Chuyên đề hình học 8tìm lời giải bằng vẽ thêm đờng phụ Ngời viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình A.Một số ví dụ hình thành ph ơng pháp Ví dụ 1 : Cho h.b.h
Trang 1Chuyên đề hình học 8
tìm lời giải bằng vẽ thêm đờng phụ
Ngời viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình
A.Một số ví dụ hình thành ph ơng pháp
Ví dụ 1 : Cho h.b.h ABCD , lấy M là một điểm tùy ý trên cạnh AD Gọi H , L , K thứ tự là
hình chiếu vuông góc của A , C , D trên đờng thẳng BM Chứng minh AH + DK = CL
Tìm lời giải :
Chú ý : Từ kết luận AH + DK gợi ý cho ta cần vẽ đờng phụ nh thế nào để tạo đợc một
đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng AH và
DK rồi chứng minh đoạn thẳng tổng đó bằng CL
Cách 1 : Đẩy đoạn KD về phía AH Cách 2 : Đẩy đoạnAH về phía DK
Nh vậy ta có bốn hình vẽ sau đây ứng với bốn cách giải là :
Hỡnh 1 b Hỡnh 1 a
P
P
L H
C
I
L H
C
D A
K K
Hỡnh 2 b Hỡnh 2 a
P
P
L H
C
L H
C B
D A
B
M M
ở hình 1a : Để chứng minh PH = CL bằng cách chứng minh vPHK = vCLB
ở hình 1b : Để chứng minh AP = CL ta cần chứng minh vAPD = vCLB
K I
L H
C
A
D
B
M
Trang 2ở hình 2 a : Ta cần chứng minh vBLC = vAPD
ở hình 2 b : Ta cần chứng minh vBLC = v HKP
Bạn đọc tự chứng minh
Tuy nhiên nếu biến đổi kết luận về dạng hiệu là : AH = CL – DK hoặc DK = CL –
AH
thì bằng cách vẽ tạo ra các đoạn thẳng hiệu và ta lại có thêm những cách giải khác theo các hình vẽ sau :
K K
Hỡnh 3 d Hỡnh 3 c
Hỡnh 3 b Hỡnh 3 a
P
P
L H
C
L H
C
P P
L H
C
L H
C B
D A
B
B
D A
B
D A
M M
Tóm lại có 8 cách giải nh trên
Bạn đọc tự trình bày lời giải
Ví dụ 2 : Cho ABC có AB > AC và góc A bằng α0 Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
BD = AC Gọi E và F thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD , BC Tính góc BEF theo α
Tìm lời giải :
Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để tìm hoặc tạo
ra các mối quan hệ giữa các góc BEF và góc BAC
? Cần vẽ đờng phụ nh thế nào ?
Để ý rằng AC = BD , Hãy tìm cách vẽ đẩy chúng về phía nhau , làm xuất hiện các tam giác cân ; hoặc vẽ hình để lợi dụng yếu tố trung điểm
mà đề bài đã cho
1 Đẩy BD về phía AC ta đợc hình 1; 4 ; 6 và ngợc lại ta đợc hình 2 ; 3 ; 5
α
A D
E
F
Trang 3Hình 4 Hình 3
Hình 2 Hình 1
α
α α
P
P
P K
A
B
C A
A
A
D E
F
D E
F
D E
F
D E
F
α
α
K P
H
C B
A
C B
D E
F
D E
F
Tóm tắt lời giải cho hình 1: Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK = BD = AC ,
⇒ E là trung điểm của đoạn thẳng BK ; ACK cân tại A và EF là đờng trung bình của
BCK Ta đợc góc BEF bằng góc AKC và bằng 1/2 số đo của góc BAC Vậy góc BEF bằng α/2
Trang 4Tóm tắt lời giải cho hình 2 : Lấy P đối xứng với C qua điểm E thì tứ giác ACDP la hình
bình hành , ⇒ PBD cân tại D Ta có góc ADP bằng α ( so le trong ) và góc ADP bằng hai lần góc DBP ( quan hệ góc trong và góc ngoài của DPB ) Lại có góc DBP bằng góc BEF ( so le trong ) Vậy BEF bằng α / 2
Tóm tắt lời giải cho hình 5 : Dựng hình bình hành ACBK ⇒ BDK cân tại B Gọi H là
