CHUYÊN ĐỀ : Bất đẳng thức.. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất... Giải: Từ giả thiết bài ra ta có:... Ta có đpcm.. Ta có đpcm.. Vậy ta có đpcm.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ : Bất đẳng thức.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ
nhất.
Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác.
CMR: ab + bc + ca≤a2 +b2 +c2 < 2.(ab + bc + ca)
Giải:
Ta có:
2
≥
− +
− +
−
= a b b c c a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vậy: ab + bc + ca≤a2 +b2 +c2
Lại có:
a < b + c ⇒ a2 < a.(b + c) (1)
Tương tự: b2 < b.(a + c) (2) ,c2 < c.(b + a) (3)
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được:
a2 +b2 +c2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca)
Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: z.(x−z)+ z.(y−z) ≤ xy (1)
Giải:
Đặt:
+
=
+
=
n
z
y
m
z
x
(m,n,z > 0)
Khi đó (1) trở thành: zm+ zn ≤ (z+m).(z+n)
(n z)
z
m n
+
≤
+
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
)
.(
1
)
.(
2
m n z n z
m
m n z
z
m n z
n
z
m
+
≥ +
+
⇔
+
=
+
≥ +
+
Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm)
Bài 3:Cho xy > 0 và x + y = 1.CMR:8.( 4 + 4)+ 1 ≥5
xy y x
Giải:
0 1
0
>
⇒
>
= +
>
y x y
x xy
Ta có:
Trang 21 ( 4
1 4
1
2
xy xy xy
y
x
Lại có:
) ).(
1 1 ( ) (
4 ) ).(
1 1 (
4
8
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 4
4 2 2 4
4
=
+
≥
≥ +
+
= +
≥ + +
=
+
y
x
y x y
x y
x y
x
Suy ra: 8.(x4 + y4) 1≥ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
xy
y
x
Ta có đpcm
Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ít nhất một trong ba số sau đây là số dương:
x = (a + b + c)2 - 9ab ; y = (a + b + c)2 - 9cb ; z = (a + b + c)2 - 9ac
Giải:
Ta có:
x + y + z = 3 (a + b + c)2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a2 + b2 +c2- ab - bc - ca) =
2
>
− +
− +
−b b c c a
Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương
Bài 5: Nếu
>
≥ +
0
1
ab
b a
thì
8
1
4
Giải: Hoàn toàn tương tự bài 3.
Bài 6:CMR:(x10 +y10)(.x2 +y2) (≥ x8 + y8)(.x4 +y4)
Giải:
Ta có: (x10+ y10)(.x2 + y2) (≥ x8 +y8)(.x4 + y4)
2 2 12
⇔
2
⇔
2
⇔x y x y x y x y
0
4 2 2 4 2 2 2
2
2
6 6 2 2
2
2
≥ + +
−
⇔
≥
−
−
⇔
y y x x y x
y
x
y x y x
y
x
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm
Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì :
P = a3 + b3 + c3 - 3abc < 0
Giải:
Có:
P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < 0
Bài 8:CMR:
4
1 ) 1 2 (
1
25
1 9
1
2 <
+ + + +
=
n
Trang 3Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:
+ +
+ +
<
+ (2 1).(2 2)
1 )
1 2 (
2
1
2
1
)
1
2
(
1
n
Áp dụng ta có:
4
1 2 2
1 2
1 2
1 2 2
1 1 2
1
4
1 3
1 3
1
2
1
2
1
) 2 2 ).(
1 2 (
1
5 4
1 4 3
1 3
2
1
2
1
<
+
−
=
+
− + + +
− +
−
=
=
+ +
+ + + +
<
n n
n
n n
A
Ta có đpcm
Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: pq
q p
q
+
+ 2 2
Giải:
Có:
2
2
≥ +
+ +
−
=
−
+
+
q p
q pq p q p pq
q
p
q
p
Ta có đpcm
Bài 10:CMR:
k k
k
1 1
1 1
−
n n
1 2
1
3
1
2
1
1+ 2 + 2 + + 2 < − với n >1
Giải:
Ta có:
k k
k k k
1 1
1 )
1 (
1 1
−
=
−
Áp dụng cho k = 2,3, ,n ta được:
1 2
1 1
1
3
1 2
1 2
1 1
1 1
1
3
1
2
1
n n
n
− + +
− +
− +
<
+ +
+
+
Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR: 2 2 0
2 2
≥
−
−
+
y x
y x
Giải:
Ta có:
0 2 2
2 )
( 2 2
2
2
≥
=
−
−
≥
− +
−
=
−
+
y x y x y
x y x
y
x
y
x
Ta có đpcm
Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: a≤b≤c.CMR:(a+b+c)2 ≤9bc
Giải:
Từ giả thiết bài ra ta có:
Trang 4(2 ) 9 (1) 5
4
0 ) 4 ).(
( 0 4
2
2 2
b
c b c b c
b c
a
b
b
≤ +
⇒
≤
+
⇒
≤
−
−
⇒
>
−
⇒
>
+
≥
Mà: (a + b + c)2 ≤(2b + c)2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(a + b + c)2 ≤(2b + c)2 ≤9bc
Ta có đpcm
Bài 13:
Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn hơn 1
Giải:
Ta có:
1 2
2 2
2 2
2
) 2 ( )
2 (
)
2 (
) 2 ( )
2
(
)
2
.(
2 2
2
=
+ −
+ −
+ −
≤
≤
−
−
−
=
−
−
−
c c
b b
a
a
c c b b a a a c c b
b
a
Tích của ba số nhỏ hơn hoặc bằng 1 vì vậy chúng không thể đồng thời lớn hơn 1
Ta có đpcm
Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR:
c a c a
c b
a
b
a
b
−
− +
<
−
−
Giải:
Ta có:
c a c a
c b
a b
a
b
−
− +
<
−
− +
2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
2 2
c
b
c a b
a
c a a
b a
a
c a c a b a b
a
c a c a b a b
a
>
⇔
−
<
−
⇔
− +
<
− +
⇔
− + +
<
− +
+
⇔
− + +
<
− +
+
⇔
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng
Vậy ta có đpcm
Bài 15:Cho các số dương x,y,z thỏa mãn:x2 + y2 +z2 ≥1.CMR: 3 + 3 + 3 ≥1
x
z z
y y x
Giải:
y
x xy
y
Trang 5Tương tự: 3 yz 2y2
z
y
≥
x
z
≥
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có:
) (
3 3
3
z y x zx x
z yz z
y
xy
y
x + + + + + ≥ + +
Suy ra:
1 ) (
) (
) (
3
3
3
≥ + +
≥ + +
− + +
≥ +
x
z
z
y
y
x
Vậy ta có đpcm