chuyên đề hình học tam giác

Tâm của vòng tròn chín điểm nằm ở trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm với tâm vòng tròn ngoại tiếp.. Vậy tứ giác ALEO là hình bình hành và AO = LE, trong đó LE là đờng kính của vòng t

chuyên đề hình học tam giác

Chơng 1 Khoảng cách giữa các điểm đặc biệt trong tam giác

1 Bổ túc.

1.1 Định lý Ceva (1647 – 1734) Cho tam giác ABC và ba đờng thẳng AA , BB ,’, BB’, ’, BB’,

B , C sao cho hoặc cả ba điểm A , B , C đều nằm trên ba cạnh của tam giác hoặ’, BB’, ’, BB’, ’, BB’, ’, BB’, ’, BB’,

một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam giác còn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại Điều kiện cần và đủ để AA , BB , CC đồng quy’, BB’, ’, BB’, ’, BB’,

'

AB

''

CA

''

BC

Chứng minh

Điều kiện cần (=>) AA’, BB’,, BB’, BB’,, CC’, BB’, đồng quy hoặc song song => (1)

a) Trờng hợp AA’, BB’,, BB’, BB’,, CC’, BB’, đồng quy tại một điểm (ở trong hoặc ở ngoài tam giác).Qua A kẻ đờng thẳng song song với BC, cắt BB’, BB’,, CC’, BB’, theo thứ tự tại M và N Ta có

CA

''

N

P

B A’, BB’, C

M A NB’, BB’, C’, BB’,P

B A’, BB’, C

A

C’, BB’,B’, BB’,

''

CA

BC

Điều kiện đủ (<=) (1) => AA’, BB’,, BB’, BB’,, CC’, BB’, đồng quy hoặc song song

Ta xét trờng hợp một điểm A’, BB’, nằm trên cạnh của tam giác và hai điểm B’, BB’,, C’, BB’, nằm trênphần kéo dài của hai cạnh kia

a) Nếu có hai trong ba đờng thẳng AA’, BB’,, BB’, BB’,, CC’, BB’, song song với nhau, thí dụAA’, BB’, // BB’, BB’,, còn CC’, BB’, không song song với hai đờng thẳng kia thì Từ C kẻ CC” // AA’, BB’,cắt AB kéo dài tại C” Theo điều kiện cần ta có

CA

''''

CB

Vậy C” trùng C’, BB’, (do C’, BB’, và C” đều nằm ngoài đoạn thẳng AB) và AA’, BB’, // BB’, BB’, // CC’, BB’,b) Trong trờng hợp không có hai đờng thẳng song song nào trong ba đờng thẳng nóitrên song song với nhau, ta chứng minh có ba đờng đồng quy

Gọi P là giao điểm của AA’, BB’, và BB’, BB’, chẳng hạn Nếu CC’, BB’, không đi qua điểm P thì từ C

kẻ đờng thẳng qua P cắt AB tại C” Theo điều kiện cần ta có

CA

''''

1.2 Các đờng thẳng đồng quy đặc biệt Từ định lý Cêva ta có thể suy ra rằng trong

một tam giác ABC ta có

a) Ba đờng trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm của tam giác)

Vì A’, BB’,, B’, BB’,, C’, BB’, là trung điểm của các cạnh nên ba tỉ số AB’, BB’,/B’, BB’,C, CA’, BB’,/A’, BB’,B và BC’, BB’,/C’, BB’,A

BC

a b

CA

''

BC

c) Ba đờng cao đồng quy (tại trực tâm của tam giác)

Ta có AB’, BB’, = c cosA, B’, BB’,C = a cosC

CA’, BB’, = b cosC, A’, BB’,B = c cosB

BC’, BB’, = a cosB, C’, BB’,A = b cosA

CA

''

BC

d) Ba đờng trung trực đồng quy (tại tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác) Vì ba đờng

trung trực là ba đờng cao của tam giác có đỉnh là chân các đờng trung trực, nên chúng

