Phương pháp giải bất phương trình chứa căn thức

Bài giảng này cung cấp cho GV, HS một lượng kiến thức đầy đủ. Và với phương pháp trình bày gợi mở thì việc giải một bất phương trình chứa căn thức trong đề thi đại học sẽ trở thành dễ dàng hơn.

Học trò hỏi sao ở mỗi bài toán thầy luôn có hai câu hỏi:

Câu 1: Tại sao cách giải lại như vậy?

Câu 2: Em hãy nghĩ ra một hoặc vài bài toán tương tự.

Tôi trả lời:

Câu 1: Với mục đích "Khơi dậy Tư duy".

Câu 2: Với mục đích "Khơi dậy óc sáng tạo".

Em có được “Tư duy và Sáng tạo” tôi hoàn thành việc dạy học.

LÊ HỒNG ĐỨC và VƯƠNG DANH THÁI 0936546689

Email: lehongduc39@gmail.com nhomcumon68@gmail.com

"Mục tiêu đích thực của bất cứ ai mong muốn trở thành

người thầy không phải là truyền đạt ý kiến mình mà là

khơi dậy tư duy"

Frederick William Roberson

CÁC CƠ SỞ BỒI DƯỠNG CỦA NHÓM CỰ MÔN

Cơ sở 1: SN 20  Ngõ 86 Tô Ngọc Vân  Tây Hồ  Hà Nội.

Cơ sở 2: SN 5/99  Ngõ 22 Tôn Thất Tùng  Đống Đa  Hà Nội.

Cơ sở 3: SN 11/98  Ngõ 72 Tôn Thất Tùng  Đống Đa  Hà Nội.

1 Bài 1 thuộc Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai.

2 Bài 2 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn bậc hai.

3 Bài 3 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau.

4 Bài 4, bài 5 thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều căn.

Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiếnthức, bài giảng này sẽ được chia thành 4 phần (4 dạng bất phương trình)

 Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phươngpháp để giải

 Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập.

Tham khảo thêm cuốn sách:

1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ  NXB Hà Nội

Ví dụ 1: (Đề thi đại học  Khối D năm 2002): Giải bất phương trỡnh:

 2  2

x  3x 2x  3x 2 0, x   

Đánh giá và định hớng thực hiện: Đây là một dạng bất phơng trình đơn giản dạng

AB  0 nhng rất nhiều học sinh không tìm ra đợc đầy đủ các nghiệm của nó.Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tơng đơng sau:

f (x) g(x) 0 , với f(x) và g(x) có nghĩa

g(x) 0

.g(x) 0

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình:

2

x 1  2(x 1), x 

Đánh giá và định hớng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bớitrong trường hợp này (*) là một bất phương trỡnh bậc hai  Giải được.

HOẠT ĐỘNG 2: Giải cỏc bất phương trỡnh:

 Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trỡnh về dạng tớch (x  x0)h(x)bằng phộp nhõn liờn hợp Cụ thể:

 Nhận xột rằng x0 = 1 là nghiệm của bất phương trỡnh

 Biến đổi bất phương trỡnh về dạng:

Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Với điều kiện 3x2  1  0 tức x 1 ,

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là (; 1]  [1; +)

Cỏch 2: Biến đổi phương trỡnh về dạng:

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (; 1]  [1; +).

HOẠT ĐỘNG 3: Giải bất phương trình:

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách:

 Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x)bằng phép nhân liên hợp Cụ thể:

 VT là hàm nghịch biến.

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm cú hoành độ x = 2

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là [2; 1]

Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Bất bất phơng trình tơng đơng với:

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là [2; 1]

Cỏch 2: Với điều kiện 1  x3  0 tức x  1, ta biến đổi bất phương trỡnh về dạng:

1 x 3  x + 2  0  x  2

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là [2; 1]

Cỏch 3: Với điều kiện x  1 nhận xột:

 VP là hàm đồng biến

 VT là hàm nghịch biến

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm cú hoành độ x = 2

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là [2; 1]

 Nhận xét: Nh vậy, để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn

một trong các cách:

Cách 1: Biến đổi tơng đơng Lu ý cách nhẩm nghiệm x0 rồi

chuyển bất phương trỡnh về dạng tớch (x  x0)h(x) bằngphộp nhõn liờn hợp, bởi trong nhiều trờng hợp sẽ nhận

đợc cách giải hay

Cách 2: Đặt ẩn phụ Một hoặc nhiều ẩn phụ.

Cách 3: Sử dụng phơng pháp hàm số Sử dụng đạo hàm.

