Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ

Bài giảng này cung cấp cho GV, HS một lượng kiến thức đầy đủ. Và với phương pháp trình bày theo các dạng toán thì việc giải một bất phương trình chứa căn thức trong đề thi đại học sẽ trở thành dễ dàng hơn.

b Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển bất phơngtrình ban đầu thành 1 bất phơng trình vớimột ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x.

c Sử dụng k ẩn phụ chuyển bất phơngtrình ban đầu thành một bất phơng trình hoặcmột hệ bất phơng trình với k ẩn phụ

Phơng pháp 3: Hàm số, bao gồm:

a Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

b Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củahàm số

Phơng pháp 4: Đồ thị

Phơng pháp 5: Điều kiện cần và đủ

Phơng pháp 6: Đánh giá

Chú ý:

1 Trong trờng hợp sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng, chúng ta có thể

bỏ qua bớc 1 để giảm thiểu độ phức tạp

2 Nếu lựa chọn phơng pháp đặt ẩn phụ thì:

a Với phơng trình không chứa tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiệnhẹp cho ẩn phụ

b Với phơng trình chứa tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.

bài toán 1

sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng

I phơng pháp

Với các dạng phơng trình cơ bản:

Dạng 1: Bất phơng trình:

) x ( < g(x)  







) x ( g ) x ( 0 0 ) x ( g

2

Dạng 2: Bất phơng trình:

) x ( > g(x) 

0 ) x ( g

0 ) x (

0 ) x ( g

2

Lu ý:

1 Trong các phép biến đổi trên ta luôn giả sử f(x) và g(x) đã có nghĩa

2 Với các bất phơng trình có chứa tham số ta thực hiện theo các bớc:

Bớc1: Đặt điều kiện (nếu cần)

Bớc2: Sử dụng các phép biến đổi tơng đơng chuyển bất phơng trình về

hệ bất phơng trình đại số, từ đó xác định nghiệm x

Bớc3: Kiểm tra điều kiện cho nghiệm x tìm đợc

Bớc4: Kết luận

II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:

) 1 x (

( 2 0 0 1 x

1

| x

|

1 x

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là tập {1}  [1, 3]

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình:

x 4

4 1

0 2 1 x

0 2 1 x

2 x 4 x 4 x

2 x x 4 4 x 2 x 2 x

4

x

0 x 2 x

VËy, nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ x  0

VÝ dô 3: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh:

x 2

m

0 m

- Víi m < m + 2  m > 1, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x < m

- Víi m  m + 2  m 1, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  m + 2

 Gi¶i biÖn luËn (II)

m 2 m x

2 m x

Khi đó nhận xét rằng hai vế bất phơng trình dơng, bình phơng hai vế, ta đợc: (m + 1)2(2x) < 1  (m + 1)2x > 2(m + 1)21

 x >

2 2 ) 1 m (

1 ) 1 m ( 2

1

 < 2

Do đó, bất phơng trình có nghiệm là: 2 2

)1m(

1

 < x  2

Tóm lại:

- Với m 1, bất phơng trình có nghiệm x  2

- Với m > 1, bất phơng trình có nghiệm là 2 2

)1m(

0 1

x 4

0 1

x 5

 x 

4

1

.(*)

Bất phơng trình tơng đơng với:

3 x + 4x 1  5x1  9x + (4x1) + 6 x ( 4 x  1 ) 5x + 1

x 5 x

0 3

x 4 x

0 2

x 3 x

2 2

Khi đó:

(1)  ( 1  x )( 2  x ) + ( 1  x )( 3  x ) 2 ( 1  x )( 4  x )Với x = 1, bất phơng trình nghiệm đúng

Chú ý:

1 Không đợc nhầm lẫn:

xy = x y Nên nhớ rằng, điều trên chỉ đúng khi x, y  0, còn với x, y < 0 thì

0 x

0x2

x411

x 4

 4x < 3 + 3 2

x 4

x 4

2

) 3 x ( ) x 1 (

9

0 3 x

0 x 1

0 3 x

1 ( 9 4 x 2

| x

| 4 x

0x2

1

Cách 2: Xét hai trờng hợp dựa trên điều kiện.

