Phương pháp giải phương trình chứa căn thức

Bài giảng này cung cấp cho GV, HS một lượng kiến thức đầy đủ. Và với phương pháp trình bày gợi mở thì việc giải một phương trình chứa căn thức trong đề thi đại học sẽ trở thành dễ dàng hơn.

Học trò hỏi sao ở mỗi bài toán thầy luôn có hai câu hỏi:

Câu 1: Tại sao cách giải lại như vậy?

Câu 2: Em hãy nghĩ ra một hoặc vài bài toán tương tự.

Tôi trả lời:

Câu 1: Với mục đích "Khơi dậy Tư duy".

Câu 2: Với mục đích "Khơi dậy óc sáng tạo".

Em có được “Tư duy và Sáng tạo” tôi hoàn thành việc dạy học.

LÊ HỒNG ĐỨC và VƯƠNG DANH THÁI 0936546689

Email: lehongduc39@gmail.com nhomcumon68@gmail.com

"Mục tiêu đích thực của bất cứ ai mong muốn trở thành

người thầy không phải là truyền đạt ý kiến mình mà là

khơi dậy tư duy"

Frederick William Roberson

11 CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP

GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

(Phù hợp với HS 9, 10, 11, 12, 13)

CÁC CƠ SỞ BỒI DƯỠNG CỦA NHÓM CỰ MÔN

Cơ sở 1: SN 20 − Ngõ 86 Tô Ngọc Vân − Tây Hồ − Hà Nội.

Cơ sở 2: SN 5/99 − Ngõ 22 Tôn Thất Tùng − Đống Đa − Hà Nội.

Cơ sở 3: SN 11/98 − Ngõ 72 Tôn Thất Tùng − Đống Đa − Hà Nội.

Bµi 2 (Đề thi đại học − Khối B năm 2010): Giải phương trình:

23x 1+ − 6 x 3x− + −14x 8 0, x− = ∈¡

Bµi 3 (Đề thi đại học − Khối A năm 2009: Giải phương trình:

Bµi 6 (Đề thi đại học − Khối B năm 2007): Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ

d¬ng cña tham sè m, ph¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt:

1 Bài 1 thuộc Dạng phương trình chứa 1 căn bậc hai.

2 Bài 2 thuộc Dạng phương trình chứa 2 căn bậc hai.

3 Bài 3 thuộc Dạng phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau.

4 Bài 4, bài 5 thuộc Dạng phương trình chứa nhiều căn.

5 Bài 6, bài 7 thuộc Dạng phương trình chứa tham số.

Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiếnthức, bài giảng này sẽ được chia thành 5 phần (5 dạng phương trình)

 Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phươngpháp để giải

 Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập.

Tham khảo thêm cuốn sách:

1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ − NXB Hà Nội

do LÊ HỒNG ĐỨC chủ biên

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ VÔ TỈ” − NXB Đại học Sư Phạm

do LÊ HỒNG ĐỨC chủ biên

Phép biến đổi này không cần đặt điều kiện f(x) ≥ 0 Tuy nhiên, các em họcsinh cần biết đánh giá tính giải được của phương trình (*) − Với đa thức thì bậccủa (*) phải nhỏ hơn 5.

+ = −

x 1 5 x

dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậchai − Bài toán giải được

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp Cụ thể:

− Nhận xét rằng x0 = 3 là nghiệm của phương trình

− Biến đổi phương trình về dạng:

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Với điều kiện 5 − x ≥ 0 tức x 5≤ , ta biến đổi phương trình về dạng:

Nờn phương trỡnh nếu cú nghiệm thỡ sẽ là duy nhất.

Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trỡnh

 Nhận xét: Nh vậy, để giải một phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn

một trong các cách:

Cách 1: Biến đổi tơng đơng Lu ý cách nhẩm nghiệm x0 rồi

chuyển phương trỡnh về dạng tớch (x − x0)h(x) bằngphộp nhõn liờn hợp, bởi trong nhiều trờng hợp sẽ nhận

đợc cách giải hay

Cách 2: Đặt ẩn phụ Một hoặc nhiều ẩn phụ.

