………

2)    2 2 4 1 2 log x2 log x5 log 8 0 ………

………

3)    2 3 3 2 log x 2 log x4  0

………

Trang 10

………

4) 2 2 1 2 log x 2 log x 5 log 8 0

………

5)  2   2 2 log 1 2 xx 2 log 3x

………

b Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ 5: Giải phương trình 9x4.3x45 (1) 0

Trang 11

HTTP://THAYTOAN.NET 11 Bài giải ♥ Đặt 3x t  với t 0, phương trình (1) trở thành 2 4 45 0 t  t  (2)

 2 5  

9 t t         loại  Với t 9 thì 3x 9 2 x   

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 16x17.4x16 0 ………

………

2) 25x6.5x  5 0 ………

………

3) 32x+84.3x+5+ 27 = 0 ………

………

Trang 12

HTTP://THAYTOAN.NET 12 4) 2 1 2 2 9x x 10.3x x   1 0 ………

………

Ví dụ 6: Giải phương trình 1 3x 18.3x29 (1)

Bài giải ♥ Biến đổi phương trình (1) ta được  1 3.3 18 29 3 x x    (2)

♥ Đặt 3x t  với t 0, phương trình (1) trở thành 2 3t 29t18 (3) 0  

2 3 3 9 t t          Với t 9 thì 3x 9 2 x   

 Với 2 3 t  thì 3 2 log3 2 3 3 x x   

♥ Vậy nghiệm của phương trình là 2; log3 2 3 x x  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 1 3 5x 5x26 0

Trang 13

………

2) 1 2 1 2 10x 10x 99 ………

………

Ví dụ 7: Giải phương trình 6.9x13.6 + 6.4 = 0x x (1)

Bài giải ♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 4x ta được  

2 3 3 1 6 13 6 0 2 2 x x                            (2)

♥ Đặt 3 2 x t    với t 0, phương trình (1) trở thành 2 6t 13t  (3) 6 0  

2 3 3 3 2 t t            Với 3 2 t  thì 3 3 1 2 2 x x           

 Với 2 3 t  thì 3 2 1 2 3 x x            

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 1;x  1

Trang 14

HTTP://THAYTOAN.NET 14 1) 4.9x12x 3.16x

………

2) 3.16x2.81x 5.36x ………

………

3) 32x445.6x9.22x2  0

………

Trang 15

………

4) 5.2x 7 10x 2.5x

………

5) 27x12x2.8x ………

………

Trang 16

………

Ví dụ 8: Giải phương trình 2  

2 2 log x3log 2x  1 0 (1)

Bài giải ♥ Điều kiện: x 0 ♥ Khi đĩ:   2

2 2 1 log x3log x 2 0 Đặt tlog2 x , phương trình (1) trở thành 2 3 2 0 t    (3) t  3 1 2 t t           Với t  1 thì log2 1 1 2 x   x [thỏa (*)]  Với t  2 thì log2 2 1 4 x   x [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm của phương trình là 1; 1 4 2 x x  Ví dụ 9: Giải phương trình 1 2 1 5 logx1 logx   (1)

Bài giải ♥ Điều kiện: 0 log 5 log 1 x x x           (*)

♥ Đặt tlogx t5,t 1, phương trình (1) trở thành 1 2 1 5 t1 t    (3)

3

t

 



 

 Với t 2 thì logx  2 x 100 [thỏa (*)]

 Với t 3 thì logx  3 x 1000 [thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x100;x1000 

Trang 17

HTTP://THAYTOAN.NET 17 Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 2 2 3 2 2 log x 4 log x  8 0 ………

………

2) 2 2 2 6 4 3 log 2xlog x  ………

………

Trang 18

………

3)    1  3 3 log 3x1 log 3x  3 6 ………

………

Ví dụ 10: Giải phương trình log 3 1 log 3 2 2 x 2 x x     (1)

