Tai lieu toan 3 , ham nhiều biến , tích phân bội 2 , 3 , bài giảng bài tập và đề thi

 Yêu cầu cơ bản đối với người học ­ Hiểu được các khái niệm liên quan đến hàm nhiều biến: lân cận của một điểm, miền xác định, giới hạn, sự liên tục, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm theo hướng, cực trị, max và min. ­ Đối với hàm hai hoặc ba biến: Biết cách tìm giới hạn. Xác định được sự liên tục. Biết tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp cao. Tính được đạo hàm theo hướng bất kỳ. Các bước tìm cực trị (không hoặc có điều kiện). Các bước tìm max, min trên một miền.

Ch-¬ng 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

 Yêu cầu cơ bản đối với người học

­ Hiểu được các khái niệm liên quan đến hàm nhiều biến: lân cận của một điểm,

miền xác định, giới hạn, sự liên tục, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm theo hướng, cực trị, max và min.

­ Đối với hàm hai hoặc ba biến:

 Biết cách tìm giới hạn.

 Xác định được sự liên tục.

 Biết tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp cao.

 Tính được đạo hàm theo hướng bất kỳ.

 Các bước tìm cực trị (không hoặc có điều kiện).

 Các bước tìm max, min trên một miền.

1.1 Khái niệm mở đầu

1.1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số

Trong không gian Euclide n chiều Rn, cho một hệ toạ độ Đề các Khi đó mỗi điểm

x  Rn được mô tả bởi một bộ gồm n số thực (x1, x2, , xn) Giả sử D là tập con nào

 Giả sử M(x1, x2, , xn) và N(y1, y2, , yn) là hai điểm trong Rn Ta gọi khoảng

cách giữa hai điểm ấy, ký hiệu d(M, N), là giá trị biểu thức n 2

 Ta gọi –lân cận của điểm M  Rn là tập U(M) = {N Rn : d(M, N) < }

Ta gọi lân cận của điểm M, ký hiệu U(M), là mọi tập hợp chứa một U(M) nào

đó của M

 Điểm M được gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại U(M) nằm trọn trong E

Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.

 Điểm M được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi U(M) đều chứa điểm thuộc E

và điểm không thuộc E Tập các điểm biên của một tập được gọi là biên của tập

 Tập hợp E được gọi là bị chặn nếu tồn tại quả cầu nào đó chứa nó.

 Tập hợp E được gọi là liên thông nếu giữa hai điểm bất kỳ của E đều tồn tại

đường nối liên tục nằm hoàn toàn trong E

 Tập hợp E được gọi là đơn liên nếu biên của nó là liên thông, được gọi là đa liên

nếu biên của nó không liên thông

1.1.3 Miền xác định của hàm số nhiều biến số

Miền xác định của hàm số u = f(M), ký hiệu Df, là tập các điểm M để f(M) có nghĩa

Ví dụ 1.1.2 Trong R2, với f(x, y) = 1 x  2  y 2 thì Df = {(x, y): x2 + y2  1}

Trong R3, với f(x, y, z) = thì Df = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 < 1}

x

1 x   y  z

1.1.4 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

Sau đây, một số khái niệm và kết quả sẽ được trình bày cho n = 2 hoặc n = 3 Nhưng chúng dễ dàng được mở rộng cho n > 1 bất kỳ

Định nghĩa 1.1.2 Ta nói dãy điểm {M n (x n , y n )} dần tới điểm M 0 (x 0 , y 0 ) khi n  +, và viết M n  M 0 , nếu = 0

Giả sử f(M) = f(x, y) xác định trong một lân cận nào đó của M0, có thể trừ tại

, nếu với mọi dãy bất kỳ M n  M 0 ta đều có f(M n )  f(M 0 ).

Định lý 1.1.1 Hàm f(M) có giới hạn là L khi M  M 0 khi và chỉ khi

 > 0,  = (, M 0 ) > 0 sao cho |f(M) – L| <  khi d(M 0 , M) < .

k lim f (x,kx)

1 k

giá trị k khác nhau, ta được hai giới hạn khác nhau, vì vậy không tồn tại giới hạn của f(x, y) khi (x, y)  (0, 0)

 Một số phương pháp xác định sự tồn tại giới hạn của hàm hai biến số.

 Phép đặt t = x

yThông qua phép đặt này, f(x, y) = f(ty, y) = g(t, y) Khi (x, y) → (0, 0), có ba khả năng của t:

hoặc t → 0, hoặc t → , hoặc t → k (hữu hạn, khác 0)

Nếu trong mọi trường hợp mà g(t, y) có giới hạn thì f(x, y) có giới hạn, trái lại thì không.