BC

a b

CA

''

CA

''

BC

g) Các đờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với

đờng tròn bàng tiếp đồng quy (tại điểm gọi là điểm Nagel)

Gọi D, E lần lợt là tiếp điểm của BA và BC (kéo dài) với đờng tròn bàng tiếp tronggóc B Ta có AB’, BB’, = AD ; CB’, BB’, = CE

CA

''

BC

Ví dụ 1 Chứng minh rằng, trong một tam giác ABC, khi giao điểm của một bộ ba

đ-ờng thẳng đồng qui AA , BB , CC (A trên BC, B trên AC, C trên AB) trùng với’, BB’, ’, BB’, ’, BB’, ’, BB’, ’, BB’, ’, BB’,

trọng tâm G của tam giác thì tích AB , CA , BC có trị số lớn nhất.’, BB’, ’, BB’, ’, BB’,

Từ đó (AB’, BB’, CA’, BB’, BC’, BB’,)(B’, BB’,C A’, BB’,B C’, BB’,A)  (AN CM BP)2

Theo định lý Ceva: AB’, BB’, CA’, BB’, BC’, BB’, = B’, BB’,C A’, BB’,B C’, BB’,A

Vậy AB’, BB’, CA’, BB’, BC’, BB’,  AN CM BP

Từ đó tích AB’, BB’, CA’, BB’, BC’, BB’, có trị số lớn nhất là AN CM BP =

8

abc

khi B’, BB’,, A’, BB’,, C’, BB’, trùng với trung điểm các cạnh

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC với AA’, BB’,, BB’, BB’,, CC’, BB’, đồng qui (A’, BB’, BC, B’, BB’, AC, C’, BB’, AB).

Gọi M, N, P, M’, BB’,, N’, BB’,, P’, BB’, lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CA, AB, CC’, BB’,, BB’, BB’,,AA’, BB’, Chứng minh rằng các đờng thẳng MM’, BB’,, NN’, BB’, và PP’, BB’, đồng qui

2) Trong một tam giác, các đờng thẳng nối trung điểm của mỗi cạnh với trung điểm

của đờng phân giác trong tơng ứng đồng qui tại một điểm

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với AA’, BB’,, BB’, BB’,, CC’, BB’, đồng qui (A’, BB’, BC, B’, BB’, AC, C’, BB’, AB).

Tính SA’, BB’,B’, BB’,C’, BB’,, theo diện tích S và các tỉ số AB

B C

''

= m, CA

A B

''

= n, BC

C A

'' = t

S

' ' = AB AC

AC AB

' '

= AB

AB B C

'' ' .

AC

AC C B

'' ' = 1

m

m 

11

.cos.cos , t =

.cos.cos

SA’, BB’,B’, BB’,C’, BB’, = 2Sabc A b C

.cos cos cos( cos  cos )( cos  cos )( cos  cos )

(vì acosC + c.cosA = b, c.cosB + b cosC = a, b cosA + a cosB = c)

2 Định lý Stuya – Một số định lý liên quan.

2.1 Định lý Stuya (1717 – 1785) Nếu đờng thẳng AD = d thuộc tam giác ABC chia

Chứng minh Giả sử AE là đờng cao của tam giác ABC Từ các tam giác BDA và ADC

ta có

c2 = d2 + m2 – 2mDE

b2 = d2 + n2 + 2nDE

Nhân các vế của đẳng thức thứ nhất với n và các vế

của đẳng thức thứ hai với m rồi cộng lại ta thu đợc

a pq

pq (dạng 2 của định lý Stuya)

Với dạng 2 của định lý Stuya cho phép tính khoảng cách từ 1 đỉnh của tam giác đến 1

điểm thuộc cạnh đối diện, biết rằng điểm đó chia cạnh đối diện theo tỉ số p cho trớc

 a = 4

2

A bc

cos(  )

