KĨ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ VI PHÂN Biên soạn: Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương.. FB: https://www.facebook.com/tranhoaithanhvicko CASIO TRẮ
Trang 1KĨ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN
ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ VI PHÂN
Biên soạn: Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương
FB: https://www.facebook.com/tranhoaithanhvicko
CASIO TRẮC NGHIỆM https://tinyurl.com/casiotracnghiem
HỌC CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem
Group: THỦ THUẬT CASIO THPT https://fb.com/groups/casiotracnghiem
Phương pháp chung:
Vi phân của hàm số
Tích f x'( 0).x được gọi là vi phân của hàm số y f x( ) tại điểm x0 (ứng với số gia x
) được kí hiệu là df x( 0) f x'( 0)x
Nếu hàm số f có đạo hàm f' thì tích f x x'( ) được gọi là vi phân hàm số y f x( ), kí
hiệu là: df x( ) f x x'( )
Đặc biệt: dx x' x x nên ta viết df x( ) f x dx'( )
Đạo hàm cấp n
Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f' Nếu f' cũng có đạo hàm thì đạo
hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f'', tức là: f'' ( ')'f
Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1 (với n ,n 2) là f(n 1) Nếu
(n 1)
f cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được
kí hiệu là f( )n, tức là:
CASIO : Phương pháp chung :
Ở đây thầy nêu pp chung để các em áp dụng cho các bài toán khó, cho các hàm vô tỉ
phức tạp, còn các bài dễ tính đạo hàm thì tự luận rất nhanh
Trang 2Ta có : '
'' '' f x
x
Do đó ta sẽ tính f 'a B f ' a
B
Bước 1 : Gán 1
1000000
Nhập ;
dx dx với a là số hoặc góc bất kì
Bước 2 : Nhập Ans PreAns
B
Lưu vào biến C
Bước 3 : So sánh đáp án với y''(a) Nếu kết quả trùng C thì nhận
2
x y x
có đạo hàm cấp hai là:
A y// = 0 B
/ /
2
1 2
y x
C
/ /
2
4 2
y
x
/ /
2
4 2
y x
Bước 1 : Gán 1
1000000
Nhập
;
2 x 2 x B
với a = 3 là số bất kì sao cho khi thay vào
đáp án không có đáp án nào trùng kết quả để dễ lựa chọn
Bước 2 : Nhập Ans PreAns 3, 999999 4
B
(PreAns =Bấm Alpha +Ans)
Bước 3 : So sánh đáp án với y''(3) Nếu kết quả trùng 4 thì nhận
Ta thấy D thỏa mãn vì
/ /
2
4
3 2
y
1 1
y
xcó đạo hàm cấp hai là:
Trang 3A y// =
2
3
4 1 x 1 x B
/ /
2
3
y
C
y
/ /
2
1
y
TỰ LUẬN:
y’ =
CASIO
Bước 1 : Gán 1
1000000
Nhập
;
1 x 1 x B
1
2 là số bất kì sao cho khi thay vào đáp án không có đáp án nào trùng kết quả để dễ lựa chọn
Bước 2 : Nhập Ans PreAns 4, 24265588
B
Bước 3 : So sánh đáp án với y''(3) Nếu kết quả trùng 4, 24265588 thì nhận
Ta thấy A thỏa mãn vì
/ /
2
4, 24265588
y
Các ví dụ
Ví dụ 1 Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau: 3 1
2
x y x
Lời giải
Ta có: ' 7 2
( 2)
y
x , '' 7.2 3
( 2)
y
x , ''' 7.2.34
( 2)
y x
Bằng quy nạp ta chứng minh: ( )
1
( 1) 7 ! ( 2)
n n
n
n y
x (2)
Trang 4Với n 1 ta thấy (2) đúng
Giả sử (2) đúng với n k, tức là: ( )
1
( 1) 7 ! ( 2)
k k
k
k y
x
Ta có:
'
( 1) 7 ! ( 1) 7 !.( 1)
k
y
( 1) 1.7.( 2 1)!