Ví dụ 1.1.5 Tìm giới hạn của f (x, y) 2x2 2y2 khi (x, y) → (0, 0)

t 1

t 1 t



 Với y = x thì t → 1 và f(x, y) → 2 Với y = x thì t → 0 và f(x, y) → 1

Vậy hàm không có giới hạn khi (x, y) → (0, 0)

Ta thấy rằng nếu k  0 thì khi y đủ nhỏ vế phải sẽ âm, mâu thuẫn

Vậy chỉ có thể k = 0, có nghĩa là mọi trường hợp (x, y) → (0, 0) ta đều có f(x, y)

→ 0

1.1.5 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử f(x) xác định trong lân cận của điểm M 0 D Ta nói f(x) liên tục tại M 0 nếu tồn tại giới hạn = f(M 0 ).

 số gia của đối: x = x – x0, y = y – y0,

 số gia riêng theo biến x: xf = f(x0 + x, y0) – f(x0, y0 ),

 số gia riêng theo biến y: yf = f(x0, y0 + y) – f(x0, y0 ),

 số gia toàn phần: f = f(x0 + x, y0 + y) – f(x0, y0 )

Hàm f(x, y) liên tục tại M0 nếu nó xác định tại đó và f  0 khi x  0 và y

 0

Ta nói f(M) liên tục trong D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D

Hàm f(M) được gọi là liên tục đều trên D nếu

 > 0, () > 0 : |f(M) – f(N)| <  M D, N D thoả mãn d(M, N) < .Các tính chất đại số về tính liên tục của hàm một biến cũng còn đúng với hàm nhiều biến

Nếu  > 1 thì f(x, y)  0 = f(0, 0) khi (x, y)  0, vậy liên tục tại (0, 0).

Với   1, |f(x, x)| = |x22 | | 2(11 ) |  + khi x  0, vậy không liên tục tại (0,





0)

1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số

1.2.1 Đạo hàm riêng

Cho u = f(x, y) xác định trong miền D và M0(x0, y0) D Nếu cố định y = y0 mà hàm một biến của x là f(x, y0) khả vi tại x = x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0 và được ký hiệu bởi một trong các ký hiệu sau:



f (x , y ) x



f lim x

 



Tương tự, đạo hàm riêng của f đối với x tại M0 và được ký hiệu là



Các đạo hàm riêng của hàm n biến (n  3) cũng được định nghĩa tương tự

Chú ý: f là ký hiệu, còn riêng f và x không có nghĩa



 



y f

x ln x y

3 3



1.2.2 Vi phân toàn phần

Ta nói f(x, y) khả vi tại (x0, y0) nếu có thể biểu diễn f = Ax + By + x +

y, trong đó A và B là những hằng số chỉ phụ thuộc x0 và y0, còn  và  dần tới 0 khi cả x và y dần tới 0

Khi đó ký hiệu df = Ax + By, và gọi là vi phân toàn phần của f tại (x0, y0).Hàm f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc

D

Rõ ràng, nếu f khả vi tại (x0, y0) thì nó liên tục tại (x0, y0)

Lưu ý rằng, sự tồn tại của các đạo hàm riêng của f chưa đủ kết luận f khả vi

Nhưng theo Ví dụ 1.1.4, hàm này không liên tục tại (0, 0)

Định lý 1.2.1 Nếu các đạo hàm riêng của f(x, y) liên tục tại (x 0 , y 0 ) thì f(x, y) khả vi tại (x 0 , y 0 ) và

df = f x '(x 0 , y 0 )x + f y '(x 0 , y 0 )y

Như vậy, vi phân toàn phần chỉ khác số gia toàn phần một lượng x + y, là

vô cùng bé bậc cao hơn    x 2 y , 2 nên khi x và y đủ nhỏ thì f  df, tức là

f(x0 + x, y0 +y)  f(x0, y0) + fx'(x0, y0)x + fy'(x0, y0)y

Ví dụ 1.2.3 Tính gần đúng arctg1.02

0.95Xét f (x, y) arctg y Ta cần tính f(x0 + x, y0 + y) với x0 = 1, y0 = 1, x = – 0.05,

2Vậy f(1 – 0.05, 1 + 0.02) = arctg(1) + ( 1)(–0.05) + (0.02) = + 0.035  0.785 +

Khi đó fo: D  (x, y)  f((x, y)) = f(u(x, y),v(x, y)) được gọi là hàm hợp của f với .

