Giới thiệu tới bạn đọc cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này.
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số
MỞ ĐẦU
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2phơng pháp giải toán
hàm số
Biện soạn theo chơng trình chỉnh lý hợp nhất
hiện hành của bộ giáo dục và đào tạo
Hởng ứng lời kêu gọi đổi mới phơng pháp dạy và học
Lấy học trò làm trung tâm
Tài liệu này xin dành tặng ngời Cha kính yêu của tôi, ngời đã chịu đựng nhiều nhọc nhằn nhng không một lời ca thán, để tôi đợc cắp sách tới trờng Và cho tới hôm nay vẫn dõi theo từng bớc đi của tôi trong tâm trạng mừng lo.
Trang 3giới thiệu chung
Xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc bộ tài liệu:
phơng pháp giải Toán
trung học phổ thông
do Thạc sĩ Toán học Lê Hồng Đức chủ biên Bộ tài liệu gồm 10tập:
Tập 1. Phơng pháp giải Toán Hệ thức lợng giác
Tập 2. Phơng pháp giải Phơng trình, Bất phơng trình và Hệ Lợng giác
Tập 3. Phơng pháp giải Toán Hình học Giải tích trong Mặt phẳng
Tập 4. Phơng pháp giải Toán Hình học Giải tích trong Không gian
Tập 5. Phơng pháp giải Toán Hình học Không gian
Tập 6. Phơng pháp giải Toán Véctơ
Tập 7. Phơng pháp giải Phơng trình, Bất phơng trình và Hệ Đại số
Tập 8. Phơng pháp giải Toán Hàm số
Tập 9. Phơng pháp giải Toán Tích phân
Tập 10. Phơng pháp giải Toán Tổ hợp
Với mục đích giúp các Thày, Cô giáo giảng dạy có hiệu quả hơn và các em có
đ-ợc cái nhìn tổng quan, hiểu đđ-ợc bản chất của mỗi vấn đề đặt ra, từ đó đa ra phơng pháp giải mạch lạc phù hợp với những đòi hỏi của một bài thi, nên mỗi trong mỗi tập tài liệu tác giả sắp xếp, hệ thống các kiến thức đợc đề cập trong chơng trình Toán Trung học Phổ thông thành các Chủ đề Mỗi Chủ đề đợc chia thành ba mục:
I Kiến thức cơ bản: Gồm phơng pháp giải cho mỗi dạng toán cơ bản đợc trình bày dới dạng các bài toán và các ví dụ về giải toán
II Các bài toán chọn lọc: Gồm các bài toán đợc tuyển chọn có chọn lọc từ các bài tập trong cuốn Bộ đề thi tuyển sinh môn Toán và từ các Đề thi tuyển sinh môn Toán vào các trờng Đại học kể từ năm 1994 tới nay
III Bài tập đề nghị
Nh vậy ở mỗi chủ đề:
1 Với việc trình bày dới dạng các bài toán cơ bản, cũng ví dụ minh hoạ ngay sau đó, sẽ giúp tăng chất lợng bài giảng cho các Thày, Cô giáo và với các em học sinh sẽ hiểu và biết cách trình bày bài
2 Tiếp đó tới các bài toán chọn lọc đợc lấy ra từ các đề thi vào các trờng Đại học, sẽ giúp các Thày, Cô giáo dẫn dắt các em học sinh tiếp cận nhanh chóng với những đòi hỏi của thực tế
3 Đặc biệt là nội dung của các chú ý sau một vài ví dụ hoặc bài toán chọn lọc
sẽ giúp các Thày, Cô giáo củng cố những hiểu biết cha thật thấu đáo, cùng với cách nhìn nhận vấn đề đặt ra cho các em học sinh, để trả lời một cách thoả đáng câu hỏi " Tại sao lại nghĩ và làm nh vậy ? "
4 Ngoài ra có rất nhiều bài toán đợc giải bằng nhiều cách khác nhau sẽ giúp các học sinh trở lên linh hoạt trong việc lựa chọn phơng pháp giải
Bộ tài liệu đợc viết trên một t tởng hoàn toàn mới mẻ, có tính s phạm, có tính tổng hợp cao, giải quyết tơng đối triệt để các vấn đề của toán học sơ cấp Bộ tài liệu này chắc chắn phù hợp với nhiều đối tợng bạn đọc từ các Thày, Cô giáo đến các em
Trang 4Học sinh lớp 10, 11, 12 và các em chuẩn bị dự thi môn Toán Tốt nghiệp PTTH hoặc vào các Trờng Đại học
Cuốn Phơng pháp giải Toán hàm số đợc chia thành 7 phần:
Phần I. Mở đầu về hàm số
Phần II. Giới hạn của hàm số
Phần III. Hàm số liên tục
Phần IV. Đạo hàm
Phần V. ứng dụng của đạo hàm
Phần VI. Khoả sát và vẽ đồ thị hàm số
Phần VII. Các bài toán liên quan đếnđồ thị hàm số
bao gồm 27 chủ đề, miêu tả chi tiết phơng pháp giải cho 60 dạng toán tích phân th-ờng gặp Và để giúp bạn đọc tiện tra cứu, tác giả mạnh dạn thay đổi cách trình bày phần mục lục so với lề thói cũ bằng việc liệt kê các bài toán thay cho đầu mục Tác giả xin bày tỏ tại đây lời cảm ơn đến ngời em trai của tôi Lê Hữu Trí và ngời học trò của mình là Lê Bích Ngọc đã vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản
thảo cùng với việc cộng tác viết một vài phần trong cuốn " Phơng pháp giải Toán
Tích phân " Xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ động viên tinh thần của những ngời Thày mà tác giả hằng kính trọng, gồm: GS.TS Trần Mạnh Tuấn nguyên Phó Giám Đốc Trung Tâm KHTN & CNQG, Nhà Giáo u tú Đào Thiện Khải nguyên Hiệu Trởng Trờng PTTH Hà Nội - Amsterdam, PGS.TSKH Đinh Quang Lu, GS.TSKH Nguyễn Văn Thu và ngời Thày thủa thiếu thời của tôi Bác Ngô Lâm Cuối cùng, cho dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo một lợng rất lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa mang đi giảng dạy ngay cho các học sinh của mình từ
đó kiểm nghiệm và bổ xung thiếu sót, cùng với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến của các bạn đồng nghiệp để hoàn thiện bộ tài liệu này, nhng thật khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, tác giả rất mong nhận
đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa
Mọi ý kiến xin liên hệ trực tiếp hoặc gửi về theo địa chỉ:
Nhóm tác giả Cự Môn
Số 20 - Ngõ 86 - Đờng Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hồ - Hà Nội
Điện thoại: (04) 7196671
E-mail: cumon@hn.vnn.vn hoặc lehongduc39@yahoo.com
Website: www.toanpt.cumon.edu (sẽ khai trơng vào ngày 31/10/2004)
Hà nội, ngày 1 tháng 1 năm 2003
Lê Hồng Đức
Trang 5Mục lục
giới thiệu chung
Phần I
các bài toán mở đầu về hàm số
Chủ đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
Bài toán 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bài toán 2. Tìm tập giá trị của hàm số
Chủ đề 2 ứng dụng tập giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất
của hàm số và chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 1. ứng dụng tập giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số
Bài toán 2. ứng dụng tập giá trị của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
Chủ đề 3. Hàm số hợp và Hàm số tuần hoàn
Bài toán 1. Tìm hàm số thoả mãn điều kiện cho trớc
Bài toán 2. Chứng minh hàm số tuần hoàn
Chủ đề 4. Hàm số lẻ - Tâm đối xứng của đồ thị
Bài toán 1. CMR đồ thị hàm số y=f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y=f(x) nhận
điểm I(a, b) làm tâm đối xứng
Bài toán 3. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y=f(x) đối xứng
qua điểm I(a, b)
Bài toán 4. Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với (C): y=f(x)
qua điểm I.(x0, y0)
Chủ đề 5. Hàm số chẵn - Trục đối xứng của đồ thị
Bài toán 1. CMR đồ thị hàm số y=f(x) nhận đờng thẳng x=a làm
trục đối xứng
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y=f(x) nhận
đờng thẳng x=a làm trục đối xứng
Bài toán 3. CMR đờng thẳng (d): y=ax+b là trục đối xứng của
đồ thị hàm số y=f(x)