3) Chứng minh rằng khoảng cách từ đỉnh A của một tam giác ABC với tâm I của đờng

p

(  )

Chứng minh Gọi AD là đờng phân giác của tam giác ABC

Qua tâm I của đờng tròn nội tiếp, kẻ đờng thẳng song

song với BC, cắt đờng cao AH (= h) tại H’, BB’, Ta có

ah h p h

 = 22

p

 = 2

p

(  )

3 Công thức khoảng cách một số điểm đặc biệt trong tam giác.

3.1 Định nghĩa Trung điểm các đoạn thẳng thuộc các đờng cao kẻ từ đỉnh đến trực

tâm của tam giác gọi là các điểm Ơ le.

3.2 Định lý Chân các trung tuyến, chân các đờng cao và các điểm Ơ le nằm trên

một vòng tròn, gọi là vòng tròn chín điểm hay vòng tròn Ơ le.

Chứng minh Gọi D, E, F là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC; AK, MB làhai đờng cao của tam giác; H là trực tâm Ngoại tiếp tam giác DEF bằng một vòngtròn Ta hãy chứng minh rằng K là chân của đờng cao AK và điểm Ơle L là trung

điểm của đoạn BH, nằm trên vòng tròn vừa vẽ

Thật vậy, DK là cát tuyến của tam giác BKA, xuất phát

từ đỉnh của góc vuông nên bằng một nửa cạnh huyền:

Do đó hình thang DEKF cân và vòng tròn đi qua ba

đỉnh D, F, E của hình thang đó phải qua đỉnh K

Nối trung điểm L của BH với trung điểm D của AB Đờng thẳng DL // AK, đờng

thẳng DF//BC, vậy LDF = /2; vì LE // CH nên LEF = /2 Vậy có thể vẽ đợc vòng

A

H’, BB’, I

tròn ngoại tiếp tứ giác EFDL và vòng tròn ngoại tiếp tam giác DEF đi qua K và L.Tơng tự ta chứng minh vòng tròn đi qua 4 điểm T, P, N, M.

3.3 Một số tính chất của vòng tròn Ơle.

3.3.1 Định lý Tâm của vòng tròn chín điểm nằm ở trung điểm của đoạn thẳng nối

trực tâm với tâm vòng tròn ngoại tiếp.

Chứng minh Thật vậy, tâm O9 của vòng tròn chín điểm nằm tại giao điểm các đờngthẳng góc dựng từ trung điểm của các đoạn thẳng KE và MF Giả sử O là tâm củavòng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC Vì các đờng thẳng góc vừa dựng là các

đờng trung bình của các hình thang MHOF và KHOE nên tâm

O9 của vòng tròn cần tìm phải nằm tại trung điểm cạnh OH

3.3.2 Định lý Bán kính của vòng tròn chín điểm bằng R/2, trong đó R là bán kính

vòng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Chứng minh Nối điểm E với tâm vòng tròn chín điểm O9 Đờng thẳng EO9 cắt đờngcao AK tại điểm L, LE là đờng kính vòng tròn chín điểm Do hai tam giác

O9EO và O9LH bằng nhau, nên OE = LH và vì LH = AL nên

OE = AL Vậy tứ giác ALEO là hình bình hành và AO = LE,

trong đó LE là đờng kính của vòng tròn chín điểm và Ao là

bán kính của vòng tròn ngoại tiếp của tam giác

Hệ quả Khoảng cách từ một đỉnh của tam giác đến trực tâm gấp đôi khoảng cách từ

tâm vòng tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện.