Định lý 1.2.2 Nếu f có các đạo hàm riêng   liên tục trong D  và các hàm u, v

 

f f ,

u v

có các đạo hàm riêng     trong D, thì tồn tại các đạo hàm riêng

   

u u v v , , ,

x y x y

 

 

f f ,

x y trong D và

Ví dụ 1.2.4 Cho f = eulnv, với u = xy, v = x2 + y2 Khi đó

 

 liên tục, nên ta xem z như hàm số khả vi theo x, y và công thức tính vi phân là

a) Khái niệm hàm ẩn (implicit function)

Cho phương trình F(x, y) = 0, trong đó F: R2  U  R Nếu với mỗi giá trị x =

x0 I, có một (hay nhiều) y0 sao cho F(x0, y0) = 0 thì ta nói phương trình F(x, y) = 0 xác định một (hay nhiều) hàm ẩn y theo x I Nói khác đi, xI, (x, f(x)) U và F(x, f(x)) = 0

Ví dụ 1.2.5 Từ phương trình x22 y22 1, ta có y = , như vậy ta tìm được

Định lý 1.2.3 Cho phương trình F(x, y) = 0,

trong đó F có các đạo hàm riêng liên tục trong một tập mở U  R 2 Nếu tại (x 0 , y 0 ) 

U, F(x 0 , y 0 ) = 0 và F y '(x 0 , y 0 )  0, thì trong một lân cận nào đó của x 0 , phương trình (1.2.1) xác định duy nhất một hàm ẩn y = f(x), liên tục cùng với đạo hàm cấp một trong lân cận nói trên, và f(x 0 ) = y 0

Định lý 1.2.4 Cho phương trình F(x, y, z) = 0,

trong đó F có các đạo hàm riêng liên tục trong một tập mở U  R 3

Nếu tại (x 0 , y 0, z 0 )  U, F(x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 và F z '(x 0 , y 0 , z 0 )  0, thì trong một lân cận nào

đó của (x 0 , y 0 ) phương trình (1.2.2) xác định duy nhất một hàm ẩn z = f(x, y), liên tục cùng với các đạo hàm riêng trong lân cận nói trên, và z 0 = f(x 0 , y 0 ).

(1.2.1)

(1.2.2)

Định lý 1.2.5 Cho hệ hai phương trình  





F( x, y,z,u,v ) 0 G( x, y,z,u,v ) 0

trong đó F và G là hai hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trong một tập mở U 

R 5

Nếu tại (x 0 , y 0, z 0 , u 0 , v 0 )  U, F(x 0 , y 0, z 0 , u 0 , v 0 ), G(x 0 , y 0, z 0 , u 0 , v 0 ) và định thức Jacobi

 0

F ' F ' D( F ,G )

G ' G ' D( u,v )

thì trong một lân cận nào đó của (x 0 , y 0 , z 0 ) phương trình (1.2.3) xác định duy nhất một cặp hàm ẩn u = f(x, y, z), v = g(x, y, z) liên tục cùng với các đạo hàm riêng trong lân cận nói trên, và u 0 = f(x 0 , y 0 , z 0 ), v 0 = g(x 0 , y 0 , z 0 ).

b) Đạo hàm hàm ẩn

 Giả sử các điều kiện trong Định lý 1.2.3 được thoả mãn Khi đó phương trình (1.2.1) xác định duy nhất một hàm ẩn y = f(x), liên tục cùng với các đạo hàm trong một khoảng nào đó, và trong khoảng đó ta có F(x, f(x) = 0 Lấy đạo hàm hai vế theo x, ta được

(1.2.3)

Vì Fz'  0 z, nên phương trình trên xác định một hàm ẩn z = f(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng z 'x 2x yz 2, z 'y z x 2



1.2.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao

a) Đạo hàm riêng cấp cao

Cho hàm z = f(x, y) và các đạo hàm riêng (partial derivative) cấp một fx', fy' Ta gọi đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một (nếu tồn tại) là đạo hàm riêng cấp hai, và ký hiệu như sau:

Vi phân của vi phân cấp hai là vi phân cấp ba, vv

Giả sử x và y là những biến độc lập, khi ấy dx = x, dy = y, đó là những hằng

số không phụ thuộc x, y Giả sử d2z tồn tại, ta có

Hàm f(x1, x2, , xn) được gọi là thuần nhất bậc k nếu









1.2.7 Đạo hàm theo hướng và gradien.

