Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng"

Trang 1

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONG MẶT PHẢNG

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

Trang 2

P hơng pháp toạ độ trong mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M

là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả

Đánh giá và định hớng thực hiện: Trớc tiên, các em học sinh hãy phác thảo hình vẽ

Bài toán thuộc dạng "Tìm điểm thuộc đờng thẳng thoả mãn điều kiện K" nên ta

thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số theo t để có đợc

biểu diễn toạ độ của điểm A theo t

Bớc 2: Xây dựng các mối quan hệ xung quanh giả thiết Cụ thể:

 Gọi H là hình chiếu vông góc của M trên AN, suy ra H  BD

 Dựng đờng thẳng qua H song song với CD cắt AD và BC theothứ tự tại P và Q, suy ra:

AH = HM AM 2HM 2d(M, (AN))

 Giá trị của t  Toạ độ điểm A

lời giải chi tiết: Học sinh tự vẽ hình.

Chuyển phơng trình đờng thẳng (AN) về dạng tham số:

Gọi H là giao điểm của AN và BD Kẻ đờng thẳng qua H và song song với

AB, cắt AD và BC theo thứ tự tại P và Q

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): x2 + y2 =

8 Viết phơng trình chính tắc của Elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8

và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của hình vuông

 Giải

Trang 3

Đánh giá và định hớng thực hiện: Trớc tiên, các em học sinh hãy phác thảo hình vẽ.

 Từ A  (C) suy ra đợc toạ độ của A

 Từ A  (E) suy ra đợc giá trị của b

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với định hớng:

 Sử dụng phơng trình tổng quát của đờng tròn là:

(C): x2 + y2  2ax  2bx + c = 0, điều kiện a2 + b2  c > 0

ta cần tìm đợc a, b, c dựa trên các giả thiết Cụ thể:

- Phơng trình đờng thẳng (AB) chính là trục đẳng phơng của hai đờng tròn(C) và (C1) Từ đó, suy ra toạ độ vecto AB(b; a). 

- Vì (AB) vuông góc với (d) ta nhận đợc phơng trình (1)

Trang 4

lời giải chi tiết: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Giải sử đờng tròn (C) có phơng trình:

(C): x2 + y2  2ax  2bx + c = 0, điều kiện a2 + b2  c > 0

(C) cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A, B nên (AB) có phơng trình:

(AB): 2ax + 2bx + c = 4  AB(b;  a).

Cách 2: Giải sử đờng tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.

(C) cắt (C1) (có tâm O) tại hai điểm phân biệt A, B nên:

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có

AC = 2BD và đờng tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phơng trình x2

+ y2 = 4 Viết phơng trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D củahình thoi Biết A thuộc Ox

thoả mãn điều kiện đầu bài ta sẽ có ngay a = 2b (1)

Mối quan hệ tiếp theo của a và b cần đợc xây dựng dựa vào giả thiết "Đờng tròn (C) tiếp xúc với các cạnh của hình thoi", cụ thể:

RC = d(O, AB) = Độ dài đờng cao của tam giác vuông OAB

Trang 5

 Với OA = 2OB suy ra a = 2b

 Đờng tròn (C): x2 + y2 = 4 (có tâm O, bán kính R = 2) tiếp xúc với cáccạnh của hình thoi nên:

3

  Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhậtABCD

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Phác thảo hình vẽ và gọi I là giao điểm của ACvới BD Ta thấy:

 Khai thác giả thiết về điểm M với khẳng định cần có đợc toạ độ của D và

của I, từ đó định hớng theo các cách:

Cách 1: Ta thấy:

- Muốn có D cần có toạ độ trung điểm K của AD

- KI là trung trực của AD, suy ra:

KI là trung trực của MN (với N  AC sao cho MN // AD)

Cách 2: Với hình chữ nhật ABCD thì IAD cân tại I nên:

- Từ điều kiện IADIDA ta xác định đợc vtcp của đờng thẳng (BD)

- Lập phơng trình đờng thẳng (BD) biết nó đi qua M

Trang 6

- Với (BD) ta xác định toạ độ của điểm I ((AC)  (BD) = {I}), điểm DI}), điểm D), điểm D((BD)  (AD) = {I}), điểm DD}), điểm D) và từ đó sử dụng tính chất trung điểm sẽ nhận đ-

ợc toạ độ của C và B

Cách 3: Sử dụng phơng trình tham số của (AC) (tham số a) và (AD) (tham

số b) để có đợc toạ độ biểu diễn cho D và I Từ các điều kiện:

 Giá trị của a, b  Toạ độ của D và I

Sử dụng tính chất trung điểm sẽ nhận đợc toạ độ của C và B

Cách 1: Toạ độ điểm A ((AC)  (AD) = {I}), điểm DA}), điểm D) thoả mãn hệ phơng trình:

3(MN) :

CD

I

Trang 7

2 2

1(BD) : a x b(y 1) 0, (a b 0)

1(BD) : 3b x b(y 1) 0

Trang 8

I(0; 0)  Toạ độ C(3; 1) vì I là trung điểm AC.