Vì theo định lý trên OE = AL = HL  2OE = AH

3.3.3 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), gọi H, G, O 9 lần lợt là trực tâm, trọng tâm, tâm

Chứng minh: Gọi G là giao điểm của HO và AA’, BB’, (A’, BB’,, B’, BB’,, C’, BB’, là các trung điểm của BC,

CA, AB) ta chứng minh G là trọng tâm ABC)

Ta có HA= 2OA’, BB’, và AH // OA’, BB’,

 GA

GA ' =

HA

OA' = 2  G là trọng tâm ABC  H, G, O thẳng hàng (1)

Dễ thấy O là trực tâm A’, BB’,B’, BB’,C’, BB’, (vì OA’, BB’,  B’, BB’,C’, BB’,,

OB’, BB’,  A’, BB’,C’, BB’,), O9 là tâm đờng tròn 9 điểm thì O9

là tâm đờng tròn ngoại tiếp A’, BB’,B’, BB’,C’, BB’, Theo

chứng minh trên O, G, O9 thẳng hàng (G là tâm

đờng tròn ngoại tiếp A’, BB’,B’, BB’,C’, BB’,) (2)

Từ (1) và (2) ta có H, G, O, O9 thẳng hàng

3.4 Khoảng cách giữa các điểm đặc biệt trong tam giác.

3.4.1 Khoảng cách giữa tâm vòng tròn ngoại tiếp và trọng tâm.

Giả sử trong ABC, O là tâm vòng tròn ngoại tiếp, G là trọng tâm, AA’, BB’, là trung tuyến,OA’, BB’, là khoảng cách từ tâm vòng tròn ngoại tiếp đến cạnh BC Khi đó

Ta tìm chiều dài đoạn OG = d bằng cách dùng định lý Stuya Ta có

OA2 GA’, BB’, +OA’, BB’,2 AG – OG2 AA’, BB’, = AG GA’, BB’, AA’, BB’,

=> d2 = OG2 =

2

OA GA AA

'' +

2

AA

' '

Trong trờng hợp này R = a/2 nên d = a/6

3.4.2 Khoảng cách giữa tâm vòng tròn chín điểm và trọng tâm.

EO9G đồng dạng với GOA  9 1

Đối với tam giác vuông HO = c/2

3.4.4 Khoảng cách từ trọng tâm đến tâm vòng tròn nội tiếp.

Giả sử I là tâm vòng tròn nội tiếp trong ABC và A’, BB’, là trung điểm của BC Ta tính cáccạnh của tam giác

Tơng tự trong tam giác ANI ta có IA = r2 (p a)2

Vì trọng tâm G chia đoạn AA’, BB’, thành các đoạn AG và GA’, BB’, theo tỉ số 2 : 1 nên AG

2

IA GA AA

''

I G

Bài tập Tìm hệ thức giữa các cạnh của tam giác trong đó giao điểm của các trung

tuyến nằm trên vòng tròn nội tiếp của tam giác

Giải: Vì giao điểm của các trung tuyến nằm trên vòng trong nội tiếp của tam giác nên

5(a2 + b2 + c2) = 6(ab + bc + ca)

3.4.5 Khoảng cách giữa tâm vòng tròn ngoại tiếp và nội tiếp.

Định lý Ơle Nếu d là khoảng cách giữa các tâm vòng tròn ngoại tiếp và nội tiếp của

tiếp và nội tiếp.

Chứng minh Giả sử O là tâm vòng tròng ngoại tiếp, I là tâm vòng tròn nội tiếp, DP là