Cho u = u(x, y, z) xác định trong D  R3

Qua điểm M0(x0, y0, z0) D, vẽ một đường thẳng định hướng có véc tơ đơn vị

là l

Khi đó, M(x, y, z) D, đặt  = |MM0 | = 2 2 2

(x x )   (y y ) +(z z )  

Nếu   0 (tức M  M0 theo hướng ) mà l u u(M) u(M )  0  A (hữu hạn),

Định lý 1.2.7 Nếu hàm số u = u(x, y, z) khả vi tại M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) thì tại điểm đó nó

có đạo hàm theo mọi hướng , và ta có l

Chứng minh Vì u(x, y, z) khả vi tại M0 nên

u = u(M) – u(M0) = u(M ) 0 u(M ) 0 u(M ) 0 + (),

trong đó () là vô cùng bé bậc cao hơn so với 

Vì x = cos, y = cos, z = cos nên

Chuyển qua giới hạn, ta nhận được điều cần chứng minh

Građiên (gradient): Ta gọi građiên của u(x, y, z) tại M0, ký hiệu grad u(M ) 0 , là véc tơ

với   i, j, k tương ứng là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz

Định lý 1.2.8 Nếu u(x, y, z) khả vi tại M 0 thì  ( 0) ( 0).

Chứng minh Vì = cosl  + cos + cosi j  k, nên viết lại công thức trong Định lý 1.2.7

nhất bằng |grad u(M ) 0 |, khi đồng phương với l grad u

Vì thế grad u(M ) 0 cho biết phương mà theo đó tốc độ biến thiên của u tại M0 có trị tuyệt đối cực đại

Ví dụ 1.2.10 Cho u = x3 + y3 + z3 Tính grad u và  tại M0(1, 2, – 1), M1(2, 0, 1),



u l

với là véc tơ đơn vị của l M M0 1 Ta có ux = 3x2 + 3yz, uy = 3y2 + 3xz, uz = 3z2 + 3xy

= 3(x2 + yz) + 3(y2 + xz) + 3(z2 + xy)  (M0) = 3( – + 3

2 3(M0) = ( – 3) + 9(– ) + 9 = – 1





u l

1 3

2 3

2 3

1.3 Cực trị của hàm số nhiều biến số

1.3.1 Cực trị không điều kiện của hàm số nhiều biến số

Cho z = f(x, y) xác định trong D  R2 và U(M0) là một lân cận nào đó của

M0(x0, y0) D

Ta nói,

 hàm f đạt cực đại tại M0 nếu f(M) < f(M0) với mọi M U(M0)

 hàm f đạt cực tiểu tại M0 nếu f(M) > f(M0) với mọi M U(M0)

Định lý 1.3.1 (điều kiện cần của cực trị) Tại điểm cực trị M 0 , nếu các đạo hàm riêng cấp một của hàm z = f(x, y) tồn tại thì chúng bằng 0, tức f x ’ = f y ’ = 0 tại M 0

Ta gọi điểm tới hạn của hàm f là những điểm mà tại đó, hoặc không tồn tại các đạo hàm riêng, hoặc chúng tồn tại và bằng 0

Định lý 1.3.2 (dấu hiệu của cực trị)

Giả sử z = f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và tại đó f x ' = f y ' = 0 Đặt = (f xy ”) 2 – f xx ”f yy ”, khi đó,

 Nếu  < 0 thì tại M 0 , hàm f đạt cực tiểu nếu f xx ” > 0, đạt cực đại nếu f xx ” < 0.

 Nếu  > 0 thì f không đạt cực trị tại M 0

 Nếu  = 0 thì tại M 0 , hàm f có thể đạt cực trị hoặc không

Như vậy, trong trường hợp  = 0, ta phải xét chi tiết hơn Cụ thể, ta cho x và y những số gia x và y đủ nhỏ rồi xét dấu của f Nếu f < 0 thì M0 là điểm cực đại, nếu f > 0 thì M0 là điểm cực tiểu, nếu f không xác định dấu thì M0 không là điểm cực trị

Ví dụ 1.3.1 Tìm cực trị của hàm u = e(x2y )2 (x 2  y ) 2

ux' = e(x2y )2 2x(1 x  2  y ) 2 , uy' = e(x2y )2 2y(1 x  2  y ) 2

Các điểm tới hạn là M0(0, 0), M1(0, –1), M2(0, 1), M3(–1, 0), M4(1, 0) và tập các điểm thuộc đường tròn C có phương trình x2 + y2 = 1