trung điểm của DK thì BH là phân giác của góc DBK Vậy góc EBH = 1/2 góc EBK = α/2
= góc BEF ( so le trong )
Bạn đọc hãy tìm lời giải cho hình 3 và 4 , 6
2 Lợi dụng yếu tố trung điểm mà đề bài đã cho
Hình 8
Hình 7
α
α
Q
P
A
A
C B
D E
F
D E
F
K
Tóm tắt lời giải cho hình 7 : Trên tia đối của tia AC lấy điểm P sao cho PA = BA , ta
đợc ABP cân tại A Gọi Q là trung điểm của đoạn CP thì CQ = CP/2 = ( AB + AC )/
2 = BE Từ đó AQ = AE = DE và AQE cân tại A và ba điểm E , F , Q thẳng hàng
Từ đây dẽ dàng tính đợc góc BEF bằng α / 2
Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD ; I
và J thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DH và BC Tính số đo cú góc AIJ
Tìm lời giải
Từ hình vẽ ( khá chính xác ) ta dự đoán góc AIJ = 900.Dựa vào yếu tố trung điểm mà
đề đã cho mà vẽ thêm hình tạo sự liên kết giữa I và J
Cách 1 : ( hình 1,2) Vẽ hình phụ khai thác yếu tố trung điểm
Cách 3 ( hình 3 , 4 ) Vẽ hình phụ tạo các tam giác đồng dạng để xét các quan hệ về góc
Trang 5A
B
Hình 2 Hình 1
O P
P
J
J
B
C D
C D
A
Hình 4 Hình 3
O
K
P Q
J
I H
J
B
C D
C D
A
Tóm tắt lời giải cho hình 1 Gọi P là trung điểm của AH thì IP ⊥ AB và P là trực
tâm của ABI Từ đó tứ giác BPIJ là h.b.h ,⇒ BP // IJ mà BP ⊥ AI nên JI ⊥ AI
Tóm tắt lời giải cho hình 4 ( xem hình vẽ ) Vì góc DAH = góc ACB < 900 nên
vAHD ∼ vABC ⇒ AH AB = DH BC = DH BC: 2: 2 =IH JB nên lại có v AHI ∼ vABJ Ta đợc
0 0
90 AJB < 90
AIH
∠ = ∠ <
∠ = ∠
⇒AOI ∼ BOJ ( g – g ) ⇒ AOB ∼ IOJ ( c – g – c ) nên góc JAB = góc JIB = góc IAH mà góc AIH + góc IAH = 900 nên góc AIH + góc JIB
= 900 Hay góc AIJ = 900 ( Với lớp 9 nên dùng tứ giác nội tiếp với hình 4 )
Bạn đọc tự giải cho hình 2 và hình 3
Qua các ví dụ trên có thể rút ra một kết luận là :
1 Thông thờng cách vẽ đờng phụ xuất phát từ cách tìm kiếm lời giải bằng phân tích đi lên
2 Vẽ đờng phụ để liên kết những yếu tố đã cho với nhau : Đẩy chúng về phía nhau , tạo ra hình trung gian
3 Vẽ đờng phụ để khai thác hoặc tạo thêm giả thiết ( dựa vào kiến thức đã học )
Trang 64 Vẽ đờng phụ để sử dụng một phơng pháp nào đó đặc biệt để giải : Phơng pháp tam giác
đồng dạng , phơng pháp diện tích ; phơng pháp tứ giác nội tiếp ( lớp 9 ) hoặc phơng pháp
đại số v v
B Bài tâp luyện tập
Bài tập 1 : Cho góc vuông xOy Trên tia Ox lấy điểm B và trên tia Oy theo thứ tự lấy các
điểm C , D , E sao cho C nằm giữa O và D , D nằm giữa C và E ,và đồng thời thỏa mãn :
OC = CD = DE = OB
Tính tổng của các góc ODB và góc OEB
Bài tập 2 : Cho hình vuông ABCD Lấy M , N thứ tự là trung điểm của các cạnh AD , AB
Các đoạn thẳng CM và DN cắt nhau tại P Chứng minh PBC cân
Bài tập 3 : Độ dài đờng trung bình của một hình thang là 40 cm Hai góc kề đáy nhỏ ( góc
trong ) bằng 1300 và 1400 Hãy tìm độ dài mỗi cạnh của hình thang biết rằng độ dài của
đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy của hình thang đó bằng 1 cm
Bài tập 4 : Cho hình vuông ABCD , lấy điểm M tùy ý trong đoạn BC Tia kẻ từ A và vuông
góc với AM cắt đờng thẳng CD tại E ; EM cắt BD tại H Chứng minh AH⊥ EM