Cách 3: Sử dụng phơng pháp hàm số Sử dụng đạo hàm Cách 4: Đánhgiá.

HOẠT ĐỘNG 1: Giải phương trỡnh:

Đánh giá và định hớng thực hiện: Phương trỡnh dạng cơ bản f(x) g(x) và=

dễ nhận thấy khi sử dụng phộp khai phương ta nhận được một phương trỡnh bậchai − Bài toỏn giải được

Ngoài ra, phương trỡnh cũn được giải theo cỏc cỏch khỏc:

 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trỡnh về dạng tớch (x − x0)h(x) bằngphộp nhõn liờn hợp Cụ thể:

− Nhận xột rằng x0 = 2 là nghiệm của phương trỡnh

− Biến đổi phương trỡnh về dạng:

Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Với điều kiện 3x − 4 ≥ 0 tức x 4

x (loai) 9

dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình trùngphương − Bài toán giải được.

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp Cụ thể:

− Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình

− Biến đổi phương trình về dạng:

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Với điều kiện 4x2− 1 ≥ 0 tức x 1

x 8 9

4 x 1

t (loai) 4

dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậc

ba − Bài toán giải được

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp Cụ thể:

− Nhận xét rằng x0 = −2 là nghiệm của phương trình

− Biến đổi phương trình về dạng:

3 3

 Gi¶i

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Với điều kiện x + 5 ≥ 0 tức x ≥−5, ta biến đổi phương trình về dạng:

Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất

Nhận thấy x = −2 là nghiệm của phương trình

HOẠT ĐỘNG 4: Giải các phương trình sau:

+ = −

a 2x 1 1 x b x 2 4 x + = − + = −

dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậcbốn − Để giải được phương trình này cần có kỹ năng phân tích đa thức thànhnhân tử

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t= x2+3x 5, t 0.+ ≥

 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp Cụ thể:

− Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình

− Biến đổi phương trình về dạng:

Ta có thể trình bày theo các cách sau :

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

t (loai) 2

dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậcbốn − Để giải được phương trình này cần có kỹ nămg phân tích đa thức thànhnhân tử.

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp Cụ thể:

− Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình

− Biến đổi phương trình về dạng:

2x 1 x− − +x −2x 1 0+ = 2x 1 x2 2

x 2x 1 02x 1 x

2

x 3x 1 02x 1 ( x 3x 1)





VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x 2= − 2

Cách 2: Với điều kiện 2x − 1 ≥ 0 tức x 1

VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x 2= − 2.

HOẠT ĐỘNG 6: Giải phương trình sau:

2

a 2x 1 x− − +3x 3 0, x− = ∈¡

24x 9

cã bao nhiªu nghiÖm

dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậcsáu Do vậy cách này không khả thi

Từ điều kiện có nghĩa của phương trình:

1 − x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1

Gợi ý ta lựa chọn ẩn phụ lượng giác x = sint hoặc x = cost

Ở đây, ta chọn x = cost bởi khi đó VP = 4cos3t − 3cost = cos3t

x cos

83

 Nhận xét: Nh vậy, bằng việc lựa chọn phơng pháp lợng giác hoá, chúng ta

đã chuyển phơng trình ban đầu về phơng trình lợng giác và đểgiải phơng trình đó chúng ta đã lựa chọn phơng pháp biến đổithành tích

f(x) g(x) thành h(x) f(x) g(x) nờn chưa thể sử dụng phộp khai phương.=

Trước tiờn, hóy đi đặt điều kiện cú nghĩa cho phương trỡnh

f(x) g(x) thành h(x) f(x) g(x) nên chưa thể sử dụng phép khai phương.=

Trước tiên, hãy đi đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

do đó, phơng trình có nghiệm:

x = t ± (x − 1)

2 2

x23x 2x 1 0

 Chú ý: Tiếp theo, là minh hoạ phơng trình chứa một căn bậc ba.

x + =2 3 3x 2, x− ∈Ă

dễ nhận thấy khi sử dụng phộp lập phương ta nhận được một phương trỡnh bậcsỏu − Khụng khả thi

Sử dụng phương phỏp đạt ẩn phụ, với y= 33x 2− ta được:

−

) nghiÖm

« v ( 0 2 y xy x

0 y x

2 2

=

−

0 2 x x

0 1 x

VËy, nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 1 hoÆc x = − 2

HOẠT ĐỘNG 10: Giải các phương trình sau:

Nên cần hai phép khai phương

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp Cụ thể:

− Nhận xét rằng x0 = −1 là nghiệm của phương trình

− Biến đổi phương trình về dạng:

Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất.