0 x 1

13

3 1 x

2

) x 1 ( x 1

0 x 1

0 x 1

0 x 1

2 x 2 3 x

2

1x3

2 Ví dụ tiếp theo minh hoạ việc sử dụng hằng đẳng thức để khử dấu căn

Ví dụ 8: Giải bất phơng trình:

1 x 2

x     + x1 2 x 11 >

23

0 1 1 x

2 1 x 2

0 1 1 x

Kết hợp với điều kiện (*) đợc x  1 là nghiệm của bất phơng trình

Nhận xét: Trong ví dụ trên bằng việc thêm bớt 1 vào các biểu thức trong căn,

chúng ta đã nhận ra đợc rằng các biểu thức đó có dạng A2 để rồi 2

A = A,tuy nhiên sẽ có những biểu thức nh vậy nhng dới dạng có ẩn hơn, ví dụ:

a ax

x 4

) 5 x ( 3 x x

0 5

x

0 3 x x

0 5

2

2 / 5 x

2 / 5 x 1

7

0 8

x 2

0 3

x

 4  x  7

(*)Bất phơng trình tơng đơng với:

.Kết hợp với điều kiện (*) ta đợc

6

5 x

4

.Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là [4, 5]  [6, 7]

Bài tập 3: Điều kiện:

0 1 x

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là 

0 m x

0 2 x

a 2

a a ax 2

a a ax 2 a 2 a ax

2  2  2  2 =

a

2

| a

a 2

| a a ax 2

|  2  Khi đó, (1) đợc biến đổi tơng đơng thành:

a 2

| a a ax

2

|  2  +

a 2

| a a ax 2

|  2   2a

a ax

a ax

a ax

a ax

a ax

2  a  0

a ax

a a ax 2

0 a ax

II.Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:

1 Ta không thể bình phơng hai vế của bất phơng trình ban đầu vì cha khẳng

định đợc dấu của hai vế

2 Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tơng đơng để thực hiện ví dụ trên,

0 3 1 x 0 1 x

3 1 x 2 1 x

9 1 x 0 1 x

 1 

x  5

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là 1  x  5

Ví dụ 2: Cho bất phơng trình:

a Giải bất phơng trình với m = 1

b Tìm m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x  [2, 2 + 3]

Giải

Viết lại bất phơng trình dới dạng:

 (2) nghiệm đúng với mọi t  [1, 2]

 f(t) = 0 có nghiệm thoả mãn t1  1 < 2  t2

 



 0 ) 2 ( f a

0 ) 1 ( f a

0 1 m

5

< 2x +

x2

1

+ m

(1)

a Giải bất phơng trình với m = 4

b Tìm m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x  [

1

) < 2(x +

x4

1

) + 4(2)

Đặt t = x +

x 2 1

, ta có nhận xét:

x +

x 2

1 C«si

 2

x 2

1 + 1  x +

x4

 t > 2  x +

x 2

2

2 2 X

2 2 x

3x0

22

3x

0 )

2 ( f a

0 0

0 2

5 2

m

0 m

8 41

0 m

8 41

Chú ý: Nhiều bất phơng trình ở dạng ban đầu không thấy có dấu hiệu cho

phép lựa chọn phơng pháp đặt ẩn phụ khi đó thông thờng bằng một vài phépbiến đổi tơng đơng ta sẽ thấy sự xuất hiện của ẩn phụ

Ví dụ 4: Giải bất phơng trình:

x +

4 x

x 2 2



> 45 

4x

x

2 4



+ 4

4 x

x 2 2



> 45 (2)

Đặt t =

4 x

x 2 2

20 x

| x

|

20

| x

|

.Kết hợp với trờng hợp đang xét, ta đợc tập nghiệm của bất phơng trình là:(,  20)  ( 5 , 5 )  ( 20, + )

Ví dụ 5: Giải bất phơng trình:

2 1 x

3 3

8 1 x

Vậy, bất phơng trình có nghiệm x > 9 hoặc 0 < x < 1

Ví dụ 6: Với a > 0, giải và biện luận bất phơng trình

0 t cos 1

0 t cos a a

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là a  x  0 hoặc x = a

Chú ý: Bài toán trên còn có thể đợc giải bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng

nh sau:

Biến đổi bất phơng trình về dạng:

2 2

2 2 2

) x a ( x a

0 x

a

0 x a

a x

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là a  x  0 hoặc x = a

Ví dụ 7: Với a0, giải bất phơng trình:

2 2

a

x   x +

2 2 2 a x

a 2



x  =

tcos

|a

|

tcos.a

2 2  1  sint + 2cos2t 2sin2tsint1  0

0 a x

0 a x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

(

0 a

x

2 2 2 2 2

| x 3

| a

|

| a

| x

| a

|

0 x

 

3

|a

|

2   > x2

cã nghiÖm lµ:

+ 2

c x +

1 x

a Giải bất phơng trình với m = 3

b Xác định m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x  [0, 1]

Bài tập 8: Tìm m để bất phơng trình

4 ( 2  x )( 4  x )  x22x + m18nghiệm đúng với mọi x  [2, 4]

Bài tập 9: Tìm m để bất phơng trình

) x 6 )(

x 4 (    x22x + mnghiệm đúng với mọi x  [4, 6]

Bài tập 10: Tìm m để bất phơng trình

) x 7 )(

x 3 (    x24x + mnghiệm đúng với mọi x  [3, 7]

Bài tập 11: Với a, b > 0, giải và biện luận bất phơng trình

1 t

1 t

.Vậy, bất phơng trình có nghiệm là (, 0)  (1, + )

Bài tập 3: Sử dụng phép biến đổi tơng đơng chuyển về bất phơng trình

bài toán 3

sử dụng phơng pháp

đặt ẩn phụ  D ạng 2

I phơng pháp

ý tởng của phơng pháp này cũng giống nh phơng trình vô tỉ

II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:

4t4t

x

42

4t4t

0 4 x

0 4 x x x

0 4 x

2 2

x 4 x 2 x 4 x

2 2

x 4 x 2 x 0

0 x

4 x

.Vậy, bất phơng trình có nghiệm x  (, 4]  [2, + )

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình:

1 x t

0 0 1 x

3

0 x 2 x

0 1 x 2

VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  0

VÝ dô 3: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh:

mxmx

t

m2

mxmx

0 m

2 2

0 m

0 m

2

0 m

1 x

2 VËy:

 Víi m  0, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

x  (,  m2 1]  [1, m2 1]

 Víi m  0, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  (, 1]

III Bµi tËp tù luËn

Bµi tËp 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

0 A

0 B

0 A

0 A

0 B

0 A

II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm

0 x 1

x 1 u

1 v

u 2 2

.Suy ra:

2

0 6 x 12 x

2 2

 x 

2

1 (*)

Biến đổi bất phơng trình về dạng :

) 1 x 2 ( 2 ) 2 x

(

2  2   > x + 2 + 2x 1

(2)

Đặt

 v  x  2

Khi đó, bất phơng trình có dạng:

2 2

2 v ( u v ) u

0 v u

0 v u

0 x 2

x 2 x

u

0 1 v

0 v

u

0 1 v

2 2

0 1 x

0 x x x

0 1 x

2 2

x

1

x

x x

1 x

 



 0 x 1 x

, vô nghiệm

Vậy, bất phơng trình vô nghiệm

III Bài tập trắc nghiệm và tự luận

x2   x  x2

có nghiệm là:

Bài tập 3: Bất phơng trình:

16 x 10

a Giải bất phơng trình với m = 1

b Xác định m để bất phơng trình có ít nhất một nghiệm x > 1

7

0 7 x

7

6.(*)

Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ:

Biến đổi bất phơng trình về dạng :

x ) 2 x

0 x u

.Khi đó, bất phơng trình có dạng:

2 2

2 v ( u v ) u

0 v u

0 v u

2

 u = v  0   x  x  2  x 2  5 x  4  0  x = 4Vậy, nghiệm của bất phơng trình là x = 4.

