CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

TÍCH PHÂN I. LÝ THUYẾT1. Khái niệm tích phân:• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là . • Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: • Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn a; b thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: 2. Tính chất của tích phân: • • • (k: const)• • • Nếu f(x)  0 trên a; b thì • Nếu f(x)  g(x) trên a; b thì 3. Phương pháp tính tích phân:a) Phương pháp đổi biến số: trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp fu(x) xác định trên K, a, b  K.b) Phương pháp tích phân từng phần:Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì: Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho dễ tính hơn .

Trang 1

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

TÍCH PHÂN

I LÝ THUYẾT

1 Khái niệm tích phân:

 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:

udvuv  vdu

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

Trang 2

Trang 3

5ln

3

2 ln7

Câu 19: Tính tích phân

1 2 0

5ln

2.2

Câu 23: Tính tích phân sau:

Trang 4

Câu 30: Giá trị của

2 2 2

A Chỉ có (I) sai B. Chỉ có (II) sai

C Chỉ có (I) và (II) sai D Cả ba đều đúng

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ MTCT

Trang 5

Câu 35: Giá trị của tích phân

1(1 tan )

Câu 37: Giá trị của tích phân

Câu 42: Tính tích phân

1

3 2

Trang 6

2ln

2ln7

Câu 51: Tích phân

2

2 0

Trang 7



C 9

328

Câu 57: Tính

1 2 0

12

33

3ln

1ln2

Trang 8

Câu 74: Giá trị của  

1

2 0

Trang 9

23

Trang 10

 tdt



D 3 0

Trang 11

Trang 12

Trang 13

O

y

x

ba

Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị:

 C1 :y f x ,   C2 :yg x và hai đường đường thẳng   xa x, b

Được xác định bởi công thức:

a b 

S f x g x dx

Chú ý:

1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

* Giải phương trình: f x g x tìm nghiệm   x x1, 2, ,x na b ;  x1x2  x n

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

 C1 :y f x ,    C2 :yg x Khi đó, ta có công thức tính như sau:      

1

n x

x a x b a b Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x a xb cắt C theo một thiết diện 

có diện tích S x Giả sử   S x là hàm liên tục trên   a b Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp ; 

 P và  Q được tính theo công thức:   

b

a

V S x dx

b Tính thể tích vậy tròn xoay

Bài toán 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới

hạn bởi các đường y f x ;y0;xa x; b quanh trục Ox

Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại

điểm có hoành độ bằng x là một hình tròn có bán kính R f x  nên diện tích

Trang 14

Trong trường hợp ta không tìm được x theo y thì ta có thể giải bài toán theo cách sau

Chứng minh hàm số y f x( ) liên tục và đơn điệu trên [ ; ]c d với

min ( ), ( ) , max ( ), ( )

c g a g b d g a g b Khi đó phương trình y f x( ) có duy nhất nghiệm xg y( )

Thực hiện phép đổi biến xg y dy( ),  f x dx'( ) ta có:   2 '( )

Nếu phương trình f x 0 có k nghiệm phân biệt x x1, 2, ,x trên k a b thì trên mỗi khoảng ; 

a x; 1 , x x1; 2  x b biểu thức k;  f x không đổi dấu  

Trang 15

Trang 16

A 11

1112

3712

Câu 5 Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx21,x0,x1, y0 quay quanh trục Ox là



 

2 4

Cách làm trên sai từ bước nào?

A Bước I B Bước II C Bước III D Không có bước nào sai

Câu 7 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   3

Câu 8 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   4 2

Câu 9 Cho hai hàm số f x và   g x liên tục trên   a b và thỏa mãn: ;  0g x  f x , x a b Gọi V là ; 

thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng  H giới hạn bởi các đường:

Câu 12 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: ysin ;x Ox x; 0;x Quay  H xung quanh trục

Oxta được khối tròn xoay có thể tích là:

Câu 15 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yx ;2 y x 2 bằng ?

A 15

92



C 9

152



Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yx44x2;Ox bằng ?

Trang 17



C 4

1615

Quay  H xung quanh

trục Oxta được khối tròn xoay có thể tích bằng ?



C 4

43

333

Câu 27 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2

Câu 29 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C :y1;d y:  2x3

Trang 18

Câu 31 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   2  

Câu 32 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x1;Ox x; 4 Quay  H xung quanh trục

Câu 36 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx33x và trục hoành là: 2

Câu 41 Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y x 1; y 6

x ; x1 Quay hình (H) quanh trục Ox ta được

Câu 44 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2x1; y6

x; x3 là:

Trang 19

Câu 45 Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y 4

x và y  x 5 Quay hình (H) quanh trục Ox ta được khối

Câu 46 Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên đoạn a b trục Ox và hai ; 

đường thẳngxa x, b quay quanh trục Ox , có công thức là:

Câu 47 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục, trục hoành và hai  

đường thẳng xa x, b được tính theo công thức:

Câu 48.Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x1 ,y f2 x liên tục và hai đường

thẳng xa x, b được tính theo công thức:

Câu 52 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường yx2 x 3 và đường thẳng y2x1 là :

Câu 53 Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đường ys inx

, trục hoành và hai đường thẳng

Trang 20

Câu 59 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 1,yx42x21 có kết quả là

Câu 60 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x y, 2xx có kết quả là 2

72

Câu 61 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x 3,yx24x3 có kết quả là :

Câu 64 Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi parabol ( ) :P yx22x , trục Ox và các đường thẳng

Câu 65 Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong 2

3

y x x và đường thẳng y2x1 Diện tích của hình (H) là:

Câu 66 Để tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   3

:  ; 0; -1; 2

C y x y x x một học sinh thực hiện theo các bước như sau:

Bước I

2 3 1



 

S x dx Bước II

2 4

Cách làm trên sai từ bước nào?