Nhận thấy x = −1 là nghiệm của phương trình

Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất

Nhận thấy x = −1 là nghiệm của phương trình

HOẠT ĐỘNG 11: Giải cỏc phương trỡnh sau:

Đây là dạng mẫu mực mà ta đã biết cách giải

Ngoài ra, phương trỡnh cũn được giải theo cỏch "Nhẩm nghiệm x0 " rồi chuyển

phương trỡnh về dạng tớch (x − x0)h(x) bằng phộp nhõn liờn hợp Cụ thể:

− Nhận xột rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trỡnh

− Biến đổi phương trỡnh về dạng:

Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất.

Nhận thấy t = 1 là nghiệm của phương trình

VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2

HOẠT ĐỘNG 12: Giải các phương trình sau:

hai căn bậc hai nên không thể sử dụng phơng pháp bình phơng và cũng khôngthể sử dụng phơng pháp ẩn phụ (với hai ẩn phụ) bởi nếu đặt:

Với các bài toán kiểu này x0 đợc chọn sao cho 3x0+1, 6 x− ∈0 Ơ

VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 5.

HOẠT ĐỘNG 13: Giải các phương trình sau:

a 2 x 3 5 x 2x 5x 9 0

− + 2− + − =

b x 2 x 5 x 6 0

3 ph¬ng tr×nh chøa hai c¨n c¸c bËc kh¸c nhau

315u 4u 32u 40 0

3(u 2)(15u 26u 20) 0

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x = −2

HOẠT ĐỘNG 14: Giải cỏc phương trỡnh sau:

4 phơng trình chứa nhiều căn bậc hai

2 x 2 2 x 1+ + + − x 1 4, x+ = ∈Ă

em học sinh nghĩ ngay tới việc phải đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình vàchính từ công việc này sẽ giúp các em định hớng đợc lời giải, cụ thể:

Và cũng chính vì vậy, khi trình bày lời giải bài toán trên chúng ta đợc quyền

bỏ qua bớc đặt điều kiện

Từ đó, suy ra phơng trình này vô nghiệm.

HOẠT ĐỘNG 16: Giải phương trỡnh sau:

2 4

một phơng trình bậc hai dạng:

Khi đó, để phơng trình ban đầu có nghiệm thực điều kiện là phơng trình (*)

có nghiệm t ∈ [0; 1) Với công việc này các em học sinh có thể sử dụng

ph-ơng pháp tam thức bậc hai hoặc phph-ơng pháp hàm số

Điều kiện x ≥ 1

Chia hai vế của phơng trình cho x 1+ , ta đợc:

2 4

Để phơng trình ban đầu có nghiệm thực điều kiện là phơng trình (*) cónghiệm t ∈ [0; 1), tức đờng thẳng y = −m cắt đồ thị hàm số f(t) = 3t2 − 2t trêntập D = [0; 1), ta đợc:

1

m 13

− < < thoả mãn điều kiện đầu bài

HOẠT ĐỘNG 18: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực:

Do đó, với ẩn phụ t= 3x 2− + x 1− ta chuyển đợc phơng trình về dạng:

mt = t2− 6 ⇔ t2− mt − 6 = 0

Từ đó, để thực hiện đúng với bài toán chứa tham số ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Đặc điều kiện có nghĩa cho phơng trình.