đờng kính vuông góc với cạnh BC và IL là đờng vuông góc hạ từ I xuống DP

Góc DIC bằng nửa tổng số các cung EA và DC, nhng AE = BE

DC = BD , vậy góc DIC bằng nửa tổng các cung BE và DB, tức là nửa cung DE

Nh-ng góc ICD cũNh-ng bằNh-ng nửa cuNh-ng DE nên

ICD = DIC và tam giác DIC cân, DC = DI

Đoạn thẳng OI tính đợc từ tam giác OID

Vậy DBI =  a BI D và tam giác BDI a a cân : BD = DIa

Từ Ia ta hạ đờng thẳng góc IaM xuống OM (OM  BC) Từ tam giác OIaD ta có

4 Định lý Giécgôn - Định lý Lepnit – ứng dụng

4.1 Định lý Gergone Nếu các đờng thẳng AD, BE, CF xuất phát từ các đỉnh một

tam giác ABC, cắt nhau tại một điểm O nằm trong tam giác thì

diện tích AOC

OE BE

Tơng tự diện tích BOC

OD AD diện tích AOB

OF CF

Định lý vẫn đúng nếu đỉnh O không nằm trong tam giác mà nằm trên một cạnh Giả

sử O thuộc AC, coi AC một mặt nh đờng thẳng vẽ ở A, mặt khác nh đờng thẳng vẽ từ

C, ta có OC

OA

CA = 1, tỉ số thứ ba bằng 0.

4.2 Hệ luận của định lý Gergone Nếu vẽ các đờng thẳng song song với các cạnh

của một tam giác và đi qua trung điểm của các đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác với một điểm bất kì nằm trong tam giác hay trên một cạnh thì tổng ba yếu tố tuyến tính tơng ứng thuộc những tam giác đó bằng yếu tố tuyến tính trong tam giác đã cho.

(yếu tố tuyến tính nh cạnh, chiều cao, trung tuyến )

Chứng minh Lấy điểm O trong tam giác hay trên một cạnh của nó và nối với các

đỉnh Kéo dài các đoạn thẳng AO, OB, OC đến gặp các cạnh đối diện lần lợt tại các

điểm D, E, F Qua các điểm D’, BB’,, E’, BB’,, F’, BB’, là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC tadựng các đờng thẳng song song với các cạnh BC, AC và AB

Tỉ số hai yếu tố đồng dạng tuyến tính của các tam giác đồng dạng LAK và BAC,MBN và ABC, PCQ và BCA đợc kí hiệu bằng kA, kB, kC Chúng ta có

kA = AD'

12

AO

12

BO

12

CO CF

Bài tập Kí hiệu diện tích của các tam giác LAK, MBN và PCQ lần lợt là SA, SB, SC.Chứng minh S + A S + B S = S C

2, trong đó ha, h là đờng cao của SA và S

4.3 Định lý Lepnit Tổng bìng phơng các khoảng cách từ một điểm P bất kì đến các

đỉnh của tam giác bằng tổng bình phơng các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác

đến trọng tâm của tam giác cộng với ba lần bình phơng khoảng cách từ trọng tâm đến

Qua điểm G vạch một đờng thẳng vuông góc với PG và hạ xuống đó các đờng thẳng

AA1, BB1, CC1 từ các đỉnh của tam giác Khi đó

A1A = GA’, BB’, ; B1B = GB’, BB’, ; C1C = GC’, BB’,

Trên cơ sở của định lý về các cát tuyến đi qua trọng tâm, ta có

GA’, BB’, – GB’, BB’, – GC’, BB’, = A1A – B1B – C1C = 0

Vậy PA2 + PB2 + PC2 = AG2 + BG2 + CG2 + 3PG2

Hệ quả 1 Quỹ tích các điểm P, mà tổng bình phơng các khoảng cách từ điểm đó đến

các đỉnh của tam giác không đổi, là một vòng tròn có tâm trùng với trọng tâm của tam giác.

Hệ quả 2 Tổng bình phơng các khoảng cách từ mọt điểm của mặt phẳng đến các

đỉnh của một tam giác có giá trị nhở nhất khi điểm đó trùng với trọng tâm của tam giác.