( 2)
k k
k x
Nên (2) đúng với mọi số tự nhiên n
Ví dụ 2 Cho đa thức f x( ) x3 5x2 1 Viết f x( ) dưới dạng lũy thừa của x 2
Lời giải
Ta có: (3)(2) 3 ''(2) 2 '(2)
Mà f x'( ) 3x2 10 , ''( )x f x 6x 10, '''( )f x 6
Nên f x( ) (x 2) 3 (x 2) 2 8(x 2) 11
Ví dụ 3 Tìm vi phân của của hàm số:
3 2 2 6 5
2 4
y
5 y 4x2 tanx
Lời giải
1 Ta có dy (x4 2x 1)'dx (4x3 2)dx
2 Ta có y x4 x3 2x 1 dy (4x3 3x2 2)dx
3 Ta có ' (4 6)(2 4) 2(22 2 6 5) 4 2 16 234
y
Suy ra 4 2 16 234
(2 4)
Trang 54 Ta có 1sin 8 1sin 2 4 cos 8 cos 2
'
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Cho hàm số y sin 2x
Câu 1 Tính y''
A.y'' sin 2x B.y'' 4 sinx C.y'' sin 2x D.y'' 4 sin 2x
Bài làm 1 Ta có y' 2 cos 2x y'' 4 sin 2x
CASIO : PHẦN BÀI TẬP KHÓ Ở PHÍA DƯỚI
Câu 2 Tính '''( )
3
y , (4) ( )
4
y
A 4 và 16 B 5 và 17 C 6 và 18 D 7 và 19
Bài làm 2 Ta có y''' 8 cos 2 , x y(4) 16 sin 2x
'''( ) 8 cos 4; ( ) 16 sin 16
Câu 3 Tính y( )n
A. ( ) 2 sin(2 )
3
n n
2
n n
C. ( ) 2 sin( )
2
n n
2
n n
Bài làm 3 Ta có ' 2 sin(2 ), '' 2 sin(2 2 2 )
2
Bằng quy nạp ta chứng minh ( ) 2 sin(2 )
2
n n
Với 1 ' 2 sin(2 1 )
2
Giả sử ( ) 2 sin(2 )
2
k k
Trang 6suy ra ( 1) ( ) ' 2 1 cos(2 ) 2 1 sin 2 ( 1)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh
Bài 2 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
Câu 1 2 1
2
x y
x
A ( ) 1
1
(1) 3 ! ( 2)
n n
n
n y
1
( 1) ! ( 2)
n n
n
n y
x
C. ( ) 1
1
( 1) 3 ! ( 2)
n n
n
n y
1
( 1) 3 ! ( 2)
n n
n
n y
x
Bài làm 1 Ta có
' 2
3 ( 2)
' , ''
x
4
3.2.3
'''
( 2)
y
x Ta chứng minh ( ) 1
1
( 1) 3 ! ( 2)
n n
n
n y
x
Với 1 ' ( 1) 30 2 3 2
Giả sử ( ) 1
1
( 1) 3 ! ( 2)
k k
k
k y
x
( 1) 3 ! ( 2) ' ( 1) 3.( 1)!
'
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh
Câu 2 y 1 ,a 0
A. ( )
1
(2) !
n n n
n
a n y
ax b B. ( )
1
( 1) ! ( 1)
n n n
n
a n y
1
( 1) !
n n
n
n y
ax b D. ( )
1
( 1) !
n n n
n
a n y
ax b
Bài làm 2 Ta có 2 2.2 3 3.2.34
Ta chứng minh: ( )
1
( 1) !
n n n
n
a n y
ax b
Trang 7Với 1 ' ( 1) 1!1 12 2
ax b ax b đúng
Giả sử ( )
1
( 1) !
k k k
k
a k y
ax b
( 1) ! ( ) ' ( 1) . .( 1)!
'
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh
Câu 3 22 1
5 6
x y
A. ( )
(2) 7 ! (1) 5 !
n
y
( 1) 7 ! ( 1) 5 !
n
y
C. ( ) ( 1) 7 ! ( 1) 5 !
n
y
( 1) 7 ! ( 1) 5 !
n
y
Bài làm 3 Ta có: 2x 1 7(x 2) 5(x 3); x2 5x 6 (x 2)(x 3)
y
x x
Mà
1 ( 1) 1 ! ( 1) ! 1 ( 1) !
,
Nên ( )
( 1) 7 ! ( 1) 5 !
n
y
Câu 4 y cos 2x
A. ( )
1 cos 2
2
n n
2 cos 2
2
n n
C. ( ) 1
2 cos 2
2
n n
2 cos 2
2
n n
Bài làm 4 Ta có ' 2 cos 2 , '' 2 cos 2 2 2 ,
3
''' 2 cos 2 3
2
Trang 8Bằng quy nạp ta chứng minh được ( ) 2 cos 2
2
n n
Câu 5 y 2x 1
A. ( ) 1
( 1) 3.5 (3 1) (2 1)
n n
n
n y
x
B. ( ) 1
( 1) 3.5 (2 1) (2 1)
n n
n
n y
x
C. ( ) 1
( 1) 3.5 (2 1) (2 1)
n n
n
n y
x
D. ( ) 1
( 1) 3.5 (2 1) (2 1)
n n
n
n y
x
Bài làm 5 Ta có
Bằng quy nạp ta chứng minh được: ( ) 1
( 1) 3.5 (2 1) (2 1)
n n
n
n y
x
Câu 6 22 1
3 2
x y
A. ( )
5.( 1) ! 3.( 1) !
n
y
5.( 1) ! 3.( 1) !
n
y
C. ( )
5.( 1) ! 3.( 1) !