Bớc 2: Sử dụng ẩn phụ t= 3x 2− + x 1− , nhng phải tìm đợc điều kiện

x

0 2

(2) ⇔ mt = t2− 6 ⇔ f(t) = t2− mt − 6 = 0 (3)Phơng trình (1) có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm t ≥ 1

Nhận xét rằng (3) luôn có hai nghiệm trái dấu, do vậy để (3) có nghiệm thoả mãn

t ≥ 1 điều kiện là:

(3) có nghiệm thoả mãn t1 ≤ 1 ≤ t2 ⇔ a.f(1) ≤ 0 ⇔ 1 − m − 6 ≤ 0

⇔ m ≥ 5

Vậy, với m ≥ 5 phơng trình (1) có nghiệm

HOẠT ĐỘNG 19: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực:

x x+ x 12 m+ = 5 x− + 4 x −

giá trị dơng của tham số m, phơng trình sau có hai nghiệm thực phânbiệt:

VËy, víi mäi m > 0 ph¬ng tr×nh ban ®Çu lu«n cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt.

HOẠT ĐỘNG 20: Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ d¬ng cña tham sè m, ph¬ng

tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt:

v

x 1

u

2 v

v

x 1

u

2 v

=

− +

+

a v u

2 ) uv v u )(

=

−

+

a v u

2 ) uv v u(

.

a NÕu a = 0, th× hÖ v« nghiÖm

a v

u

a

2 uv v

=

− +

a v u

a

2 uv 3 )v

) a

2 a(

3

1 uv

a v u

a

8 − 3 ≥ 0 ⇔ 23−aa ≥0 ⇔ 0 < a ≤ 2.VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi 0 < a ≤ 2

HOẠT ĐỘNG 21: Với giá trị nào của a thì phơng trình sau có nghiệm:

1

1 x

1

1 x

1

2

⇔ x = 0

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất khi m = 3

 Nhận xét: Trong ví dụ trên, việc đánh giá tính đối xứng là khá đơn giản bởi

hàm số ở vế trái là hàm chẵn Trong nhiều trờng hợp ta cần đánh giá tính đốixứng thông qua việc thay đổi vai trò

⇔ m = 3.

HOẠT ĐỘNG 22: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực duy nhất:

4x +4 2 x− + x+ 2 x− =m

đáp số − lời giải các hoạt động

HOẠT ĐỘNG 1: Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Với điều kiện 2 − x ≥ 0 tức x ≤ 2, ta biến đổi phương trỡnh về dạng:

Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất.

Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình

HOẠT ĐỘNG 2:

a Ta có thể trình bày theo các cách sau :

Cách 1: Với điều kiện x − 1 ≥ 0 tức x ≥ 1, ta biến đổi phương trình về dạng:

1 (*) 2x 1 3

Phương trình (*) vô nghiệm bởi VT 2

b Ta có thể trình bày theo các cách sau :

Cách 1: Với điều kiện 2x + 3 ≥ 0 tức x 3

b Ta có thể trình bày theo các cách sau :

Cách 1: Với điều kiện 3x2− 1 ≥ 0 tức x 1 ,

t (loai) 3

a Ta có thể trình bày theo các cách sau :

Cách 1: Với điều kiện 1 − x ≥ 0 tức x ≤ 1, ta biến đổi phương trình về dạng:

Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất.

Nhận thấy x = 0 là nghiệm của phương trình

b Ta có thể trình bày theo các cách sau :

Cách 1: Với điều kiện 4 − x ≥ 0 tức x ≤ 4, ta biến đổi phương trình về dạng:

Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất

Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình

c Ta có thể trình bày theo các cách sau :

Cách 1: Với điều kiện 3 − x ≥ 0 tức x ≤ 3, ta biến đổi phương trình về dạng:

Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất

Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình

d Ta có thể trình bày theo các cách sau :

Cách 1: Với điều kiện 4 − x2≥ 0 tức |x| ≤ 2, ta biến đổi phương trình về dạng:

HOẠT ĐỘNG 5: Ta có thể trình bày theo các cách sau :

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

t (loai) 3

x 3x 3 02x 1 (x 3x 3)

Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x 2= − 2.