Nhận thấy rằng các điểm M1, M2, M3 và M4 cũng thuộc đường tròn trên

Ta tính các đạo hàm riêng cấp hai:

uxy" = 2e(x2y )2 2xy(2 x 2y ) 2 ,

uxx" = 2e(x2y )2 2x (1 x 2  2y ) 1 3x 2   2y 2 ,

uyy" = 2e(x2y )2 2y (1 x 2  2y ) 1 x 2   23y 2 ,

Tại M0:  = –4 < 0 và uxx” = 2 > 0, nên M0 là điểm cực tiểu, u(M0) = 0

Tại M1, M2, M3 và M4:  = 0, nên phải xét chi tiết hơn

Tại M1: cho (0, –1) số gia (h, k), khi đó u = eh2 (k 1)2h 2(k 1) 2 e1

Xét hàm f(t) = tettrong lân cận của t0 = 1

Ta có f ' =e (1 t)t  nên f(t) đạt cực đại tại t0 =

1, do đó u  0, tức M1 là điểm cực đại

Làm tương tự, ta cũng nhận được M2, M3 và

M4 là các điểm cực đại Giá trị cực đại của u tại

các điểm này đều bằnge1

Tại các điểm thuộc đường tròn C ta có u =

, tức hàm u đạt cực đại tại các điểm thuộc C

1

e

1.3.2 Cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số

Ta gọi cực trị của hàm z = f(x, y) với x và y bị ràng buộc bởi g(x, y) = 0 là cực trị

có điều kiện

Định lý 1.3.3 (điều kiện cần của cực trị cho hàm hai biến)

Giả sử z = f(x, y) đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y 0 ) với điều kiện g(x, y) = 0 Thêm vào đó,

 Các hàm số f(x, y) và g(x, y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân cận M 0 ,

 Tại M 0 , các đạo hàm riêng g x ', g y ' không đồng thời bằng 0.

Ví dụ 1.3.2 Tìm cực trị của z = x2 + y2 với điều kiện ax + by + c = 0

Vì fx ' = 2x, fy' = 2y, gx' = a, gy' = b, từ (1.3.1) suy ra bx = ay, vậy ta có hệ

Bài toán này chỉ có một cực tiểu, không có cực

đại, nên M0 chính là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu

là 2c2 2

a  b

Định lý 1.3.4 (điều kiện cần của cực trị cho hàm ba biến)

Giả sử z = f(x, y) đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) với điều kiện g(x, y, z) = 0 Thêm vào đó,

 Các hàm số f(x, y, z) và g(x, y, z) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân cận M 0 ,

 Tại M 0 , các đạo hàm riêng g x ', g y ', g z ’ không đồng thời bằng 0.



c b



O

M 0

(1.3.1)

Để xét xem M1 có là điểm cực trị không, ta cho x, y, z những số gia tương ứng là

x, y, z đủ nhỏ và xét dấu của số gia u,

Phương pháp nhân tử Lagrange

Điều kiện x y trong Định lý 1.3.3 chính là điều kiện cần và đủ để hệ

f '

f '

g '  g 'phương trình

có nghiệm không tầm thường (1, )

Hệ này kết hợp với phương trình g(x, y) = 0 đẫn đến bài toán, ta gọi là phương pháp nhân tử Lagrange: Tìm cực trị của hàm F(x, y, ) = f(x, y) + g(x, y)

Phương pháp nhân tử Lagrange cho hàm hai biến

Tìm , x0, y0 thoả mãn hệ ba phương trình

Phương pháp nhân tử Lagrange cho hàm ba biến

Trường hợp có một ràng buộc: Tìm , x0, y0, z0 thoả mãn hệ bốn phương trình

M1(–a, 0, 0), M2(a, 0, 0), (đều có  = –a2), u(M1) = u(M2) = a2.

M3(0, –b, 0), M4(0, b, 0), (đều có  = –b2), u(M3) = u(M4) = b2

M5(0, 0, –c), M6(0, 0, c), (đều có  = –c2), u(M5) = u(M6) = c2

Tương tự như Ví dụ 1.3.4, với các số gia đủ nhỏ h, k và l thì dấu của F phụ thuộc vào dấu của biểu thức A(h, k, l) = h2Fxx” + k2Fyy” + l2Fzz” + hkFxy” + klFyz” + hlFxz”

Mọi hàm nhiều biến liên tục trong miền đóng bị chặn đều đạt max và min trong miền đó Nếu đạt tại điểm trong của miền thì đó phải là điểm tới hạn Tuy nhiên hàm có thể đạt max hoặc min trên biên của miền Do đó, chúng ta phải so sánh giá trị của hàm tại các điểm tới hạn và tại biên.