Cách 4: Đánhgiá.

HOẠT ĐỘNG 4: Giải cỏc bất phương trỡnh:

Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Biến đổi bất phơng trình về dạng:

2 2

2 2 2

) x a ( x a

0 x

a

0 x a

a x a

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là a  x  0 hoặc x = a

Cỏch 2: Điều kiện a  x  a.

2 1

0 t cos 1

0 t cos a a

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là a  x  0 hoặc x = a

HOẠT ĐỘNG 5: Giải bất phương trỡnh:

g(x) 0 hoặc  



g(x) 0(II) :

f(x) g (x) (*)Cỏc em học sinh cần biết đỏnh giỏ tớnh giải được của bất phươngtrỡnh (*)

Ví dụ 6: Giải bất phơng trình:

2x 1 1 x, x

Đánh giá và định hớng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” bớitrong trường hợp này (*) là một bất phương trỡnh bậc hai  Giải được

Ngoài ra, phương trỡnh cũn được giải theo cỏc cỏch khỏc:

 Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trỡnh về dạng tớch (x  x0)h(x)bằng phộp nhõn liờn hợp Cụ thể:

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm cú hoành độ x = 0

Vậy, tập nghiệm của bất phương trỡnh là (0; +)

Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Bất phương trỡnh tương đương với:

2x 1 0(I) :

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trỡnh là (0; +)

Cỏch 2: Với điều kiện 2x + 1  0 tức x 1

Đặt t 2x 1, (t 0) Suy ra

2

t 1

x 2

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +)

HOẠT ĐỘNG 6: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

Bất phương trình tương đương với:

1(I) : x 0

 Với 1 x 0

4  tức

1x4

Và hệ (II) có dạng:

1x

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (; 0]

HOẠT ĐỘNG 7: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t x2 3x 6, t 0

 Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp Cụ thể:

 Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình

 Biến đổi phương trình về dạng:

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

 x2 3x   2 0  1  x  2.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trỡnh là [1; 2]

HOẠT ĐỘNG 8: Giải bất phơng trình:

Đánh giá và định hớng thực hiện: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình, rồi

sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phơng trình về dạng cơ bản

2

0 1 x

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là T = 1; 0

 

Ví dụ 10: Giải bất phơng trình:

2 2

4x

2x 2, x (1 1 2x )   

Đánh giá và định hớng thực hiện: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình, rồi

sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phơng trình về dạng cơ bản

HOẠT ĐỘNG 10: Giải bất phơng trình:

2 2

2x

x 21, x (3 9 2x )   

Ví dụ 11: Giải bất phương trỡnh:

Èn phô xuÊt hiÖn khi b×nh ph¬ng hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh.

4x

x  4 +

2 2

4x

x  4 > 45)(t 

4 2

x

x  4 + 4

2 2

x

x  4 > 45)(t (2)

§Æt t =

2 2

2 2

x

x  4 > 5)(t  x425)(tx2 + 100 >

Vậy, bất phơng trình có nghiệm x  0.

HOẠT ĐỘNG 12: Giải bất phơng trình:

x2 + 4x  (x + 4) x 2  2x 4 

2 bất phơng trình chứa hai căn bậc hai

Ví dụ 13: Giải bất phơng trình:

Tới đây, ta sẽ nhận đợc bất phơng trình dạng cơ bản

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phơng pháp hàm số

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (0; +).

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (0; +)

HOẠT ĐỘNG 13: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh:

Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm là (3; +).

 VT là hàm đồng biến

 VP là hàm hằng

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm cú hoành độ x = 3

Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm là (3; +)

HOẠT ĐỘNG 14: Giải bất phơng trình:

Câu hỏi đợc đặt ra là ẩn phụ kiểu gì ?

 ẩn phụ dễ nhận thấy nhất là t x (t0) và khi đó ta nhận đợc bất

ph-ơng trình dạng:

t  4t  1 t 3t 1.

Trong trờng hợp này cần phải giải một bất phơng trình cao hơn 2

 Từ việc đánh giá hệ số và x hoàn toàn đợc đa vào căn bậc hai nên nếuchia cả hai vế của phơng trình cho x 0 sẽ thấy xuất hiện x 1

x

 và

Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm là 0;1 4; .

Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của bất phơng trình

Với x > 0, biến đổi bất phơng trình về dạng:

1 1

x x 4 3

xx

  x 1 5)(t

2x

0 x u

 Giải

Điều kiện x  0 (*)Biến đổi bất phơng trình về dạng:

0 x u

.Khi đó, bất phơng trình có dạng:

2 2

u 0 v u

0 v u

0 2 x

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là x = 4

HOẠT ĐỘNG 16: Giải bất phơng trình:

sinh cần có kiến thức rất tốt mới có thể tiếp tục đợc Cụ thể, chúng ta sẽ lựachọn một trong các hớng sau:

Hớng 1: Sử dụng phép biến đổi tơng đơng:

Và với hớng này cần có kinh nghiệm tốt trong việc biến đổi đại số

Hớng 2: Sử dụng ẩn phụ t x (t0) và phép biến đổi tơng đơng giống nh

hớng 1 để nhận đợc một bất phơng trình bậc 4 theo t

Hớng 3: Sử dụng ẩn phụ t là tổ hợp của x và phép biến đổi tơng đơng giống

nh hớng 1 để nhận đợc một bất phơng trình bậc 2 theo t Cụ thểtrong bài toán này chúng ta sẽ đặt t 1 x

x

 

Hớng 4: Sử dụng phơng pháp đánh giá (nếu có thể) Cụ thể trong bài toán này

chúng ta sử dụng bất đẳng thức 2(a2 + b2)  (a + b)2 bởi ta có biến

Tới đây, chúng ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi tiếp (1) về dạng:

1 5)(tt

x 2ax a  x 2ax a  2a, a 0, x  .

Đánh giá và định hớng thực hiện: Hẳn bớc đặt điều kiện có nghĩa cho bất phơngtrình đã phức tạp Do đó, bài toán cần có cách giải khác bằng việc đánh giá dạng

đặc thù của căn thức:

2

x 2ax a = 2

2 2

a ax 2 a

2

a a ax 2

Tới đây, cần sử dụng đúng tính chất giá trị tuyệt đối

a ax 2 a

2

a a ax 2

a 2

| a a ax

2

a 2

| a a ax 2

a ax

a ax

2  a 2a

a ax

2  a a 2

a ax

2   2

a ax

2  a  0

a ax

a a ax 2

0 a ax

2 a  0



2

a  x  a

VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

3 bÊt ph¬ng tr×nh chøa hai c¨n cã bËc kh¸c nhau

VÝ dô 19: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

HOẠT ĐỘNG 19: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

3

2 3x 2 3 6 5x 8 0, x      

4 bất phơng trình chứa nhiều căn bậc hai

Ví dụ 20: (Đề thi đại học  Khối A năm 2005): Giải bất phương trỡnh:

5x 1  x 1  2x 4, x  

Đánh giá và định hớng thực hiện: Đây là bất phơng trình vô tỉ và có thể nhận thấyngay rằng sau phép chuyển vế đợc bất phơng trình dạng f (x) > g(x) + h(x) ,

do đó các bớc thực hiện bao gồm:

Bớc 1: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình (*)

Bớc 2: Biến đổi bất phơng trình về dạng:

Kết hợp với (*), ta đợc nghiệm của bất phơng trình là 2  x < 10

HOẠT ĐỘNG 20: Giải bất phơng trình:

Nhận thấy nhân tử chung x 1 , nên ta sẽ thực hiện theo các bớc:

Bớc 1. Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình

Bớc 2. Sử dụng phơng pháp chia khoảng

Điều kiện:

VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 hoÆc x  4.

HOẠT ĐỘNG 21: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là [1; 5)(t].



Chú ý: Ta không thể bình phơng hai vế của bất phơng trình ban đầu vì cha

khẳng định đợc dấu của hai vế

Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tơng đơng để thực hiện thí

dụ trên, cụ thể:

(x1)( 2x 1  3)  0



x 1 0 2x 1 3 0

x 1 0 2x 1 3 0

x 1 2x 1 3

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là [5)(t; 14)

b Bất phương trỡnh tương đương với hệ:

a Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Với điều kiện 4x2  1  0 tức x 1

2

 , ta biến đổi bất phương trỡnh về dạng:

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (; 1]  [1; +).

Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (; 1]  [1; +)

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ [1; 3)

Cách 2: Với điều kiện x + 1  0 tức x  1, ta biến đổi bất phương trình về

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ [1; 3).

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ [1; 3)

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

x 27x9  x > 2

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (2; +)

Cách 2: Với điều kiện x + 2  0 tức x2, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là (2; +).