D(1; 3)  Toạ độ B(1; 3) vì I là trung điểm BD

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): 2x  y+ 3 = 0 Viết phơng trình đờng tròn có tâm thuộc (d), cắt trục Ox tại A và B,cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Sử dụng phơng trình tham số của đờng thẳng (d)

để có đợc toạ độ điểm I(t; 2t + 3)

Với điều kiện AB = CD, suy ra:

d(I, Ox) = d(I, Oy)  Giá trị tham số t  Toạ độ tâm I

Bán kính R của đờng tròn đợc cho bởi:

Cách 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số:

Trang 9

Vậy, tồn tại hai đờng tròn (C1) và (C2) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (): x + y + 2 = 0

và đờng tròn (C): x2 + y2  4x  2y = 0 Gọi I là tâm của đờng tròn (C), M là điểmthuộc () Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm) Tìmtoạ độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

 Giải

Bớc 3: Xác định thuộc tính của đờng tròn (C) Chuyển phơng trình đờng

thẳng () về dạng tham số theo t để có đợc biểu diễn toạ độ của điểm

M theo t

Bớc 4: Từ giả thiết MAIB có diện tích bằng 10, ta đợc:

SMAIB = 2SMAI = IA.MA  Độ dài MA  Độ dài MI

 Giá trị của t

Bớc 5: Kết luận về toạ độ của điểm M

Trang 10

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E):

2 2

1

4  1 Tìm toạ độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dơng sao cho tam giác OABcân tại O và có diện tích lớn nhất

 Giải

Bài toán thuộc dạng "Tìm điểm thuộc elíp thoả mãn điều kiện K" nên ta thực hiện

 B có hoành độ dơng và tam giác OAB cân tại O nên B(x; y)

 Với H là trung điểm AB thì:

OH.AB x 4 x

Bớc 3: Để tam giác OAB có diện tích lớn nhất bài toán đợc chuyển về việc

tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 2

Bớc 4: Kết luận về toạ độ của các điểm A và B

lời giải chi tiết: Với điểm A(x; y), 0 < x < 2 thuộc (E) thì :

Trang 11

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đờng thẳng (): x 

y  4 = 0 và (d): 2x  y  2 = 0 Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng (d) sao cho

đờng thẳng (ON) cắt đờng thẳng () tại điểm M thoả mãn OM.ON = 8

 Giải

Bớc 1: Chuyển phơng trình các đờng thẳng (d), () về dạng tham số theo a, b

để có đợc biểu diễn toạ độ của điểm N theo a và M theo b

Bớc 2: Ta lần lợt sử dụng giả thiết:

 O, M, N thẳng hàng  OM kON 

 OM.ON = 8  Giá trị của a

Bớc 3: Kết luận về toạ độ của điểm N

Chuyển phơng trình các đờng thẳng () và (d) về dạng tham số:

 Để OM.ON = 8 điều kiện là:

OM2.ON2 = 6a + 9 = 0 4  [bb2 + (b  4)2][ba2 + (2a  2)2] = 6a + 9 = 0 4

 (5t + 4 = 0 a2  8a + 4)2 = 4(a  2)2  (5t + 4 = 0 a2  8a + 4)2  4(a  2)2 = 0

 (5t + 4 = 0 a2  6a + 9 = 0 a)(5t + 4 = 0 a2  8a + 4) = 0

2 2

5a 6a 05a 10a 8 0 (vn)

Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC có đỉnh1

Trang 12

 Giải

Bài toán thuộc dạng "Tìm điểm thoả mãn điều kiện phức hợp K" nên chuyển nó

về dạng là giao điểm của hai đối tợng hình học và ở đây ta thấy A là giao điểm của

EF và AD nên thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Với nhận xét BD // EF nên ABC cân tại A, do đó:

Qua D(AD) :

Bớc 2: Để nhận đợc phơng trình đờng thẳng (AB) ta đi tìm toạ độ điểm F

dựa trên điều kiện:

 F thuộc EF nên F(t; 3)