Ví dụ 1.3.6 Tìm max và min của z = 8x2 + 3y2 + 1 – (2x2 + y2 + 1)2 trong miền D = {x2 + y2  1}

1 2

1 2Các điểm này đều là điểm trong của D, các giá trị tương ứng của hàm là

z(T1) = 0, z(T2) = z(T3) = , z(T1 4) = z(T5) = 1

4Phương trình biên của D là x2 + y2 = 1  y2 = 1 – x2, do đó z = – x4 + x2 = x2(1 – x2)

Trên [–1, 1], đạt giá trị lớn nhất khi x2 = 1 – x2, tức x = 1 , và nhỏ nhất tại x = 0

2

hoặc x = 1

z xe , x cos t, y e    z x 1 y , x te , y e   2  2t  t

Bài 1.8 Tính đạo hàm theo hướng của các hàm số sau

1 u = xy2z3 tại M0(1, 2, –1) theo hướng M M0 1với M1(0, 4, –3)

2 u = x2 – xy + y2 tại M(1, 1) theo hướng v 6i 8j   

3 u = ln(x2 + y2) tại M(3, 4) theo hướng gradu

Bài 1.9 Tìm cực trị của các hàm số sau

1 u = 4(x – y) – x2 – y2, 2 u = x2 + xy + y2 + x – y + 1,

3 u = x + y – xey, 4 u = 2x4 + y4 – x2 – 2y2,

Bài 1.10 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau

1 u = xy với điều kiện x + y = 1,

2 u = x + y + z với điều kiện 1 1 1 1

5.1 )

x

y

O

bax

y

O

2 f (x, y) 2xy2 3 Giả sử k là hằng số nào đó sao cho = k, khi đó

3 f (x, y) 2xy2 4 Giả sử k là hằng số nào đó sao cho = k, khi đó

y 2k

Nếu chọn hai hằng số k khác nhau thì khi (x, y) → (0, 0) theo đường cong trên,

ta có f(x, y) dần đến hai giới hạn khác nhau

Vì vậy f(x, y) không có giới hạn khi (x, y) → (0, 0)

x y

xt 1

t 1



Nếu (x, y) → (0, 0) sao cho t → 1 thì f(x, y) → 1, vậy chọn y = x

2

Nếu (x, y) → (0, 0) sao cho t → 0 thì f(x, y) → –1, vậy chọn x = y2

Nghĩa là f(x, y) không có giới hạn khi (x, y) → (0, 0)

u y y

1 y y

a) u → k với k hữu hạn và khác 0: do mẫu số của (1) có giới hạn k2 – k + 1  0 nên giới hạn của vế phải của (1) bằng 0 khi  +  – 2 > 0, bằng vô cùng khi  +  –

2 < 0, và phụ thuộc k khi  +  – 2 = 0 Vậy điều kiện cần là  +  – 2 > 0

b) u → 0: do u y2 2 = nên nếu  < 0, cho (x, y) → 0 dọc theo đường

 

 

2 2

x y

 

 cong y x 2( 2) Khi đó u = = → 0 và = dần tới vô

x (u u 1)



 cùng

Vậy ta phải có   0

c) u → : khi đó v → 0 Lập luận tương tự với (2) ta có   0

Tóm lại, giới hạn chỉ tồn tại khi   0,   0 và  +  > 2

Với (x, y)  (0, 0), các đạo hàm riêng đều tồn tại và liên tục Ta xét tại (x, y) = (0, 0).

2

x 2

Tương tự ta có f '(0,0) 0y  Vậy các đạo hàm riêng tồn tại trên toàn R2

Xét sự liên tục tại (0, 0) của các đạo hàm riêng:

Với (x, y)  (0, 0): f '(x, y) 2x(sinx 21 2 2 1 2 cos 21 2)

Với (x, y)  (0, 0), các đạo hàm riêng đều tồn tại và liên tục,

Ta xét xem chúng có liên tục tại (0, 0) hay không.

Dọc theo đường y = kx với k là hằng số tuỳ ý, ta có

Vậy f(x, y) liên tục trên toàn R2

Với x  0, các đạo hàm riêng đều tồn tại và liên tục,

Xét f '(x, y) f '(0, y)y y 2x y4 3 4  2g(x, y)



Với y = 0, g(x, 0) = 0 Với y  0, xét y = kx, khi đó g(x, kx) = 4k3

Với (x, y)  (0, 0), các đạo hàm riêng cùng tồn tại và liên tục,

1 a

a x+y 1

x 0 1

M6(– , 1) ), M1 7( , 0), M8( , –1), M9( , 1) 2

1 2

1 2

1 2

uxx" = 24x2 – 2, uyy" = 12y2 – 4, uxy" = 0 –8(12x2 – 1)(3y2 – 1)

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9

Vậy hàm đạt cực đại tại M1, đạt cực tiểu tại M5, M6, M8 và M9

u(M1) = 0, u(M5) = u(M6) = u(M8) = u(M9) = 9

8



3

2 z

Tương tự, hàm cũng không đạt cực trị tại M3 và M4.

e

b e

a e b e

Ch-¬ng 2. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

 Yêu cầu cơ bản đối với người học

­ Hiểu được các khái niệm liên quan đến các đường cong và mặt cong: Tiếp

tuyến, pháp tuyến, tiếp diện, pháp diện, độ cong, đường tròn chính khúc, khúc tâm, khúc bán kính, đường túc bế, đường thân khai, hình bao của họ đường cong.

