HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

Lôgarit cơ số 10 của số dương x gọi là lôgarit thập phân của x.. Lôgarit cơ số e của một số dương x gọi là lôgarit tự nhiên hay Lôgarit N36-pe của x.ký hiệu lnx... Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH, B

CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

Bài 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA

 Kiến thức cần nhớ

a) Lũy thừa

_ Căn bậc n của một số a là một số b sao cho n, *

a  b n   _ Lũy thừa với số mũ nguyên dương: n

n

a a aa

soá

 , với a,n*

_ Lũy thừa với số mũ nguyên âm: n 1

n

a a



 , với a0,n*

_ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

m

n m n

a  a , với a0,m,n*

_ Lũy thừa với số mũ vô tỉ: lim u n

n



 , với a  0,  là số vô tỉ;   un , un n 

_ Một số tính chất của lũy thừa:

1 a a  a  , a a , a 0

a



 





2   .

a   a 

3 a b  a b , a a ,b 0



 

 

 

4 n m n m.

b) Hàm số lũy thừa: Hàm số có dạng y  x, với   const thì được gọi là hàm số lũy thừa

_ Tập xác định: cho hàm số y  x, ta có:

1    *: x   2    0, 1, 2, :  x  \ 0  

_ Đạo hàm:

u

Bài 2: LÔGARIT

 Kiến thức cần nhớ

_ Cho 0a1,b0 Số mũ cơ số a phải mũ lên đến b gọi là loogarit cơ số a của b, kí hiệu logab

_ Một số công thức:

a) loga10,logaa1;alogab b,logaab b

b) loga  bc  logab  logac c) log b log c

c

b











b

1 loga  a











n

1 b



_ Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên:'

1 Lôgarit cơ số 10 của số dương x gọi là lôgarit thập phân của x Ký hiệulog x  hay lg x 

2 Lôgarit cơ số e của một số dương x gọi là lôgarit tự nhiên( hay Lôgarit N36-pe) của x.ký hiệu lnx Với e

được định nghĩa là

x

1 1 lim

















 (tính gần đúnge 2,71828 )

Bài 3: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

 Kiến thức cần nhớ

_ Hàm số mũ: hàm số có dạng y  ax  0  a  1  được gọi là hàm số mũ

_ Hàm số lôgarit: hàm số có dạng y  loga x  0  a  1  được gọi là hàm số lôgartit

_ Đạo hàm:

1  e x 'e x  e u 'u e' u

2  x ' xln

3 lnx' 1

x

ln

u u

u

4 ln x' 1

x

u

5 log ' 1

ln

a x

ln

a

u u

6 log ' 1

ln

a x

ln

a

u u

_ Tính đơn điệu: Vì ln 0 1

khi khi







nên

1 Hàm số x, log

a

ya y x đồng biến nếu a > 1

2 Hàm số ya x,yloga x nghịch biến nếu 0 < a < 1

Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

* Kỹ năng giải bài tập:

_ Giải thành thạo các dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình cơ bản

_ Biết ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình

A Phương trình mũ và lôgarit:

I Phương trình cơ bản:

1 Phương trình mũ: ax  m;0  a  1, m  R

_ Nếum  0: phương trình vô nghiệm

_ Nếum  0: phương trình có nghiệmx  logam

2 Phương trình lôgarit:     m

a f x m f x a

II Đưa về cùng cơ số:

Với0  a  1, ta có:af x ag x f x g x ;logaf x logag x f x g x 0

III Đặt ẩn phụ: Biến đổi phương trình chỉ cóaf x haylogaf x rồi đặt ẩn phụ

IV Lôgarit hóa: Lấy lôgarit hai vế theo một cơ số thích hợp

V Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

_ Nhẩm nghiệm của phương trình rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh các giá tir5 x khác không là nghiệm Lưu ý các tính chất sau đây:

+ Nếu hàm sốy  f   x đồng biến hay nghịch biến trên D thì phương trìnhf   x  m(m là hằng số) có không quá một nghiệm

+ Nếu hàm sốy  f   x đồng biến trên D và hàm sốy  g   x nghịch biến trên D thì phương trình f   x  g   x có không quá một nghiệm trên D

_ Một số tính chất cần lưu ý khi biến đổi lôgarit:

+ Điều kiện củalogaf   x là

 