Bài giải ♥ Điều kiện: x 0

♥ Đặt log3 3t t x x thì phương trình (1) trở thành 2.2 1.2 3 9.2 3 2 4 2 4 4 3 9 t t t t t t t             

Với t 2 thì x 9 (thỏa điều kiện) ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 9 

Ví dụ 11: Giải phương trình log2 5.2 8 3 2 2 x x x             (1)

Bài giải

♥ Điều kiện 5.2x  (*) 8 0

Trang 19

HTTP://THAYTOAN.NET 19 ♥ Ta cĩ:   5.2 8 3 1 2 2 2 x x x       2 5.2x x 8 8 2 x2 2

5.2 x 16.2x 16 0     (2)

♥ Đặt 2x t  với t 0, phương trình (2) trở thành 2 5t 16t  (3) 16 0  

4 3 4 5 t t           Với t 4 thì 2x 4 2 x    [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2  Tự luyện: Giải phương trình sau log 3.22 x 1 2 1 x    ………

………

c Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,

Ví dụ 12: Giải phương trình 4.5x25.2x10010x (1)

Bài giải

♥ Ta cĩ:  1 4.5x2 5x x25.2x1000

5 4x 2x25 2 x 4 0

Trang 20

HTTP://THAYTOAN.NET 20 42x5x250 5 25 2 2 4 x x x          ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 3.7x49.3x14721x ………

………

2) 32x x  3 9x3x1

………

Trang 21

………

3) log2 x2 log7x 2 log2 x.log7x ………

………

d Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đĩ (Phương pháp lơgarít hĩa) Ví dụ 13: Giải phương trình 3 2x x2  (1) 1 Bài giải ♥ Lấy lơgarit hai vế với cơ số 3, ta cĩ    2

3 3 1 log 3 2x x log 1 log 33 xlog 23 x2 0 2

3

x1xlog 23 0

Trang 22

2 3

01

log 3log 2

x x

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x0,x log 32 

e Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh

nghiệm duy nhất (thường là sử dụng cơng cụ đạo hàm)

♥ Ta thường sử dụng các tính chất sau:

 Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình

f(x) = C cĩ khơng quá một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đĩ nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho

f(x0) = C thì đĩ là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

 Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm

trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) cĩ nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b)

(do đĩ nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đĩ là nghiệm duy nhất của phương

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (2) cĩ nghiệm duy nhất x 2

♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 2 

Trang 23

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất x 0

Trang 24

Trang 25

Trang 26

Trang 27

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (3) cĩ nghiệm duy nhất t 1

♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 2 

IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LƠGARÍT

1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:

a Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N (  , , )

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   1; 2 

Tự luyện: Giải các bất phương trình

x

x2

Trang 28

Trang 29

Trang 30

Trang 31

Trang 32

Trang 33

Trang 34

Trang 35

………

2) 3 2x2x  9

………

3) 9x5.3x  6 0 ………

………

………

4)    2x 1 x 5 5 4 ………

………

Trang 36

………

5)           2 2 2x x x 2x 1 9 2 3 3 ………

………

6) 32x 1 22x 1 5.6x  0 ………

………

Trang 37

………

Ví dụ 6: Giải bất phương trình log x log x 2 022  2   (1)

Bài giải ♥ Điều kiện: x 0 ♥ Đặt tlog2 x , bất phương trình (1) trở thành 2 2 0 t    (2) t  3    2 t 1 Suy ra: 2 log2 1 1 2 4 x x       ♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1; 2 4 S           Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 2 2 2 log x17 log x  4 0 ………

………

2) 23 3 3.log x14.log x  3 0 ………

………

Trang 38

………

3) log2 x 2 log 4 5x   0

………

………

4) 2 5 1 1 3 3 4 log ( 1) 3 log ( 1) 5 x    x ………

………

5) 1 4 2 2 3 log xlog x   2 0 ………

………

Định dạng
Số trang	54
Dung lượng	419,88 KB