HOẠT ĐỘNG 5: Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Đặt x = atgt, với t  (

2

, 2

) suy ra:

2 2

a

x  =

t cos

| a

|.Khi đó, bất phơng trình có dạng:

|

t cos a

2 2  1  sint + 2cos2t  2sin2tsint1 

0

 

2

1  sint  1  tgt 

|

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là x 

3

| a

|

Cỏch 2: Biến đổi bất phơng trình về dạng:

 Nếu x  0, thì (2) đợc viết lại dới dạng:

0 a x

0 a x

2 2 2 2 2 2 2

|

| x

|

| a

|

| x

|

| a

|

| x

|

0 x

2 2 2 2 2 2 2 2

| x 3

| a

|

| a

| x

| a

 

3

| a

|  x < 0

VËy, nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ x 

3

| a

|

HOẠT ĐỘNG 6: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

x 2 0(I) :

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (2; +)

Cách 2: Với điều kiện x + 2  0 tức x2, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +)

HOẠT ĐỘNG 7: Bất phương trình tương đương với:

1(I) : x 0

   Và dễ thấy hệ (II) vô nghiệm

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là ; 1

HOẠT ĐỘNG 8: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

x 3x 4 0   4x 1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trỡnh là (4; 1)

HOẠT ĐỘNG 9: Điều kiện:

0 x 2

x 4 1 1 (   2   2 < 3(1 + 2

x 4

1  )

 4x < 3 + 3 2

x 4

1   3 2

x 4

2

) 3 x ( ) x 1 (

9

0 3 x

0 x 1

0 3 x

1 ( 9 4 x 2

| x

| 4 x

0 x 2

0 x 1

13

3 1 x

2  x < 0

Kết hợp với điều kiện đang xét đợc nghiệm là 

2 1  x < 0

 Với 0 < x 

2

1 thì:

x 4

2

) x 1 ( x 1

0 x 1

0 x 1

0 x 1

2 x 2 3 x

2

1 x 3

1

 0 < x 

2

1

Kết hợp với điều kiện đang xét đợc nghiệm là 0 < x 

2

1

Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm là [

HOẠT ĐỘNG 10: Điều kiện:

0 x

9

 0  9 + 2x  9  

2

9  x  0

(*)

Cách 1: Biến đổi bất phơng trình về dạng:

x 2 9 6 x 9

Kết hợp với điều kiện (*), nghiệm của bất phơng trình là x  [

2

9, 2

7) \ {0}

Cách 2: Trục căn thức, ta biến đổi bất phơng trình về dạng:

(3 + 9  x )2 < 2(x + 21)  9  x < 4  x <

2

7

Kết hợp với điều kiện (*), nghiệm của bất phơng trình là x  [

2

9, 2

7) \ {0}

2 2

) x 9 3

 (t + 3)2 < t2 + 33  t < 4  9  x < 4  x <

2

7

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*), nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ x  [

2

9, 2

7) \ {0}

HOẠT ĐỘNG 12: §Æt t = x 2  2x 4  , ®iÒu kiÖn t  0

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3.

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ (3; +)

b Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ [1; 3)

HOẠT ĐỘNG 14: Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

C¸ch 1: §Æt t = x23x + 3, ta cã:

do đó, điều kiện cho ẩn phụ t là t 3.

4Khi đó, bất phơng trình có dạng:

Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm là (1; 2)

Viết lại phơng trình dới dạng:

5)(t( x +

x 2

1

) < 2(x +

x 4

1

Đặt t = x +

x 2

1

, ta có nhận xét:

x +

x 2

1 Côsi

 2

x 2

1 + 1  x +

x 4

1 = t21

2

 t > 2  x +

x 2 1

> 2

Đặt X = x , X > 0, khi đó:

X +

X 2

1 > 2  2X24X + 1 > 0

2

2 2 X

2

2 2 x

3 x 0

2 2

3 x

2

0 6 x 12 x

 x 

2

1.(*)

Biến đổi bất phơng trình về dạng:

) 1 x 2 ( 2 ) 2 x

0 1 x 2

Khi đó, bất phơng trình có dạng:

2 2

u 0 v u

0 v u

2  u  v.Xét trờng hợp u = v

Suy ra, để u  v, ta phải có x  [

2

1, + ) \ {1, 5)(t}

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là x  [

(

2     x  1 + x3

Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ u = x  1 và v = x3

HOẠT ĐỘNG 18:

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Viết lại bất phơng trình dới dạng:

1 1 x 2 1

x     + x  1  2 x  1  1 >

2 3

 ( x  1  1 ) 2 + ( x  1  1 ) 2 >

2

3

Điều kiện: