Loi lom, diem uon

Hàm số không có điểm uốn... Không có điểm uốn Yêu cầu: về nhà tự tìm thêm các phát biểu tổng quát khác cho một lớp các hàm số x a.

CH1: Nhận xét gì về đồ thị các hàm số sau?

• Hàm số bậc hai

y =

y =

• Hàm số

• Hàm số y = sinx

2 3

2 − x +

x

4

2 2 − +

− x x

x

y = 1

CH3: Hãy tìm thêm liên hệ giữa y” và tính lồi,

lõm và điểm uốn của các hàm số bậc hai

y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)

y” = 2a ≠ 0

y” là hằng số khác 0

Nhận xét

a > 0, khi đó y” > 0, đồ thị hàm số lõm.

a < 0, khi đó y” < 0, đồ thị hàm số lồi.

Hàm số không có điểm uốn

CH4: Hãy tìm thêm liên hệ giữa y” và tính lồi,

lõm và điểm uốn của các hàm số

Ta có:

x

3

2

"

x

Bảng xét dấu y’’

y’’ − +

* Hàm số không xác định tại x = 0, nhưng lại đổi dấu khi qua điểm x = 0

* Hàm số có khoảng lồi là ( −∞ ; 0) và khoảng lõm là (0; + ∞ ;) và

Đồ thị

CH5: Hãy tìm thêm liên hệ giữa y” và tính lồi,

lõm và điểm uốn của các hàm số y = sinx.

Ta có

y” = - sinx

Nhận xét

Khi sinx > 0 thì y” < 0, đồ thị hàm số lồi.

Khi sinx < 0 thì y” > 0, đồ thị hàm số lõm.

Điểm uốn có tung độ là 0 xảy ra khi và chỉ khi sinx = 0 ⇔ x = kπ, k∈Z

* Kết luận tổng quát cho hàm số bậc hai

a > 0: hàm số lõm

a < 0: hàm số lồi

Không có điểm uốn

Yêu cầu: về nhà tự tìm thêm các phát biểu tổng

quát khác cho một lớp các hàm số

x a

1 Định lý 1

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b).

• f”(x ) < 0 với mọi x thuộc (a, b) ⇒ đồ thị của hàm số lồi trên (a; b)

• f” (x ) > 0 với mọi x thuộc (a, b) ⇒ đồ thị của hàm số lõm trên (a; b)

Bài toán: Hãy tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn

của hàm số y = 3 x2

3 4 9

2

"

x

y = −

Ta có

Bảng xét dấu y’’

y’’ + −

y” không xác định tại x = 0, nhưng lại đổi dấu khi qua điểm x = 0

Thấy x = 0 là điểm ngăn cách giữa 2 khoảng lồi, lõm của một hàm số liên tục

Theo định nghĩa x = 0 chính là điểm uốn

(0; 0)

Đồ thị

của hàm số

2 Định lý 2

• Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận

nào đó của điểm x 0 và có đạo hàm tới cấp hai

trong lân cận đó (có thể trừ tại điểm x 0 ).

• Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi đi qua x 0 thì điểm M 0 (x 0 ; f(x 0 )) là điểm uốn của đồ thị hàm

số đã cho.

Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của các hàm số sau:

a/ y = − 2x4 + 4x2 + 2

b/ y = x4 + x2 − 2

c/

1 2

2

3

2

2

− +

+

−

=

x x

x x

y

Ví dụ 1: Khảo sát khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y = − 2x 4 + 4x 2 + 2

• TXĐ: D = R

• y’ = − 8x3 + 8x = −8x ( x2 − 1 )

[

1 x

0

x 0

'

y

±

=

=

⇔

=

• y’’ = −24x2 + 8

3

1 x

0 ''

Bảng xét dấu y’’:

y’’ − 0 + 0 −

đồ thị lồi U lõm U lồi

3

1

−

3 1





















−

9

28 ,

3

1 I

; 9

28 ,

3 1

2.Ví dụ 2: Ks và vẽ đồ thị hàm số

y = x4 + x2 − 2

• TXĐ: D = R

• y’ = 4x3 + 2x = 2x ( 2x2 + 1 )

y’= 0 ⇔ x = 0

• y’’= 12x2 + 2 > 0 , ∀x

⇒ Đồ thị hàm số không có điểm uốn

và luôn luôn lõm