Bài tập 3: Viết lại bất phơng trình dới dạng:

2

) 3 x ( 2 ) 1 x

(

Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ u = x  1 và v = x3

 Với x > x0  f(x) > f(x0) = k, do đó bất phơng trình nghiệm

II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:

2

0 9 x

 Nếu 2  x  0 thì f(x)  f(0)  x  9 + x4  5, nên 2

 x  0 không phải là nghiệm

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là x > 0

Nhận xét: Lẽ đơng nhiên chúng ta hoàn toàn có thể thực hiện bài toán trên

bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng, cụ thể:

Do vậy bạn đọc nên hiểu ví dụ chỉ mang tính minh hoạ cho phơng pháp

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình:

3 x 2

x2   x2 x 11



 > 3  x  x  1 (1)

0 1

(*)

Viết lại bất phơng trình dới dạng:

3 x 2

Thấy ngay hàm số đồng biến trên [1, 3]

Khi đó (2) đợc biến đổi nh sau :

f(x1) > f(3x)  x1 > 3x  x > 2

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là 2 < x  3

III Bài tập trắc nghiệm và tự luận

Bài tập 1: Bất phơng trình:

1 x

 Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y' = 0.

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Bớc 2: Kết luận cho các trờng hợp nh sau:

 Bất phơng trình có nghiệm 

D x

min

 y  g(m)

 Bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x 

D x

max

 y  g(m).Tơng tự cho bất phơng trình f(x, m)g(m) với lời kết luận:

 Bất phơng trình có nghiệm 

D x

max

 y  g(m)

 Bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x 

D x

min

 y  g(m)

Chú ý: Ta phải có giả thiết

D x

min

 y và

D x

Ví dụ 2: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm:

1X

1X

2 X 2 X

Chú ý: Cũng có thể không cần sử dụng ẩn phụ trong bài toán trên Cụ thể:

Với điều kiện x  3, ta biến đổi bất phơng trình về dạng:

1x

3x

3x1

3x3x2

1x

3x2

x5

y'  + 0 

0Vậy bất phơng trình có nghiệm

 y(5)  m  m 

4

1

3 

III Bài tập tự luận

Bài tập 1: Xác định m để các bất phơng trình sau có nghiệm

x 4 (    x22x + mnghiệm đúng với mọi x [4, 6]

Bài tập 3: Tìm m để bất phơng trình

) x 7 )(

x 3 (    x24x + mnghiệm đúng với mọi x  [3, 7]

Bài tập 4: Giải và biện luận theo a dơng bất phơng trình:

 Bảng biến thiên

trong đó y(a) = y(2a) = n2a na

Từ bảng biến thiên  bất phơng trình tơng đơng với:

f(a)  f(x)  f(2a)  a  x  2a

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là a  x  2a

th-Bớc 1: Sử dụng các phép biến đổi tơng đơng, biến đổi bất phơng trình về

một hệ (gọi là hệ (I)) các bất phơng trình đại số

Bớc 2: Xét hệ trục toạ độ Oxm

Biểu diễn những điểm M(x, m) thoả mãn các bất phơng trình trong (I).Giả sử là các tập X1, X2, , Xn

II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm:

1  , điều kiện y0

Khi đó bất phơng trình đợc chuyển thành hệ:

x

) 2 ( 1 y

x 2 2

.Các điểm thoả mãn (2) (ký hiệu X1) thuộc nửa đờng tròn (lấy với y0) đơn

vị (C) có





1 R BKinh

) 0 , 0 ( O Tam

.Các điểm thoả mãn (3) (ký hiệu X1) là tập hợp các điểm ở phía trên phơngtrình đờng thằng (d): x + ym = 0 lấy với y  0

Vậy, bất phơng trình có nghiệm

x a u

) 4 ( a

1B

A

DC

O

y

x

x + y = m1

Vậy hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi:

d(O, (d)) < 2a 

2

|a

| 

< 2a  a24a < 0  0 < a < 4

III Bài tập tự luận

Bài tập 1: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm:

bài toán 8

sử dụng phơng pháp

điều kiện cần và đủ

I phơng pháp

Phơng pháp điều kiện cần và đủ thờng tỏ ra khá hiệu quả cho lớp dạng toán

" Tìm điều kiện tham số để:

Dạng 1: Bất phơng trình có nghiệm duy nhất

Dạng 2: Bất phơng trình nghiệm đúng với mọi xD.

