CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HPT, BPT ( CÓ GIẢI CHI TIẾT)

Tài liệu dành cho học sinh thi đại học.

CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình,

hệ bất phương trình và bất đẳng thức

Bài 1

Cho A, B, C là độ dài các cạnh A ABC Chứng minh rằng phương trình:

(a’ +b? —¢?)x? —4abx+a” +bÌ—c”=0(I) có nghiệm

Cho 5a+4b+6c=0 Chứng minh rằng phương trình:

ax” +bx+c=0 (I) có nghiệm

154

Tìm giá trị lớn nhất của R=(1+|x,|)(I+|x:Ì)

Trong đó x,,x, là các nghiệm của phương trình:

Vậy: Max R=1+M+./M?+4M

a=+M khi +b=—M

có các nghiệm x,, x, và y,, y, tương ứng

=—2

Thay | 0 vào (2) ta có -l<-2+c<l = c>l = c=l

Thử lại ta thấy có giá trị trên thoả mãn yêu cầu của bài toán

a=2,b=0,c=—1 Vây các giá tri cần tìm là:

ay Cae gla try can a=—2,b=0,c=l

Trong đó: az0 A=(b—!) —4ac<0

Chứng minh rằng hệ vô nghiệm

GIẢI

Giả sử (x,,y,,2,) la nghiệm của hệ, khi đó:

ax, +bx,+c = Yo | ays + byte = Z,

aZ, +bZ, +¢ = x,

=> [axj +(b—1)x,+e|+[ay¿+(b—1y, +c|+|aZ2 +(b—1)Z„+c|=0

© f(x;)+f(y,)+f(Z,)=0 tới f(t)=at'+(b-l)t+e,t€R )

= Mâu thuẫn với (1)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Gọi m, M là số bé nhất và lớn nhất trong các số a,,8¿, 8,

Vi=l,n, ta có: (a, -m)(a,—M)< 0

> ai’ —ai(m+M)+m.M <0

162

ai,Xị¡ +â¡;X; +ai;X; = Ô

Giải hệ phương trình j{a,,x,+a,,x,+a,,x, = 0 ayy

a:,Xị +8¿¿X; â¿¿X; = 0 a,>0, i=j

Trong đó: ja,<0, ixj (i, j¢ {1,2,3})

{Bal 13}

Gi ai hé phuong trinh sau:

tgx” +tgy” +tgz” = mŸ tgx” +tgy” +tgz” =m”

(m là tham số cho trước)

x=im

y=aretgm + ja (i, keEZ),

z= kn - X= it

y=jr (i,j,kEZ),

.|Z= arctgm + kz

Tóm lại nghiêm của hệ là:

x=arctgm+ir |x=in | X=i7

y=jr ,iy=arctgm+jz, ‡y=jz (i, j,kEZ)

3x)=2(a+1J +1 = x>0

= 1x '(I+a)= 2(a#Ÿ

x'(2-a)}=l

165

a=0 a=d

ek=2 3 S=4{sin? sin’ sin? S|

=A sin “ +sin? +? gin? = =9

=2sin——.cos—— — sin——

9 9 wesin ee sine = 0

ek=3 > =A sin? sin? sin =|

1

na] 9

2

ek=4 = ssn nửa si’ 9 sin AS

=4{sin 7 sin? oT 4 sin? = =6

e Nếu (x,y,x) là nghiệm của hệ thì (-x,-y,-x) cũng là nghiệm của hệ

e Giả sỬ X,y,X >O

=> A,B,C la ba góc của một tam giác ABC (nào đó)

° Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

eS ~xX x'+x+2=0

GIẢI

Š:=x+Yy P=xy

-{Bai 22 }

Cho he; |***¥ =3™

mx+y= 2m+Ì

a) Giải và biện luận hệ phương trình

b) Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, hãy tìm

những giá trị của m sao cho nghiệm (x ,y, ) thỏa mãn

điều kiện x,, y,>0

(Đề thị tuyển sinh uào trường cao đẳng Sư phạm)

179

b) Hệ có nghiệm duy nhất (x ,y,) thoả x ,y,>o

Tacó: + JI—x?+1<2 vxe [0,1]

(Dé thi dé nghi Olympic 30-4)

181

(+) Điều kiện đủ: -

Giả sửa <-—1, khi đó: |

+1l= <0 + l+a l+a

eee 7y) =—Ì x? +10xy—5y°=—2 +a

Cho a,,a,, a, là các số tự nhiên đôi một khác nhau và các ước

số nguyên tố của chúng không lớn hơn 3 Chứng minh rằng:

Theo giả thuyết, các số hạng của tổng:

s=d +-Ì đều a, a, oT œ ang 73° dạng —— VỚI r,scZ với :

Giả sử t= Max{r,s}

Khi đó các số hạng của S đều chứa trong các

số hạng của khai triển tích:

Bải 29

Cho a,,a;, a, c|0,1Ì Chứng minh rằng:

(+a,+a;+ +a,} > 4(a; +a; + 4+a2)

Suy ra: f(1)=1—(I+a,,a), ,a,)+a; +a} +a? |

= a, (a, ~1)+a, (a, —1)+ +a, (a, -1) <0

|ab—xy| _b—a

| —<—.Vx,yecla.bJ { Xây yela.b] (1) ( 0<a<b )

Quả vậy:

() © 4(ab— xyŸ <(b-a) (x+y)

> [2ab —2xy ~(x+ y)(b — a)||2ab —2xy+(x+y)(b —a)| <0

« b(2a —x— y)+ xÍa— y)+ vía =*)

Max (mye) =a taix=y =z = 2001

y=z=2

Vay Max p =10

189