 0 x f

1 a 0

c

b log , c log b log bc













+ Nếu n là số nguyên dương chẵn thìlogaxn  nlogax

B Hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit:

I Khi giải hệ phương trình và lôgarit, ta cũng dùng các phương pháp giải các hệ phương trình đã học như:

phương pháp cộng, thế, đặt ẩn phụ,

II Khi giải các bất phương trình mũ và lôgarit cần nhớ các tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số mũ và

lôgarit:

_ Nếua  1, ta có:              





















x g x f

0 x g x g log x f log

; x g x f a

_ Nếu0  a  1, ta có:              





















x g x f

0 x f x g log x f log

; x g x f a

Bài tập vận dụng

Câu 1 Cho x < 0, biểu thức nào dưới đây có nghĩa?

A

1 2

P  x B Px4 C

1 3

P  x D P  x 3

Câu 2 Tập xác định của hàm số f x   x12 là:

A D B D   \ 1   C D   1,   D D   1,  

Câu 3 Tập xác định của hàm số f x     1  x 13 là:

A D B D    ,1  C D   1,   D D   \ 1  

Câu 4 Tập xcas định của hàm số f x     x2 3 x  4 34 là:

C D     , 4    1,   D D     , 4    1,  

Câu 5 Giá trị của biểu thức

1 1

2

8 9

A



 

  là:

5

3

Câu 6 Giá trị của biểu thức

81

A

    là:

255

8

Câu 7 Giá trị của biểu thức 5   8

Câu 8 Giá trị của biểu thức

5 1 2 3 1

5 3 3 5

A

 

A 16 5 1 B 1

1 5

16 D 16

Câu 9 Biểu thức

 

3 2

1 3

.

.

a a

  được rút gọn là:

A

25

2

79 6

a C a45 D a12

Câu 10 Biểu thức

A    a  a     a  a     a  a   a 

được rút gọn là:

A a  a B 1

a a

a

a 

Câu 11 Ông A gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất m%/năm (lãi kép) Biết rằng sau 10 năm số

tiền trong tài khoản của ông A tăng gấp đôi Hỏi giá trị gần đúng nhất của m là:

Câu 12 Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 200 triệu đồng, với lãi suất 14,4% mỗi năm Ông muốn hoàn

nợ cho ngân hàng theo cách: sau khi vay đúng một tháng, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ đúng 15 tháng kể

từ ngày đi vay Hỏi, với cách trên số tiền mà ông A phải trả cho ngân hàng mỗi tháng là bao nhiêu Biết lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình trả nợ của ông A

A

5 15

15

24.10 1, 012

15

24.10 1, 012

1, 012 1

C

15 24.10 1, 012

Câu 13 Cho 0  a  1, biểu thức Ploga3a có giá trị là:

3

Câu 14 Cho 0  a  1, biểu thức

2 3 5

4

P

a

 có giá trị là:

A 11

9

173

9

4

Câu 15 Cho a  log 32 Giá trị của biểu thức P  log 18 log 21 log 632  2  2 theo a là:

Câu 16 Cho log 5a Giá trị của biểu thức 1

log 64

P  theo a là:

A 2 + 5a B 1 – 6a C 4 – 3a D 6a – 6

Câu 17 Cho a  log 6,12 b  log 712 Khi đó P  log 72 tính theo a, b là:

A

1

a

b a

a

a

a 

Câu 18 Cho alg 2,blg 3 Khi đó P lg 45 tính theo a, b là:

A 2a + b +1 B 2b – a + 1 C 15b D a – 2b +1

Câu 19 Cho aln 2,bln 3 Khi đó 27

ln 16

P  tính theo a, b là:

A b3a4 B 4a – 3b C 3a – 2b D 3b – 4a

Câu 20 Cho log 527  a , log 78  b , log 32  c Khi đó P  log 3512 tính theo a, b, c là:

A 3 2

2

c



2

c



3

c



1

c



Câu 21 Đạo hàm của hàm số   2

1

x

f x

x



 là:

A  

2 '

1

x

x

f x

x



2 '

1

x

f x

x

 

C    

2 ln 2 ln 2 1 '

1

x

x

x





2 ln 2 ln 2 1 '

1

x

x

x





Câu 22 Đạo hàm của hàm số     2 1

1 3x

  là:

f x  x  x  

f x  x  x 

Câu 23 Đạo hàm của hàm số f x     3 x  1 ln  x là:

A f ' x 3lnx 1 3

x

x

 

C f ' x 3lnx 1 3

x

Câu 24 Đạo hàm của hàm số    2 

3

f x  x  là:

A  

2 '

1 ln 3

x

x



3

C '  2 ln 32

1

x

x



1

x

x





Câu 25 Cho hàm số y  logax nghịch biến và y  logb x đồng biến Khảng định nào dưới đây đúng?