­ Viết được phương trình của các đường, các mặt liên quan tới các khái niệm

trên.

2.1 Ứng dụng trong hình học phẳng

2.1.1 Tiếp tuyến của đường cong

Cho đường cong L được mô tả bởi phương trình F(x, y) = 0 Nếu Fx'(x0, y0) và

Fy'(x0, y0) không đồng thời bằng 0 thì điểm M0(x0, y0) L được gọi là điểm chính quy, trái lại gọi là điểm kỳ dị

Giả sử M0 là điểm chính quy của L và giả sử Fy'(x0, y0)  0 Theo định lý về hàm ẩn, phương trình F(x, y) = 0 xác định một hàm y = y(x) thoả mãn y(x0) = y0, khả vi trong lân cận nào đó của x0, và trong lân cận đó F(x, y(x)) = 0 Lấy đạo hàm hai vế theo x tại x0, ta được

Ví dụ 2.1.1 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường ellipse

tại điểm M0(x0, y0) thuộc ellipse

0 2

2y bPhương trình tiếp tuyến tại M0:

Ví dụ 2.1.2 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường hyperbola

tại điểm M0(x0, y0) thuộc hyperbola

0 2

2y b

Phương trình tiếp tuyến tại M0:

Ví dụ 2.1.3 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường thẳng ax + by +

c = 0 tại điểm M0(x0, y0) thuộc đường thẳng đó

Đặt F(x, y) = ax + by + c Khi đó Fx'(M0) = a, Fy'(M0) = b

Phương trình tiếp tuyến tại M0: (x – x0)a + (y – y0)b = 0  ax + by + c = 0

Véc tơ pháp tuyến tại M0 là n(M ) 0  a, b nên phương trình pháp tuyến tại M0 là

M'L



Trên L chọn một chiều làm chiều dương Trên tiếp tuyến của L tại M, chọn một

hướng ứng với chiều dương của L và gọi là tiếp tuyến dương

Định nghĩa 2.1.1 Cho MT và M’T’ tương ứng là hai tiếp tuyến

dương của L tại M và M’ Ta gọi độ cong trung bình của cung

Công thức tính

 Đường cong được cho bởi y = f(x)

Giả sử phương trình đường cong L là y = f(x) Kẻ các tiếp tuyến của L tại M và M' có các hoành độ tương ứng là x và x + x Gọi góc nghiêng của chúng với Ox là

 và  +  Khi M' di chuyển trên L tới M, tiếp tuyến dương quay một góc –  Đặt s = MM ' A với s là hoành độ cong, khi đó

s 0

d lim

 Đường cong được cho bởi phương trình tham số

Nếu đường cong L được cho bởi phương trình x = x(t), y = y(t), thì

T’

TM

 Đường cong được cho bởi phương trình trong toạ độ cực

Nếu đường cong L được cho bởi phương trình r = f(), ta viết x = f()cos, y = f()sin và xem đó là phương trình tham số của  Ta có

x' = r'cos – rsin, y' = r'sin + rcos,

x” = r”cos – 2r'sin – rcos, y” = r”sin + 2r'cos – rsin

Ví dụ 2.1.7 Tính độ cong của đường Cycloid x = a(t – sint), y = a(1 – cost).

Ta có x' = a(1 – cost), y' = a.sint, x" = a.sint, y" = a.cost C =

Vậy độ cong chỉ xác định tại t  2k

Ví dụ 2.1.8 Tính độ cong của đường r = aeb (a > 0, b > 0)

Tại mỗi điểm của đường cong L, vẽ đường pháp tuyến hướng

về phía lõm của L và trên đó lấy điểm I sao cho MI = 1/C(M)

Đường tròn tâm I bán kính R = MI được gọi là đường tròn chính

khúc của L tại M Nó tiếp xúc và có cùng độ cong C(M) với L tại

M Tâm của đường tròn chính khúc được gọi là khúc tâm ứng với M, bán kính của

nó được gọi là khúc bán kính Tại lân cận của điểm M, xấp xỉ L bởi đường tròn chính khúc tốt hơn xấp xỉ bởi tiếp tuyến

I

ML

R

Ta xác định toạ độ X, Y của khúc tâm I ứng với điểm M(x, y) L

Giả sử phương trình của L là y = f(x) Pháp tuyến của L tại M có phương trình là

, với  và  là toạ độ các điểm chạy trên pháp tuyến ấy

2.1.4 Đường túc bế và đường thân khai

Định nghĩa 2.1.3 Quỹ tích (nếu có) của các khúc tâm của đường cong được gọi là

đường túc bế của đường cong đó.