Cỏch 3: Với điều kiện 2x − 1 ≥ 0 tức x 1

Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x 2= − 2

b Viết lại phơng trình dới dạng:

Đặt y 1 4x 9,

++ = điều kiện :

3

⇔ y >

7 2

7

3 − (*)Khi đó, phơng trình đợc chuyển thành hệ:

+

= +

28

9 x ) 2

1

y

(

x x 2

+

= +

)2 ( y y 2

1 x

)1 ( x x 2

1 y

22

Vậy, nghiệm của phơng trình là x =

+ +

=

+

1 x )2 y(

1 )2 x(

+

= +

)2 ( )2 y(

1 x

)1 ( )2 x(

1 y

2 2

1

x + = − (2x − 3)2 + x + 4

⇔ x + 1 = − (−2x + 3)2 + x + 4

Đặt − 2y + 3 = x + 1, điều kiện − 2y + 3 ≥ 0 ⇔ y ≤ 23 (**)Khi đó, phơng trình đợc chuyển thành hệ:

−

+ + +

−

−

= +

−

1 x )3 y

(

4 x )3 x ( 3 y

−

+ +

= +

−

)2 ( 1 x )3 y (

)1 ( 1 y x )3 x (

2 2

y x

 Với x = y vào (1) đợc :

4x2 − 15x + 8 = 0 ← (*)và(**) → x =

8 97

1 + − 2 = sint(1 + 2 1 − sin2t ) ⇔ 1 + cos t = sint(1 + 2cost)

⇔ 2 cos2t = sint + sin2t ⇔ 2 cos2t = 2sin

2

t 3

t 3 sin

) l ( 0 2

t cos

=

π

=

2 t 6

x 2

Với điều kiện (*), đặt x =

t cos

t cos 1

2 − = 2 2 ⇔

t cos

1

+

t sin

1

= 2 2

⇔ sint + cost = 2 2 sint.cost

Đặt sint + cost = u, điều kiện 1 ≤ u ≤ 2 , suy ra sint.cost =

1 u

2 u

⇔ sint + cost = 2 ⇔ 2 sin(t +

c Điều kiện x ≠± 1, 0

Đặt x = tgt, t ∈ ( − 2π,

2

π) \ {± 4π, 0} (*)Khi đó:

x2 + 1 = tg2t + 1 =

t cos

1

2 ⇒ x2 + 1 =

t cos

1

,sin2t =

t tg 1

tgt 2 2 + =

1 x

x 2

2 + ⇒

x 2

1

t 2 sin

1

,

cos2t =

t tg 1

t tg 1 2

2 +

−

=

1 x

x 1 2

2 +

− ⇒ sin2t.cos2t = 2 22

) 1 x (

) x 1 ( x 2 +

−

⇔ sin4t = 2 2

2 ) 1 x (

) x 1 ( x 4 +

− ⇔

t 4 sin

2

=

) x 1 ( x 2

) 1 x (

2

2 2

−

+

.Phơng trình đợc biến đổi phơng trình về dạng:

1

=

t 4 sin

2

⇔ 4sint.cos2t + 2cos2t = 2

⇔ 2sint.cos2t = 1 − cos2t ⇔ 2sint.cos2t = 2sin2t

⇔ (cos2t − sint).sint = 0 ⇔ (1 − 2sin2t − sint).sint = 0

⇔ (sint + 1)(2sint − 1).sint = 0 (*)

2

(x 1) 4 x − − = (x 1)(x 2) − − ⇔ (x 1)−  4 x− 2 − −(x 2)=0

 Giải (1), ta đợc nghiệm x = 1, thoả mãn điều kiện (*).

 Giải (2), bằng phép biến đổi tơng đơng:

 ⇔ x = 1 − 5, thoả mãn điều kiện (*).

Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 1 − 13 và x = 1 − 5

 Chú ý: Nhiều em học sinh khi thực hiện bài toán trên mắc phải sai lầm từ

1 x 2 t

≥

−

4

1 1 x

)1 x2 ( 1 x

0 1 x2

2 x

0 x 2

1 x

2 x

= +

x 1

y

y 1

=

−

) vn ( 0 2 y xy x

0 y x

=

−

0 1 x x

0 1 x

1 x

= +

35 y x

30 ) y x (

− +

= +

35 )y x(

xy 3 )y x(

30 )y x (

y.

x

3