A b   1 a  0 B a    1 b 0 C 0   b a  1 D a  b  1

Câu 26 Cho hàm số y  ax Khẳng định nào dưới đây đúng?

A Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm  1, 0 

B Đồ thị hàm số luôn nằm phía dưới trục hoành

C Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số nhận trục tng làm tiệm cận đứng

Câu 27 Cho hàm số y  logax Khẳng định nào dưới đây đúng?

A Hàm số có tập xác định là 

B Hàm số có tập giá trị là tập hợp các số thực dương

C Hàm số đồng biến trên  khi a > 1

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  0,   khi a < 1

Câu 28 Cho đồ thị của ba hàm số : y  loga x y ,  logbx y ,  logcx  0  a b c , ,  1 

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A a  b  c B c  a  b

C c  b  a D b  a  c

Câu 29 Cho hàm số y  f x   là hàm số mũ có đồ thị như hình bên Hàm số nào

sau đây có thể là hàm y  f x  ?

1 3

x

y   

x

1 3

x

y   

x

Câu 30 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x     x  3  ex trên đoạn  0, ln10  là:

A – 3 B – e2 C e4 D 10 ln10 3   

Câu 31 Phương trình 3 1 3 2

2

x x

 có nghiệm là:

A 8

5

7

5

7

x  

Câu 32 Phương trình

9

   có tập nghiệm là:

4, 41

S   

62 4, 41

S   

62 41

S   

  D S    4

Câu 33 Phương trình 5x5x15x2 3x13x13x2 có nghiệm là:

A x = –2 B x = 1 C x = 2 D x = –1

Câu 34 Phương trình 3.2x1 5.2x 2x2 21

   có nghiệm là x  logab với a, b là số nguyên tố Khẳng định

nào dưới đây đúng?

A a b   6 B ab  5 C a b    1 D b a    1

Câu 35 Phương trình    2 

log 3x1 log 3x 9 3 có tập nghiệm là:

3, 27

S   

  D S    3

Câu 36 Phương trình 4 7

6

x  x  có tập nghiệm là:

3, 3

S   

3

1 8, 4

S     

Câu 37 Phương trình 4 log9 x  log 3x  3 có hai nghiệm x1, x2 Giá trị của log3 x x1 2 là:

A 1

3 2

1 2



Câu 38 Bất phương trình

1

1 2

2x  84x có nghiệm là:

A S   1,   B S    ,1  C 3

, 2

 





, 2



Câu 39 Bất phương trình  3  2  x 3  2 x  2 có nghiệm là:

A S    0 B S   C S   \ 0   D S    1

Câu 40 Bất phương trình 25x15x 2.9x có nghiệm là:

A S    ,1  B  0,   C  1,   D   , 0 

Câu 41 Bất phương trình 21 3

3

6 log x5 log x 4 0 có nghiệm là:

A 1 3

, 3 9

S   

1 2, 3

S   

1 1 ,

9 27

S   

1 0, 3

S   

 

Câu 42 Bất phương trình 21 2

2 log x6 log x 8 0 có nghiệm là:

A S   2, 4  B S   0, 2    4,  

C S   4,16  D S   0, 4    16,  

Câu 43 Bất phương trình log3x  3log 27 10x  có nghiệm là:

A S   0,1    9,   B S   0,1    9,  

0, 3 3 ,

Câu 44 Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 2x  m  3 2  x  m có nghiệm trên tập số thực?

A m   2 hoặc m  6 B.m  6

C m   2 hoặc m  6 D m  6

Câu 45 Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình lg2x m  lg x m    3 0 nghiệm đúng với mọi x > 1?

A m     3  B m   3, 6  C  6,   D m     3    6,  

CHÚC CÁC EM HỌC VUI!