Giải đề Toán TS 10 - chuyên

Vẽ tiếp tuyến d của đường tròn tại B, Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng d tại P và Q.. a Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được.. b Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AP

SỞ GD&ĐT BÌNH DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Năm học : 2008 – 2009 Môn thi : TOÁN

(Thời gian : 150 phút)

Bài 1 : (2 điểm)

Cho hai số x, y thỏa hệ : 2 2 1

12

x y xy

x y y x

  





 



Tính x3y3

Bài 2 : (2 điểm)

Xác định m để hệ :

2 2

( 1) ( 1)

   





  

Bài 3 : (2 điểm)

Cho biết a, b là nghiệm của phương trình : x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình :

x2 + qx + 2 = 0

Tính giá trị của biểu thức : (b – a)(b – c) theo p và q

Bài 4 : (2 điểm)

Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Với x1, x2 là nghiệm của phương trình, tìm m để biểu thức N = 6x1x2 + x1 + x2 có giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất ấy

Bài 5 : (2 điểm)

Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB, CD không trùng nhau Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn tại B, Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được

b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD

GIẢI

Bài 1 : (2 điểm)

Cho hai số x, y thỏa hệ : 2 2 1

12

x y xy

x y y x

  





 



Tính x3y3

Đặt : x + y = S và x.y = P

Ta có : x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = S3 – 3PS

Theo hệ pt ta có : 1

12

S P PS

 







3

S P









4

S P









 (loại vì không thỏa hệ)

Điều kiện tồn tại hai số x, y là S2 – 4P ≥ 0

Ta có các hệ con :

3

x y

x y

 







4

x y

x y

 







Vậy x3 + y3 = 43 – 3(-3)4 = 100

Bài 2 : (2 điểm)

Xác định m để hệ :

2 2

( 1) (1) ( 1) (2)

   





  

Trừ từng vế, ta được : (x – 1)2 – (y – 1)2 = y – x

 x2 – y2 – 2(x – y) = y – x  (x – y)(x + y – 1) = 0

1 0

x y

x y

 





  



+ x – y = 0  x = y

Thế vào pt (1) : x2 – 2x + 1 = m + x  x2 – 3x + 1 – m = 0

 = 9 – 4(1 – m) = 5 + 4m

Pt có nghiệm khi và chỉ khi : m ≥ 5

4



Khi đó : x = y = 3 5 4

2

m

 

+ y = 1 – x , thế vào pt(1) : (x – 1)2 = m + 1 – x

 x2 – 2x + 1 = m + 1 – x  x2 – x – m = 0

 = 1 + 4m

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 1

4

m 

Khi đó x1,2 = 1 1 4

2

m

 

 y = 1 – 1 1 4

2

m

 

Kết luận :

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 5

4

4

m 

Bài 3 : (2 điểm)

Cho biết a, b là nghiệm của pt : x2 + px + 1 = 0 (1) và b, c là nghiệm của pt : x2 + qx + 2 = 0 (2) Tính giá trị của biểu thức : (b – a)(b – c) theo p và q

a2 + pa + 1 = 0 (3) và b2 + pb + 1 = 0 (4)

b2 + qb + 2 = 0 (5) và c2 + qc + 2 = 0 (6)

a + b = – p ; b + c = – q

Từ (4) suy ra b ≠ 0 do đó p – q ≠ 0 , (4) trừ (5) theo vế ta được : b(p – q) = 1

 b = p q1



 a + b = a + p q1

 = 1 – p  a = 1 – p – p q1



b – a = p q1

 – 1 + p + p q1

 = p – 1 + p q2



b + c = – q  p q1

 + c = – q  c = 1 q

p q



b – c = p q1

 + 1 q

p q  = p q2

 + q Vậy : (b – a)(b – c) = p 1 2 2 q

Bài 4 : (2 điểm)

Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

(1) có nghiệm  ’ = (m + 1)2 – 2m – 10 ≥ 0  m2 – 32 ≥ 0  (m – 3)(m + 3) ≥ 0

 m ≤ 3 hoặc m ≥ 3 (*)

b) Với x1, x2 là nghiệm của phương trình, tìm m để biểu thức N = 6x1x2 + x1 + x2 có giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất ấy

Theo Vi-et , ta có :

1 2

2( 1)

b m

x x

a c m

x x a



   







Do đó : N = 6x1x2 + x1 + x2 = 4(2m + 10) + 4(m + 1)2 = 4m2 + 16m + 44 = (2m + 4)2 + 28

= 4(m2 + 2.2m + 22 + 7) = 4(m + 2)2 + 28

N đạt giá trị nhỏ nhất là 32 khi và chỉ khi m = – 3 (do (*))

* chú ý : học sinh thường sai lầm

N = 4(m + 2)2 + 28 ≥ 28 nên GTNN là 28 khi và chỉ khi m = – 2 (không thỏa (*))

Bài 5 : (2 điểm)

Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB, CD không trùng nhau Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn tại B, Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được

b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD

a) Tứ giác CPQD nội tiếp được

Ta có : ACB vuông tại C

và ADB vuông tại D

APB vuông tại B

và ABQ vuông tại B

nên AB2 = AC.AP

AB2 = AD.AQ

Suy ra : AC.AP = AD.AQ

 AC AQ

ADAP và ACQ vuông tại A

và ADP vuông tại A

I

Q

P B

D

O

C A

suy ra vuông ACQ vuông ADP

suy ra : CPD DQC 

và cùng nhìn CD dưới 1 góc bằng nhau

Vậy tứ giác CPQD nội tiếp được

b) Gọi M là giao điểm của AI và CD

Trong APQ vuông tại A nên

trung tuyến AI = IQ

suy ra AIQ cân tại I  IQA IAQ 

Trong ABQ vuông tại B có đường cao BD

suy ra

IQA ABD

ABD ACD (cùng chắn cung AD)

 IQA ACD 

Mà : ACD CDA 1v

Nên : IQA CDA  1v  AMD1v

Hay AI  CD