Ví dụ 2.1.9 Tìm đường túc bế của parabola y2 = 2px (p >0)

Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được 2yy' = 2p, nên

Ta có x' = – asint, y' = bcost, x" = – acost, y" = – bsint,

nên R 1 (a sin t b cos t)2 2 2 2 3/2 ,

Đây là phương trình đường astroid lệch

Định nghĩa 2.1.4 Nếu  là túc bế của đường cong L thì L được gọi là thân khai của .

Tính chất:

1 Pháp tuyến tại mỗi điểm M(x, y) của đường L chính là tiếp

tuyến của đường túc bế  của L tại khúc tâm I ứng với M.

2 Độ dài của một cung trên đường  bằng trị tuyệt đối của hiệu

các khúc bán kính của đường thân khai L tại hai mút của cung ấy, nếu dọc theo cung ấy khúc bán kính biến thiên đơn điệu.

Từ đó suy ra rằng, đường thân khai của L chính là quỹ tích của một điểm A trên nửa đường thẳng MA tiếp xúc với L tại M khi nửa đường thẳng này lăn không trượt trên L

2.1.5 Hình bao của một họ đường cong

Cho một họ đường cong L phụ thuộc một hay nhiều tham số Nếu mọi đường của họ L đều tiếp xúc với một đường cong E và ngược lại, tại mỗi điểm của E đều

có một đường cong của họ L tiếp xúc với nó tại điểm ấy, thì E được gọi là hình bao của họ L

Quy tắc tìm hình bao của một họ đường cong phụ thuộc tham số

Định lý 2.1.1 Cho họ đường F(x, y, c) = 0 phụ thuộc tham số c Nếu các đường

của nó không có điểm kì dị (tức là các đạo hàm riêng theo x và theo y không đồng thời bằng 0) thì phương trình của hình bao được xác định bằng cách khử c từ hai phương trình

Chú ý: Nếu các đường F(x, y, c) = 0 có điểm kì dị thì hệ trên bao gồm cả phương

trình hình bao E và quỹ tích các điểm kì dị

Ví dụ 2.1.11 Tìm hình bao của họ đường tròn (x – c)2 + y2 = R2

Ta có F(x, y, c) = (x – c)2 + y2 – R2, Fc' = 0  –2(x – c) = 0  c = x

Khử c từ F(x, y, c) = 0 ta nhận được phương trình hình bao y = R , hay y = R.

Ví dụ 2.1.12 Tìm hình bao của họ đường thẳng xcos + ysin – 1 = 0

Ta có F(x, y, ) = xcos + ysin – 1 = 0, F' = –xsin + ycos = 0

Cộng vế với vế sau khi bình phương hai vế các phương trình

xcos + ysin = 1 và –xsin + ycos = 0,

ta nhận được phương trình hình bao là x2 + y2 = 1

Ví dụ 2.1.13 Tìm hình bao của chùm đường thẳng đi qua gốc toạ độ y – cx = 0.

4 27bao cần tìm

Ví dụ 2.1.15 Xét họ quỹ đạo của viên đạn được bắn ra từ một khẩu pháo với vận

tốc v0 và góc bắn  Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta có phương trình chuyển động của viên đạn là

, trong đó g là gia tốc trọng trường

0 2 0

2 0

x

Đạo hàm hai vế theo c ta được 0 = 22  Thế vào ta được



2

2 0

nhất của viên đạn Hình bao ấy còn có tên là parabol an toàn

Ví dụ 2.1.16 Đường túc bế của một đường L là hình bao của họ các đường pháp

tuyến của L Vì vậy đường túc bế của L còn được gọi là đường pháp bao của L

2.2 Ứng dụng trong hình học không gian

Ta nói hàm véc tơ r(t) có giới hạn là khi t  ta 0, ký hiệu , nếu

Ta gọi đạo hàm của r(t) (nếu có) là giới hạn

khi h  0, ký hiệu hay , và ta nói khả vi