A Bước I B Bước II C Bước III D Không có bước nào sai

Câu 68 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   4 2

: 3 4 5; ; 1; 2

Trang 21

Câu 69 Cho hai hàm số f x và   g x liên tục trên   a b và thỏa mãn: ;  0g x  f x , x a b Gọi V là ; 

thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng  H giới hạn bởi các đường:

Câu 72 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: ysin ;x Ox x; 0;x Quay  H xung quanh trục

Câu 75 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yx ;2 y x 2 bằng ?

A 15

92



C 9

152



C 4

1615

Quay  H xung quanh

trục Oxta được khối tròn xoay có thể tích bằng ?

Trang 22



C 4

43

Câu 87 Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y2x113 ,x0 , y3 , quay quanh trục Oy là:



C

4807



D

487

C. 1 

3

e dvdt

D 1 

2

e dvdt

Câu 89 Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y x c os xsin2x , 0, 0,

Trang 23

Câu 101 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y x và 2

Câu 102 Hình phẳng giới hạn bởi đường cong yx và đường thẳng 2 y4 quay một vòng quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay được sinh ra bằng :

Câu 105 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x sin ;x yx 0x2 là:

Câu 106 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

3

2;1

333

Câu 108 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y3xx Ox Quay 2;  H xung quanh trục Oxta được khối tròn xoay có thể tích là:

Câu 110 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C :y1;d y:  2x3

Trang 24

Câu 112 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   2  

Câu 113 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x1;Ox x; 4 Quay  H xung quanh trục

Câu 114 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y3 ;x yx x; 1 Quay  H xung quanh trục

Câu 117 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx33x và trục hoành là: 2

Câu 122 Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y x 1; y 6

x; x1 Quay hình (H) quanh trục Ox ta được

Trang 25

Câu 125 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2x1; y6

Câu 126 Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y4

x và y  x 5 Quay hình (H) quanh trục Ox ta được

Câu 128 Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ye , trục Ox, 2 đường thẳng x = 0, x

x = 1 Thể tích khối tròn xoay khi quay hình đó xung quanh trục hoành được cho bởi công thức

2 1

Câu 130: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b].Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x),trục

hoành, hai đường thẳng x=a và x=b được xác định bởi công thức:

Câu 131:Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên [a;b].Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y=f(x),

y=g(x) và đường thẳng x = a, x = b có diện tích S đươc tính bởi công thức

Câu 132: Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi ta cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y f x( )

,trục Ox , x=a, x = b (a< b) quay quanh trục ox được tính bởi công thức

Trang 26

112

Câu 136 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y x sinx và yx với 0x2 bằng:

sinh ra khi quay hình (H) xung quanh trục trục Oxlà

3



.D 8

Câu 141 : Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thi hàm số y=f(x) liên tục trên a b , trục hoành và hai ; 

đường thẳng x=a, x=b được tính theo công thức:

Câu 142 : Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thi hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên a b và ; 

hai đường thẳng x=a, x=b được tính theo công thức:

Câu 143 : Thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thi hàm số y=f(x) ,

trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b(a<b), xung quanh trục ox được tính theo công thức:

Câu 147 Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên đoạn a b trục Ox và ; 

hai đường thẳngxa x, b quay quanh trục Ox , có công thức là:

Trang 27

C.V a b f x dx 

D V a b f x dx 

Câu 148 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục, trục hoành và hai  

Câu 149 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x1 ,y f2 x liên tục và hai

Câu 153 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường yx2 x 3 và đường thẳng y2x1là :

Câu 154 Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đường ys inx

, trục hoành và hai đường thẳng

Trang 28

Câu 160 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 1,yx42x21 có kết quả là

Câu 161 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x y, 2xx có kết quả là 2

72

Câu 162 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x 3,yx24x3 có kết quả là :

Câu 165 Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi parabol ( ) :P yx22x , trục Ox và các đường thẳng

Câu 166 Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong yx2 x 3 và đường thẳng y2x1 Diện tích của hình (H) là:

Câu 167 Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y2x113 ,x0 , y3 , quay quanh trục Oy là:



4807



D

487

C. 1 

3

e dvdt

D 1 

2

e dvdt

Câu 169 Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y x c os xsin2x , 0, 0,

Trang 29

Câu 172 Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi yln ,x y0,xe quay quanh trục ox có kết quả là:

Câu 181 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y x và 2

Câu 182 Hình phẳng giới hạn bởi đường cong yx và đường thẳng 2 y4 quay một vòng quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay được sinh ra bằng :

Câu 185 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x sin ;x yx 0x2 là:

Câu 186 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

3

2;1

Trang 30

Câu 190 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi yx3, y4x là:

Câu 193 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x( ), yg x( ) liên tục trên đoạn

[ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a , xb được tính theo công thức

Trang 31

Câu 198 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ysinx , trục hoành và hai đường thẳng

Câu 199 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ytanx , trục hoành và hai đường thẳng

Trang 32

211A

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	552,15 KB
File đính kèm	CHUYEN DE TICH PHAN VA UNG DUNG.rar (511 KB)