Dạng 3: Bất phơng trình tơng đơng với một phơng trình hoặc một bất

ph-ơng trình khác

Khi đó ta thực hiện theo các bớc:

Bớc1: Đặt điều kiện để các biểu thức của bất phơng trình có nghĩa

Bớc2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối

xứng của hệ

Bớc3: Kiểm tra điều kiện đủ, trong bớc này cần có đợc một số kỹ năng

có bản

II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm m để bất phơng trình có nghiệm duy nhất:

m 2

Đó chính là điều kiện cần để phơng trình có nghiệm duy nhất

Đề nghị bạn đọc tự chứngiều kiện đủ: Giả sử m = 0, khi đó (1) có dạng:

2

x  0  x = 0 là nghiệm duy nhất của bất phơng trình

Vậy với m = 0 bất phơng trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2: Tìm m để bất phơng trình

) x 4 )(

x 2 (    x22x + m

3  m1  m  4.

Đó là điều kiện cần để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x  [2, 4]

Đề nghị bạn đọc tự chứngiều kiện đủ: Giả sử m  4, khi đó:

 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái, ta đợc:

VT = ( 2  x )( 4  x ) 

2

)x4()x2

= 3

 Biến đổi vế phải về dạng:

VP = x22x + m = (x1)2 + m1  3Suy ra:

) x 4 )(

x 2

(    x22x + m

Vậy, với m  4 bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x  [2, 4]

Ví dụ 3: Tìm m để tập nghiệm của bất phơng trình

mx 2

4

1 1 2 m 16

1 m

m x

1

 >

2

116

 x1 + x2 2mx

 > 0Vậy, với m < 1 nghiệm của bất phơng trình chứa [

4

1

, 1]

Chú ý: Cũng có thể không cần sử dụng phơng pháp điều kiện cần và đủ trong

bài toán trên Cụ thể:

Biến đổi bất phơng trình về dạng:

(

f

0 ) 4

0 1 2 1 m

0 1 m

III Bài tập tự luận

Bài tập 1: Cho bất phơng trình

b Xác định m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Bài tập 2: Tìm m để tập nghiệm của bất phơng trình

mx 2

x2 > x + 1chứa đoạn [1,

Bài tập 4: Tìm m để bất phơng trình

) x 6 )(

x 4 (    x22x + mnghiệm đúng với mọi x  [4, 6]

Bài tập 5: Tìm m để bất phơng trình

) x 7 )(

x 3 (    x24x + mnghiệm đúng với mọi x  [3, 7]

b Các bất đẳng thức có bản, nh Côsi, Bunhiacôpxki,

c Tính chất trị tuyệt đối

ta có thể nhanh chóng chỉ ra đợc nghiệm của nó

II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:

1 x

x x

0 1

x x

0 1

x

2 2

 x  1

(*)Nhận xét rằng:

VT = x x2 1 + x x2  1  2 x x2 1.1

x

x  2 = 2

Vậy bất phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi

VT = 2  x x2 1 = x x2  1  x = 1

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là x = 1

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình:

sinx  x2 1

 (1)

1 x

1 x

sin

Vậy, bất phơng trình có nghiệm duy nhất x = 0

III Bài tập tự luận

Bài tập 1: Giải bất phơng trình:

2

2 x 1 ) x

x 25 x 20

Bµi tËp 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

.VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2 vµ x = 5

các bất phơng trình vô tỉ

đợc giải bằng nhiều phơng pháp

I đặt vấn đề

Nhự vậy thông qua 9 bài toán trên, chúng ta đã đợc biết tới 9 phơng pháp

để giải bất phơng trình vô tỉ và thông các ví dụ minh hoạ chúng ta cũng có thểthấy ngay một điều rằng một bất phơng trình có thể đợc thực hiện bằng nhiềuphơng pháp khác nhau

Trong mục này sẽ minh hoạ những ví dụ đợc giải bằng nhiều phơng phápkhác nhau với mục đích cơ bản là:

a Giúp các em học sinh đã tiếp nhận đợc đầy đủ kiến thức Toán THPTtrở lên linh hoạt trong việc lựa chọn phơng pháp giải

b Giúp các em học sinh lớp 10 và 11 lựa chọn đợc phơng pháp phù hợpvới kiến thức của mình

II Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:

2 2 ) x 9 3 (

0 x

Cách 2 : Trục căn thức, ta biến đổi bất phơng trình về dạng:

Cách 3 : Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ.

Đặt t = 9  x , 0  t  3 suy ra