Bài toán 4. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y=f(x) đối xứng
qua đờng thẳng (d) có phơng trình: y=ax+b
Bài toán 5. Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với (C): y=f(x)
qua đờng thẳng y=a
Phần II
giới hạn của hàm số
Mở đầu
Chủ đề 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
Bài toán 1. Chứng minh lim ( x )
0 x
x → =a bằng định nghĩa
Bài toán 2. Chứng minh lim ( x )
x → ∞ =a bằng định nghĩa
Bài toán 3. Chứng minh
0 x
x ( x )
lim
→ =∞ bằng định nghĩa
Bài toán 4. Chứng minh rằng
0 x
xlim
→ f(x) không tồn tại
Trang 6Bài toán 5. Sử dụng nguyên lý kẹp giữa tìm giới hạn của hàm số
Bài toán 6. Giới hạn một phía của hàm số
Chủ đề 2. Các dạng giới hạn của hàm số
Bài toán 1. Tính giới hạn dạng 0/0
Bài toán 2. Phơng pháp gọi số hạng vắng
Bài toán 3. Tìm giới hạn của hàm số sử dụng các dạng giới hạn đặc biệt
Bài toán 4. Sử dụng quy tắc Lôpitan tìm giới hạn dạng 0/0
Bài toán 5. Tính giới hạn dạng ∞/∞
Bài toán 6. Sử dụng quy tắc Lôpitan tìm giới hạn dạng ∞/∞
Bài toán 7. Tính giới hạn dạng 0.∞; ∞-∞; 1∞; ∞0
Bài toán 8. Cho hàm số f(x)=u(x)v(x) với v(x)>0 ở lân cận x0, cần
xác định
0 x
xlim
→ f(x) trong trờng hợp giới hạn có dạng vô định
Phần III
hàm số liên tục
Mở đầu
Chủ đề 1. Hàm số liên tục
Bài toán 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x)=
=
≠
0 2
0
1
x x khi )x (f
x x khi )x
(f
tại điểm x0
Bài toán 2. Xét tính liên tục của hàm số f(x)=
≥
<
0 2
0
1
x x khi )x (f
x x khi )x
(f
tại điểm x0
Bài toán 3. Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng I
Chủ đề 2 ứng dụng tính liên tục của hàm số
Phần IV
Đạo hàm
Mở đầu
Chủ đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bài toán 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xO bằng định nghĩa
Bài toán 2. Đạo hàm của hàm cho bởi nhiều hàm số trên mỗi khoảng
Bài toán 3. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a, b),
bằng định nghĩa
Bài toán 4. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b],
bằng định nghĩa
Chủ đề 2. Các qui tắc tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
Bài toán 1. Tính đạo hàm của hàm số y= logu(x)[ v ( x )]
Bài toán 2. Tính đạo hàm của hàm số y=|f(x)|
Bài toán 3. Tính đạo hàm của hàm số y=u(x)v(x)
Chủ đề 3. Đạo hàm cấp cao
Trang 7Chủ đề 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức
Bài toán 1. CMR A(x)=c hằng số với ∀x∈D
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để biểu thức không phụ thuộc vào x
Chủ đề 5. Sử dụng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn của hàm số
Chủ đề 6. Định lý Lagrange và ứng dụng
Bài toán 1. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 2. Sử dụng định lí Largrange chứng minh phơng trình có nghiệm
Bài toán 3. Sử dụng định lí Largrange giải phơng trình
Phần V
ứng dụng của đạo hàm
A tính đơn điệu của hàm số
Mở đầu
Chủ đề 1. Sự biến thiên của hàm số
Chủ đề 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số
Chủ đề 3. Sự biến thiên của hàm số trên một miền
Chủ đề 4 ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
Chủ đề 5 ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phơng trình,
bất phơng trình và hệ
B cực trị của hàm số
Mở đầu
Chủ đề 1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba và các bài toán liên quan
Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số đa thức bậc ba
Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán 3. Phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu
của đồ thị hàm số
Bài toán 4. Xác định m để điểm cực trị của đồ thị hàm số
thoả mãn điều kiện K
Chủ đề 2. Cực trị của hàm đa thức bậc bốn và các bài toán liên quan
Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số đa thức bậc bốn
Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán 3. Phơng trình đờng cong đi qua điểm cực đại và cực tiểu
của đồ thị hàm số
Bài toán 4. Xác định m để điểm cực trị của đồ thị hàm số
thoả mãn điều kiện K
Chủ đề 3. Cực trị của hàm hữu tỉ và các bài toán liên quan
Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất
Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán 3. Phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và
cực tiểu của đồ thị hàm số
Bài toán 4. Xác định m để điểm cực trị của đồ thị hàm số
thoả mãn điều kiện K
Bài toán 5. Tìm cực trị của hàm hữu tỉ khômg mẫu mực
Bài toán 6. Phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và
cực tiểu của đồ thị hàm số y=
f ex dx
c bx ax 2
2
+ +
+
Chủ đề 4. Cực trị của hàm vô tỉ
Trang 8Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số vô tỉ
Bài toán 2. Tìm m để hàm số y= ax2 +bx+c có cực trị
Bài toán 3. Tìm m để hàm số y= αx+β+γ ax2 +bx+c có cực trị
Chủ đề 5. Cực trị của hàm số mũ và logarit
Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số logarit
Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Chủ đề 6. Cực trị của hàm số lợng giác
Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số lợng giác
Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Chủ đề 7. Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Chủ đề 8. Lập phơng trình Parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số
C Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Mở đầu
Chủ đề 1. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Bài toán 1. Tìm gtln, gtnn của hàm số bằng phơng pháp khảo sát trực tiếp
Bài toán 2. Tìm gtln, gtnn của hàm số trên [a, b]
Bài toán 3. Tìm gtln, gtnn của hàm số bằng phơng pháp khảo sát gián tiếp
Chủ đề 2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa tham số
Chủ đề 3. Sử dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số để giải phơng trình,
bất phơng trình và hệ
Bài toán 1. Sử dụng gtln, gtnn của hàm số để giải phơng trình
Bài toán 2. Sử dụng gtln, gtnn của hàm số để giải bất phơng trình
Bài toán 3. Sử dụng gtln, gtnn của hàm số để giải hệ
D tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị
Mở đầu
Chủ đề 1. Xét tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
Bài toán 1. Tìm điểm uốn và xét tính lồi lõm của đồ thị hàm số
Bài toán 2. CMR đồ thị hàm số y=f(x) có ba điểm uốn, và
ba điểm uốn đó cùng nằm trên một đờng thẳng
Chủ đề 2. Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số chứa tham số
Bài toán 1. Tìm điều kiện để hàm số có điểm uốn
Bài toán 2. Xác định m để hàm số lồi (hoặc lõm) trên miền I
Chủ đề 3. Sử dụng tính lồi, lõm để chứng minh bất đẳng thức
E Các đờng tiệm cận của đồ thị
Mở đầu
Chủ đề 1. Các đờng tiệm cận của đồ thị hàm phân thức hữu tỉ
Bài toán 1. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y=
e dx
c bx
ax2
+
+ +
Bài toán 2. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y= u v ( ( x x ) )
Trang 9Chủ đề 2. Các đờng tiệm cận của đồ thị hàm vô tỉ.
Bài toán 1. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số
y= Ax2+Bx+C (A>0)
Bài toán 2. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỉ
Chủ đề 3. Các đờng tiệm cận của đồ thị hàm siêu việt
Phần VI
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Mở đầu
Chủ đề 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức bậc hai
Chủ đề 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức bậc ba
Chủ đề 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức bậc bốn
Chủ đề 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất
Chủ đề 5. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất
Chủ đề 6. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ khác
Chủ đề 7. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm vô tỉ
Chủ đề 8. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ và Logarit
Chủ đề 9. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lợng giác
Phần VII
các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số
A các phép biến đổi đồ thị
Chủ đề 1. Các phép biến đổi đồ thi cơ bản
Bài toán 1. Đồ thị y=-f(x)
Bài toán 2. Đồ thị y=f(-x)
Bài toán 3. Đồ thị y=-f(-x)
Bài toán 4. Đồ thị y=f(x+a)
Bài toán 5. Đồ thị y=f(x)+b
Bài toán 6. Đồ thị y=f(x+a)+b và phơng pháp tìm vectơ tịnh tiến v(a, b)
Bài toán 7. Bài toán tổng quát
Chủ đề 2. Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối
Bài toán 1. Đồ thị y=|f(x)|
Bài toán 2. Đồ thị y=f(|x|)
Bài toán 3. Đồ thị y=|f(|x|)|
Bài toán 4. Đồ thị y=|u(x)|.v(x)
Bài toán 5. Đồ thị |y|=f(x)
Chủ đề 3 ứng dụng của đồ thị
Bài toán 1. ứng dụng của đồ thị giải phơng trình
Bài toán 2. ứng dụng của đồ thị xét các loại hệ
Bài toán 3. ứng dụng của đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất của
tập hợp các giá trị lớn nhất của hàm số
B tiếp tuyến của đồ thị
Chủ đề 1. Lập phơng trình tiếp tuyến biết tiếp điểm
Trang 10Bài toán 1. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(x0, y0)
Bài toán 2. Viết phơng trình tiếp tuyến tiếp xúc với với
đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
Chủ đề 2. Kỹ thuật viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm phân thức
không dùng khái niệm nghiệm kép
Chủ đề 3. Lập phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc tiếp tuyến
Bài toán 1. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết
hệ số góc của tiếp tuyến bằng k
Bài toán 2. Nếu đồ thị hàm số y= u v ( ( x x ) ) cắt Ox tại x=x0 thì
hệ số góc của tiếp tuyến tại x=x0 là k=
) x ( v
) x ( ' u
0 0
Bài toán 3. Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm đa thức bậc ba
Chủ đề 4. Lập phơng trình tiếp tuyến biết một điểm thuộc tiếp tuyến
Bài toán 1. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua A(xA, yA)
Bài toán 2. Tìm điểm A thoả mãn tính chất K để từ đó
kẻ đợc k tiếp tuyến tới đồ thị (C)
Chủ đề 5. Góc giữa hai tiếp tuyến
Chủ đề 6. Tính chất tiếp tuyến của đờng Hyperbol
C Tơng giao của hai đồ thị
Chủ đề 1. Số giao điểm của hai đồ thị
Chủ đề 2. Tính chất giao điểm của hai đồ thị
Bài toán 1. Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số
cắt nhau tại k giao điểm (phân biệt) thoả mãn tính chất K
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số (C): y=ax3+bx2+cx+d
cắt Ox tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng
Bài toán 3. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số (C): y= ax4+bx2+c
cắt Ox tại 4 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng
Chủ đề 3. Sự tiếp xúc của hai đồ thị
Chủ đề 4. Họ đồ thị tiếp xúc với đồ thị cố định
Bài toán 1. Bài toán cho dạng đồ thị cố định
Bài toán 2. Bài toán không cho dạng đồ thị cố định
D điểm liên quan đến đồ thị
Chủ đề 1. Điểm và đồ thị
Bài toán 1. Tìm điểm cố định của họ đồ thị
Bài toán 2. Tìm điểm không đi qua của họ đồ thị
Bài toán 3. Biện luận vị trí của điểm M với họ đồ thị
Bài toán 4. Các điểm cố định của họ đồ thị thẳng hàng
Bài toán 5. Tìm điểm thuộc đồ thị thoả mãn điều kiện cho trớc
Chủ đề 2. Tập hợp điểm
Chủ đề 3. Khoảng cách