 Với BF = BD suy ra:

BF2 = BD2  Giá trị của t  Toạ độ F

Phơng trình (AB) đợc cho bởi:

Trang 13

Khi đó, toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:

x 3 04x 3y 1 0

Bài toán thuộc dạng "Tìm điểm thoả mãn điều kiện hỗn hợp K" nên ta cần có

phân tích đúng, cụ thể:

 Với giả thiết về toạ độ của B và trọng tâm G ta sẽ có đợc toạ độ trung

điểm D của AC Khi đó, yêu cầu của bài toán đợc hớng về việc tìm toạ độ

đỉnh A

 A thuộc phân giác (d): x  y  1 = 0 nên cần thêm phơng trình đờng thẳng ABhoặc AC

 Với giả thiết về phân giác trong ta lựa chọn việc lập phơng trình đờng thẳng

AC thông qua việc xác định toạ độ điểm E đối xứng với B qua D (E  AC)

Từ đó, bài toán đợc thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Chuyển phơng trình các đờng thẳng (d), () về dạng tham số theo a, b

để có đợc biểu diễn toạ độ của điểm N theo a và M theo b

Bớc 2: Ta lần lợt sử dụng giả thiết:

 O, M, N thẳng hàng  OM kON

 OM.ON = 8  Giá trị của a

Bớc 3: Kết luận về toạ độ của điểm N

Với D(x; y) là trung điểm của AC thì B, G, D thẳng hàng và:

Trang 14

và với D là trung điểm AC suy ra C(3; 1).

Vậy, với A(4; 3) và C(3; 1) thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đờngtròn (C): x2 + y2  2x + 4y  5t + 4 = 0 = 0 Viết phơng trình đờng thẳng () cắt (C) tạihai điểm M và N sao cho AMN vuông cân tại A

Với giả thiết AMN vuông cân tại A, suy ra MN  AI nên ()  (MN): y = m

Từ đó, hoành độ của M và N là nghiệm phơng trình:

Trang 15

Ví dụ 13: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đờng thẳng (d1), (d2) cóphơng trình:

(d ) : 3x y 0, (d ) : 3x y 0.   Gọi (T) là đờng tròn tiếp xúc với (d1) tại A, cắt (d2) tại hai điểm B, C sao cho

ABC vuông tại B Viết phơng trình của (T), biết ABC có diện tích bằng3

2 và điểm A có hoành độ dơng.

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Trớc tiên, các em học sinh hãy

phác thảo hình vẽ (hình bên)

Ta lần lợt sử dụng các giả thiết:

 Vì ABC vuông tại B nên AC chính là đờng kính của

 Toạ độ của điểm C = (AC)(d2)

 Từ giả thiết ABC có diện tích bằng 3

2 , ta đợc:

AB.CB

2 2  Toạ độ của điểm A, tiếp tới điểm C.

 Cuối cùng là việc lập phơng trình đờng tròn (T) với:

Chú ý: Chúng ta cũng có thể sử dụng giả thiết về diện tích của ABC trớc để

nhận đợc toạ độ tờng minh của điểm A Từ đó, cũng với phơng pháptrên để có đợc toạ độ điểm C (cách giải này sẽ tránh đợc việc phảitìm toạ độ điểm B) Cụ thể:



BA

C

I

(d1)(d2)

O

Trang 16

 Toạ độ của điểm C = (AC)(d2).

Cuối cùng là việc lập phơng trình đờng tròn (T) với:

Trang 17

1x3

Trang 18

T I(T) :

Đó chính là phơng trình đờng tròn (C) cần tìm

Ví dụ 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC cân tại A có

đỉnh A(6a + 9 = 0 ; 6a + 9 = 0 ), đờng thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phơngtrình x + y  4 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đ-ờng cao đi qua điểm C của tam giác đã cho

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Trớc tiên, các em học sinh hãy phác thảo hình vẽ(hình bên)

Ta lần lợt sử dụng các giả thiết:

 Vì ABC cân đỉnh A nên với H là trung điểm BC thì

AH sẽ vuông góc với BC, suy ra:

Qua A(AH) :

 Tới đây, để có đợc toạ độ của B, C chúng ta sẽ tiếp tục với các bớc:

Bớc 1: Điểm B  (BC) (theo phơng trình tham số t), từ đó suy ra toạ

độ C dựa trên tính chất H là trung điểm của BC

EA

CB

NM

H

Trang 19

Bớc 2: Vì điểm E nằm trên đờng cao đi qua điểm C của ABC nên:

AB CE  AB CE 

AB.EC 0

 Giá trị tham số t  Toạ độ của B và C

lời giải chi tiết: Gọi H, I theo thứ tự là trung điểm của BC và AH, ta lần lợt có:

 Phơng trình đờng thẳng (AH) đợc cho bởi:

Qua A(AH) :

Vậy, ta đợc B(0 ; 4), C(4 ; 0) hoặc B(6a + 9 = 0 ; 2), C(2; 6a + 9 = 0 )

Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có

đỉnh C (4; 1), phân giác trong góc A có phơng trình x  y  5t + 4 = 0 = 0 Viết phơngtrình đờng thẳng BC, biết diện tích ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ d-

ơng

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Các em học sinh hãy phác

thảo hình vẽ (hình bên) để thấy đợc rằng muốn có phơng trình

đờng thẳng (BC) cách duy nhất là tìm ra đợc toạ độ của điểm

B Để thực hiện đợc mục tiêu này với đặc thù của giả thiết cho

toạ độ điểm C, đờng phân giác trong (d) của góc A và diện

tích ABC (vuông tại A):

Ta lần lợt:

 Với giả thiết cho đờng phân giác góc Â nên ta cần tạo dựng tính đối xứngbằng cách tìm toạ độ điểm C’đối xứng với C qua (d), cụ thể với C’(x; y) thì:

CC ' (d)trung điểm I của CC' thuộc (d)

EA

CB

NM

H

Trang 20

 Vì ABC vuông tại A nên A là giao điểm của (d) với đờng tròn đờng kínhCC’ Từ đó, suy ra:

 Tìm điểm B thuộc (AC’) thoả mãn (*) và kết hợp với điều kiện (d) là phângiác trong của góc Â

 Cuối cùng, lập phơng trình đờng thẳng (BC) đi qua hai B và C

 Chú ý: Tuy nhiên, với trờng hợp đặc biệt của bài toán này là đờng phân giác

trong (d) của góc A song song với đờng phân giác của góc phần t thứhai nên chúng ta có thể tối u lời giải nh sau:

 Phân giác trong của góc vuông Â có phơng trình x  y  5t + 4 = 0 = 0(song song với đờng phân giác góc phần t thứ II) nên:

AC//Ox  yA = yC  xA  A  B(4; b) và độ dài AC

 Diện tích ABC bằng S, suy ra:

 Phơng trình đờng thẳng (AC’) đợc cho bởi:

Qua A(AC') :

Trang 21

 Diện tích ABC bằng 24, suy ra:

cùng hớng,suy ra B(4; 7)

Khi đó, phơng trình đờng thẳng (BC) đợc cho bởi:

Qua B(BC) :

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Để lập đợc phơng trình đờng tròn (C) ngoại tiếptam giác ANF2 cách duy nhất là chúng ta cần tìm đợc toạ độ của điểm N Và vớibài toán này thì công việc đợc thực hiện tuần tự nh sau:

 Từ phơng trình của Elíp (E) suy ra toạ độ các tiêu điểm F1 và F2

 Lập phơng trình đờng thẳng (AF1)

 Xác định toạ độ điểm M là giao của (AF1) với (E) Từ đó, suy ra toạ độcủa điểm N

Trang 22

 Lập phơng trình đờng tròn (C) ngoại tiếp ANF2 khi biết toạ độ ba đỉnh.Tuy nhiên, nếu các em học sinh biết nhận xét rằng:

 ANF2 vuông tại A

Vậy, đờng tròn (C) ngoại tiếp tam giác ANF2 có đờng kính là F2N nên có

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Các em học sinh hãy phác thảo

hình vẽ (hình bên) để thấy đợc rằng C (với hoành độ dơng) chính

là giao điểm của đờng tròn (C) ngoại tiếp ABC và đờng thẳng

BC Từ đó, công việc của chúng ta gồm hai phần:

a Viết phơng trình đờng tròn (C), chính là đờng tròn tâm I bán kính IA.

b Viết phơng trình đờng thẳng (BC), ta thấy:

 Vì BC vuông góc với AH (A, H đã biết toạ độ) nên chúng ta có đợcphơng của đờng thẳng (BC)

 Từ đó, để có đợc phơng trình của (BC) chúng ta cần tìm một điểm mà(BC) đi qua Và với kiến thức quen thuộc trong hình học phẳng (lớp 9)thì điểm đó là trung điểm của BC hoặc là giao của BC với AH

A

H I

Tiêu đề	Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
Người hướng dẫn	Lấ Hồng Đức
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Chuyên Đề
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	1,33 MB