HA2 + HB2 + HC2 = 3 4

9

.(12R2 – (a2 + b2 + c2)) + 1

3(a

2 + b2 + c2)Hay HA2 + HB2 + HC2 = 12R2 – (a2 + b2 + c2)

5 Cát tuyến.

5.1 Định nghĩa Một đờng thẳng cắt một hình gọi là cát tuyến của hình đó

Nếu hình là đa giác thì cát tuyến có thể cắt không những các cạnh của hình mà còn cảcác phần kép dài của các cạnh đó

5.2 Định lý Mênêlaúyt Cho tam giác ABC và ba điểm bất kì A , B , C trên các đ’, BB’, ’, BB’, ’, BB’, ờng thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB sao cho : hoặc cả ba điểm A , B , C đều nằm’, BB’, ’, BB’, ’, BB’,

-trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc một trong ba điểm đó nằm -trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác Điều kiện cần và đủ để

ba điểm C , B , A thẳng hàng là ’, BB’, ’, BB’, ’, BB’, AB

B C

''

CA

A B

'' .

Ta xét trờng hợp hai điểm B’, BB’,, C’, BB’, nằm trên hai cạnh của tam giác, còn A’, BB’, nằm trênphần kéo dài của BC Từ B ta kẻ đờng thẳng song song với AC, cắt đờng thẳng A’, BB’,B’, BB’,tại M Ta có

B C BM

'.BM

BC

C A

'' = 1 2) Điều kiện đủ (<=)

BC

C A

''''Vậy C” trùng với C’, BB’, (do C’, BB’, và C” đều nằm trong đoạn thẳng AB) và ba điểm A’, BB’,, B’, BB’,,C’, BB’, thẳng hàng

Chứng minh tơng tự cho trờng hợp ba điểm A’, BB’,, B’, BB’,, C’, BB’, đều nằm trên phần kéo dài của

ba cạnh

5.3 Định lý Các nô (Định lý Mênêlauyt mở rộng) Nếu có một đờng thẳng cắt các

cạnh của một đa giác phẳng hay các các cạnh kéo dài thì tích các đoạn thẳng xác

định không có đầu mút chung bằng tích các đoạn thẳng còn lại.

Chứng minh Giả sử đa giác ABCDE bị cắt bởi đờng

thẳng LMNPQ Vẽ đờng thẳng bất kì FG và cắt

ờng thẳng đó bằng các đờng thẳng song song với

đ-ờng thẳng PQ xuất phát từ các đỉnh của đa giác Khi

Sau khi nhân các đẳng thức trên với nhau ta có

5.4 Các tuyến đi qua trọng tâm của tam giác Nếu có đờng thẳng đi qua trọng tâm

của tam giác, thì tổng các khoảng cách từ đờng thẳng tới hai đỉnh ở cùng mọt phái bằng khoảng cách tới điểm thứ ba.

Chứng minh Giả sử M là giao điểm của các đờng trung tuyến, A’, BB’,B’, BB’,C’, BB’, là cát tuyến điqua trọng tâm M, A’, BB’,, B’, BB’,, C’, BB’, là chân của các đờng thẳng góc hạ từ các đỉnh A, B, C lêncát tuyến trên Ta có

Chú ý Nếu quan tâm đến chiều của các đoạn thẳng ta có

BB’, BB’, = - AA’, BB’, – CC’, BB’, hay BB’, BB’, + CC’, BB’, + AA’, BB’, = 0

Nh vậy tổng đại số các khoảng cách từ các đỉnh đến một đờng thẳng vẽ qua trọng tâm của tam giác bằng không.

Hệ quả Trị số tuyệt đối của tổng các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến một

đờng thẳng bất kỳ bằng ba lần khoảng cách từ trọng tâm đến đờng thẳng đó.

Chứng minh Giả sử khoảng cách từ các đỉnh của tam giác ABC đến đờng thẳng bất kì

NP lần lợt bằng dA, dB, dC Ta có dA = AD, dB = BE; dC = CF

Vẽ qua trọng tâm đờng thẳng ML song song

với NP Ta kí hiệu khoảng cách giữa các

Nếu đờng thẳng không cắt tam giác thì tổng các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác

đến đờng thẳng bằng ba lần khoảng cách từ trọng tâm đến đờng thẳng đó

5.5 Cát tuyến đi qua tâm vòng tròn nội tiếp của tam giác.