:
n
y
5.( 1) ! 3.( 1) !
n
y
Bài làm 6 Ta có: 5 3
y
Bằng quy nạp ta chứng minh được: ( )
5.( 1) ! 3.( 1) !
n
y
Bài 4 Tìm vi phân của các hàm số sau
Câu 1 y x3 2x2
A.dy (3x2 4 )x dx B.dy (3x2 x dx) C.dy (3x2 2 )x dx D.dy (3x2 4 )x dx
Bài làm 1 dy (3x2 4 )x dx
Câu 2 y 3x 2
3 2
2 3 2
3 2
2 3 2
x
Trang 9Bài làm 2 3
2 3 2
x
Câu 3 y sin 2x sin 3x
A.dy cos 2x 3sin 2xcosx dx B.dy 2 cos 2x 3sin 2xcosx dx
C.dy 2cos 2x sin 2xcosx dx D.dy cos 2x sin 2xcosx dx
Bài làm 3 dy 2 cos 2x 3sin 2xcosx dx
Câu 4 y tan 2x
A.dy (1 tan 2 ) 2 x dx B.dy (1 tan 2 ) 2 x dx
C.dy 2(1 tan 2 ) 2 x dx D.dy 2(1 tan 2 ) 2 x dx
Bài làm 4 dy 2(1 tan 2 ) 2 x dx
Câu 5 y 3x 1
A.
2 3
1 ( 1)
x
B.
2 3
3 ( 1)
x
C.
2 3
2 ( 1)
x
D.
2 3
1
3 ( 1)
x
Bài làm 5
2 3
1
3 ( 1)
x
Câu 6 y (3x 1) 10
A.dy 10(3x 1) 9dx B.dy 30(3x 1) 10dx C.dy 9(3x 1) 10dx D.dy 30(3x 1) 9dx
Bài làm 6 dy 30(3x 1) 9dx
Bài 6 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
Câu 1 2
5 6
x y
x x
A. ( )
( 1) 3 ! ( 1) 2 !
n
y
n
y
C. ( )
( 1) 3 ! ( 1) 2 !
n
y
( 1) 3 ! ( 1) 2 !
n
y
Bài làm 1 Ta có:x 3(x 2) 2(x 3); x2 5x 6 (x 2)(x 3)
Trang 10Suy ra 3 2
y
x x
Mà
1 ( 1) 1 ! ( 1) ! 1 ( 1) !
,
Nên ta có: ( )
( 1) 3 ! ( 1) 2 !
n
y
Câu 2 y cos 2x
A. ( ) 1
2 cos 2
2
n n
2 cos 2
2
n n
C. ( )
2 cos 2
2
n n
2 cos 2
2
n n
Bài làm 2 Ta có :
2
' 2 cos 2 , '' 2 cos 2 2 ,
2
Bằng quy nạp ta chứng minh được ( ) 2 cos 2
2
n n
A y/// = 12(x2 + 1) B y/// = 24(x2 + 1) C y/// = 24(5x2 + 3) D y/// = –12(x2
+ 1)
A / / 1
(2 5) 2 5
y
B / / 1
2 5
y
x
C / / 1
(2 5) 2 5
y
D / / 1
2 5
y
x
1
x
có đạo hàm cấp 5 bằng:
A (5)
5
120 ( 1)
y
x
5
120 ( 1)
y x
C (5)
5
1 ( 1)
y
x
5
1 ( 1)
y
x
Trang 11A
3 / /
x x y
B / / 2
2
2 1 1
x y
x
C
3 / /
x x y
2
2 1 1
x y
x
A f///(x) = 80(2x+5)3 B f///(x) = 480(2x+5)2
80(2x+5)3
A / /
3
2 sin
cos
x y
x
2
1 cos
y
x
2
1 cos
y
x
3
2 sin cos
x y
x
A / sin
2
y x
B y/ / sinx
C / / / 3
sin
2
y x
D y(4) sin 2 x
1
x
Đạo hàm cấp 2 của f(x) là:
A / /
2
1 2
(1 )
y
x
B / /
3
2 (1 )
y
x
3
2 (1 )
y
x
4
2 (1 )
y
x
3
x
Phương trình f(4)(x) = –8 có nghiệm x 0;
2
là:
A x =
2
B x = 0 và x =
6
C x = 0 và x =
3
D x = 0 và x =
2
A 4y – y// = 0 B 4y + y// = 0 C y = y/tan2x D y2 = (y/)2 = 4
x
xét 2 mệnh đề:
(I): y// = f//(x) = 23
x (II): y/// = f///(x) = 64
x
Trang 12Mệnh đề nào đúng:
A Chỉ (I) B Chỉ (II) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều
sai
Câu 14 Nếu / /
3
2 sin ( ) cos
x
f x
x
, thì f(x) bằng:
A 1
1
x
xác định trên D = R\{1} Xét 2 mệnh đề:
(I): y/ = f/(x) = 1 2 2 0, 1
(x 1) x
, (II): y// = f//(x) = 4 2 0, 1
(x 1) x
Chọn mệnh đề đúng:
A Chỉ có (I) đúng B Chỉ có (II) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều
sai
Câu 16 Cho hàm số f(x) = (x+1)3 Giá trị f//(0) bằng:
( ) sin
f x x x thì / /
2
f
bằng:
3
y x
Tính 3
1
y có kết quả bằng:
A 3 3
(1)
8
(1) 8
(1) 8
(1) 4
y
A f(10)(1)=0 B f(10)(1) = 10a + b C f(10)(1) = 5a D f(10)(1)= 10a
Câu 21 Cho hàm số y = sin2x.cosx Tính y(4) 6 có kết quả là:
A 1 4 1
3
3
3
3
Trang 13KHAI GIẢNG KHÓA HỌC TEAM 4H30 NHÓM 2000 – GV TRẦN HOÀI THANH
CASIO + TỰ LUẬN BẢN CHẤT SIÊU TỐC CỰC RẺ - CỰC CHẤT – CASIO CỰC NHANH Quyền lợi:
+) Nhận tài liệu thường xuyên free và tự động không cần cmt mail !!!
+) Được bạn khác gọi dậy từ 4h30 mỗi sáng học bài và thảo luận bài tập
Với những gì 1999 đang làm và đã đạt được, thầy tin khóa 2000 học sớm sẽ bứt phá và đạt điểm số cao !!!
Hiện team 99, 2000 có 280 thành viên
GÓI 1: 20K/NĂM:
Quyền lợi:
+) Nhận tài liệu thường xuyên free và tự động không cần cmt mail !!!
+) Được bạn khác gọi dậy từ 4h30 mỗi sáng học bài và thảo luận bài tập tại group THỦ THUẬT CASIO THPT
Links group: https://www.facebook.com/groups/casiotracnghiem/
GÓI 2: 50K/NĂM:
+) Bao gồm quyền lợi gói 20k
+) Được xem video bài giảng của thầy miễn phí
+) Giảm giá 50k cho mỗi cuốn sách khi mua sách của thầy
Cuốn SỨ MỆNH CUỘC ĐỜI: 100k còn 50k – Link sách : http://tinyurl.com/smcuocdoi
Cuốn THUẬT TOÁN CASIO GIẢI HÀM SỐ 12: 100K còn 50k – Link sách:
https://tinyurl.com/thuthuatcasio
Cuốn THUẬT TOÁN CASIO CÔNG PHÁ TOÁN 12: 150K – còn 100k- Link sách:
https://tinyurl.com/thuthuatcasio12
GÓI 3: 100K/ NĂM
+) Bao gồm quyền lợi gói 50k
+) Hỗ trợ giải toán casio 11, 12 đến khi thi xong kì thi 2017-2018
+) Tặng sách SỨ MỆNH CUỘC ĐỜI ( các em trả phí ship nhanh nhé)
CÁCH THAM GIA (NHƯ KHÓA 1999 NĂM 2017):
Bước 1: Vui lòng gửi MÃ THẺ + SERI THẺ (TẤT CẢ CÁC NHÀ MẠNG – GHI RÕ NHÀ
MẠNG) vào fb thầy:
Trang 14Bước 2: Sau khi gửi mã thẻ thì viết tên gói học ( gói 1; 2; 3) + sđt + mail để thầy add nhóm
(Bạn nào chọn gói 3 thì ghi rõ địa chỉ nhà để thầy tặng sách)
SAU KHI HOÀN THÀNH 2 BƯỚC TRÊN SẼ ĐƯỢC THẦY LIÊN LẠC ĐỂ HƯỚNG DẪN CÁCH HỌC NGAY LẬP TỨC !!!