CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM I... Tìm nguyên hàm của các hàm số sau giả sử điều kiện được xác định: Phương pháp: Dựa vào bản

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

I LÝ THUYẾT

1 Khái niệm nguyên hàm

- Cho hàm số  f x( ) xác định trên K. Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số  f x( ) trên K nếu: F x( ) f x( ),   x K. 

-  Nếu  F x( )  là  một  nguyên  hàm  của  f x( )  trên K  thì  họ nguyên hàm  của  hàm  số  f x( )  trên K  là: 

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

  sin sin 1cos( ) cos( ) 

Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định):

Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất nguyên hàm. 

3

.2

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

1 cos 4

.2

Ví dụ 2 Chứng minh F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trong các trường hợp sau:

Phương pháp: Để F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ), ta cần chứng minh: F x( ) f x( )

và 

( )(4 1) x

 d)   F x( )tan4 x3x5

và 

( )4 tan 4 tan 3

 e)   

2 2

4( ) ln

2 1( ) ln

Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trong các trường hợp sau:

Phương pháp: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ), tức đi tính  f x dx( ) F x( )C. Rồi sau đó thế

Ví dụ 4 Tìm điều kiện của tham số m hoặc a, b, c để F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) :

Phương pháp: Để F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )F x( ) f x( ). Từ đó, ta sử dụng đồng nhất

thức để tìm ra tham số cần tìm

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

 x  x  

4 2

3ln

3 2

3 2

3ln

3ln

32

3 2

3 2

22

22

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

x x x    D

4

14

F x

x   C F x( )ln x   D

1( )  

F x

x 

x, ta được kết quả là: 

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

3 ln 3

x x

3

3( )

3 ln 3

x x

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

( )3

5

2 2017

x e

2017 3

2

5 2017

x e

C

2017 2

3

5 2017

x e

2017 2

2

5 2017

x e

A cosxsinx C   B cosxsinx C  

C cosxsinx C   D cosxsinx C  

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

A 3xtanx C   B 3xtanx C   C 3xcotx C   D 3xcotx C  

A x2cosx2 sinx  B x2cosx2 sinx2   

C 2 cos x2 sinx  D x2cosx2 sinx2 

A

3

tan3

cos 22

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

( ) sin sin 3 (sin 2 - sin 4 )

1( ) tan tan

A Chỉ (I) và (II)  B Chỉ (III)  C Chỉ (II) và (III)  D Chỉ (II) 

A

4

(cos 1)4

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

A. F x sinxcosx C   B F x sinxcosx x C  

C. F x cosxsinx x C   D. F x sinxcosx x C  

A F x    cos – sinx x C      B F x  cosxsinx C     

C F x  cot – tanx x C      D F x    cot – tanx x C     

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài



x2

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

cos

 x

f x e

x  D Kết quả khác 

Câu 114 Nếu  f x dx( ) e xsin 2x C  thì  f x( ) bằng 

A e xcos 2x  B e xcos 2x  C e x2 cos 2x  D 1cos 2

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài



x e

2 Dạng toán 2 TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm  ( ) ,

- Nếu bậc của tử số P x( )  bậc của mẫu số Q x( ) PP  Chia đa thức. 

- Nếu bậc của tử số P x( )  bậc của mẫu số Q x( ) PP  Xem xét mẫu số và khi đó: 

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số. Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: 

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

11

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

2 1( )

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

f x

x   biết 

1(1)2

 x C  D ln 2x 1 C  

4 2







C x

2

11





C x

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

m n

n

PP n

1( ln )

   I  f(cos ) sinx  xdx PP  Đặt tcosxdt sinxdx. 

   I  f(sin ) cosx  xdx PP  Đặt tsinxdtcosxdx. 

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

00 khi 

( 1)

.8

 x x   

4 10

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

(1 3ln )1

e

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

3

(1 )

x x



x

x e

2

3cos(1 sin )

3 2

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

4 6

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

(1 )

.3



14032





12017

x    

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

e dx e

ln( )

2





x y

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

A ( ) 1 cos 7 1 cos 5 1 cos 3 1cos

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

D ( ) 1 cos 7 1 cos 5 1 cos 3 1cos

A F x( ) 2 cosx x4 xsin x4 cos xC   

B F x( ) 2 cosx x4 xsin x4 cos xC 

C F x( ) 2 cosx x4 xsin x4 cos xC   

D F x( )2 cosx x4 xsin x4 cos xC 

 



GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

dv dx v  Suy ra: I udvuvvdu. 

- Thứ tự ưu tiên chọn u:  log – đa – lượng – mũ và  dv phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay  log a x  thì chọn 

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

1ln

ln 4 8 3 4 ln 1 2( 1)

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

A e xC  B e xx1C   C e xx1C   D

2

x x

A xcosx C   B xsinxcosx C    

C sinxxcosx C   D xcosxsinx C  

C F x( )x(1 sin ) cos x  x C   D F x( )x(1 sin ) cos x  x C  

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

A F x xsinxcosx C   B F x xsinxcosx C  

C F x  xsinxcosx C   D F x  xsinxcosx C  

2



x xdx x x C   B xsinxdx xcosxsinx C  

C xcosxdxxsinxcosx C   D sin 2 cos 2 1sin 2

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

A F(x) = 11 sin 2  ln 1 sin 2  1sin 2