Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi Î R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi Î R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn) Î Rn:
Trang 1Chương 3 HÀM NHIỀU BIẾN
x 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi Î R,
i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn
Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi Î R, i = 1, n}
Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x
Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn) Î Rn:
Một số tính chất của d:
a) d(x,y) ³ 0; d(x,y) = 0 ó xi = yi, "I ó x = y
b) d(x,y) = d(y,x)
c) d(x,y) £ d(x,z) + d (z,y)
Lân cận: Cho x0ÎRn và số r > 0 Tập S(x0, r) = {x Î Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0
Điểm trong: Điểm x0ÎRn được gọi là điểm trong của D Ì Rn nếu D chứa một lân cận của x0
Điểm biên: Điểm x0 Î Rn được gọi là điểm biên của D Ì Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x Î D, y Ï D Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D
Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D.
Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D.
Hàm 2 biến: D Ì R2, một ánh xạ f: D ® R, được gọi là hàm số 2 biến Ký hiệu:
• D: miền xác định
• f(D) = {zÎD: z = f(x,y), "(x,y) Î D} gọi là miền giá trị
Ví dụ: Tìm miền xác định:
z = 2x – 3y +5
z = ln(x + y -1)
Hàm n biến: D Ì Rn, một ánh xạ f: D ® R được gọi là hàm số n biến Ký hiệu:
x2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M0(x0,y0), có thể không xác định tại M0 Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu:
"e > 0, d$$ > 0: d(M,M0) < d$ => |f(M) – L| < e
• Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến
n
i
i
i y x y
x d
1
2
) (
) , (
2 2
z
) ,
, ( )
,
, ( : x1 x2 x n z f x1 x2 x n
f
2 0 2
0
0 ) (x - x ) (y - y ) M
d(M,
L M
f
M
® ( )
lim
0
L y x f y x y
® ( , )
lim
) , ( ) , ( 0 0
L y
x f y
®
lim 0
Trang 2• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến
Ví dụ:
Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu
Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D Ì R2 thì:
• Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M
• f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D
Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3)
Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0) Î D Nếu cho y = y0 là hằng
số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại
M0 Ký hiệu:
Đặt Dxf = f(x0 + Dx, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0
Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y
Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n³3)
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:
Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y) Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo
hàm riêng cấp 1 Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2
Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,…
2 2
2 2 )
0
,
0
(
)
,
(
) sin(
lim
y x
y x
y
y x
xy
) , ( ) , (
) , ( ) , ( 0 0 f x y f x y
y x y
®
) , ( z ), , ( f , ) ,
x y
x x y
x
f x
x
f
x
D
®
D 0
'
x lim f
y
f
y
D
®
D 0
'
y lim f
4 2 3
4 5x y 2y x
y
x
u
) , (
'' 2
2
y x f x
f x
f
x xx
x y
f x
f
y yx
) , (
'' 2
y x f y x
f y
f
) , (
'' 2
y x f y y
f y
f
Trang 3Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng
và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0
Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n³3)
Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u =
u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng:
Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y
x4 ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình
F(x,y) = 0
Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, "x Î (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0
Ví dụ: xy – ex + ey = 0
Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:
Ví dụ: Tính y’ nếu:
F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0
F(x,y) = xy – ex + ey = 0
Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0 Nếu tồn tại hàm số hai biến z =
f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z
Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:
Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z)
Cực trị tự do:
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận D của M0 sao cho f(M) £ f(M0), "M Î D (f(M) ³ f(M0), "M Î D) F(M0) gọi chung là cực trị
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2
Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y) Tại những điểm thỏa zx = zy 0, ta gọi định thức Hessian:
y
x
F
F
y'
z
x
F
F
x
z
z
y
F
F y
z
xy xx z z
z z
H
x
v v
f x
u
u
f
x
z
y
v v
f y
u u
f y
z
Trang 4• Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu
• Nếu |H1|<0, |H2|>0: z đạt cực đại
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8,
z = x3 + y3
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x1,x2…xn) Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 = … fx1 =
0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt
Ta có định thức Hessian:
• Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H1|<0, |H2|>0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z
Cực trị có điều kiện:
Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện.
Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên
Đặt hàm Lagrange: L(x,y,l) = f(x,y) + l(c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì:
l là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng
Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.
Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c Hàm Lagrange L =
f + l(c-g)
Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:
Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thức Hessian
đóng:
yy yx
xy xx
z z H z
nn n
n
n n
n
f f
f
f f
f
f f
f H f
f
f f H f H
,
,
2 1
2 22
21
1 12
11
22 21
12 11 2 11
0 )
, (
0
y x g c
L
g f
L
g f
L
y y
y
x x
x
l
l
2 2
z
0
0
0 0
2 2
2
1 1
1
g c
L
g f
L
g f
L
g f
L
n n
n
xy xx x
y x
L L g
L L g
g g H
0
Trang 5• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện
• Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện
Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:
f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1
Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c Hàm Lagrange:
L = f + l(c-g) Xét tại điểm dừng M0(x0,y0), ta xét định thức Hessian đóng:
• Nếu |H2|<0, |H3|<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H2|>0, |H3|<0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z
với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1
nn n
n n
n n n
L L
L g
L L
L g
L L
L g
g g
g H
0
2 1
2 22
21 2
1 12
11 1
2 1