Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a Không tồn tại f’x b f’x = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’x = 0 được gọi là
Trang 1CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) f(x0) (f(x) f(x0))
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1 Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a,b) thì f tăng
2 Nếu f’(x) < 0 với mọi x (a,b) thì f giảm
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0
Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị
Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f
Trang 2Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0
a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0
b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0
c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0.
Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0
a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu
b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1 Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút
2 Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm)
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]
Biến kinh tế:
QS Quantity Supplied Lượng cung
QD Quantity Demanded Lượng cầu
Trang 3P Price Giá cả
TR Total Revenue Tổng doanh thu
Hàm số kinh tế:
• Hàm sản xuất : Q = f(K,L)
• Hàm doanh thu : TR = PQ
• Hàm chi phí : TC = f(Q)
• Hàm lợi nhuận : = TR - TC
Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời với
giá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau:
Thuê mặt bằng,
điện nước
50.000đ/ngày
Trang 4Bún 300đ/tô
Gia vị 200đ/tô
Thịt bò, heo 2.000đ/tô
Nhân viên 500đ/tô
Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:
• Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản
lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị
• Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi
L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:
• Chi phí biên MC: (Marginal Cost)
Hàm chi phí: TC = TC(Q)
MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn
vị
• Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét
TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100
• Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)
Hàm doanh thu: TR = PQ
L
Q 5
Trang 5• Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị
• Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị
• Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q = 1.000 – 14P
Tìm MR khi p = 40 và p = 30
• Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit)
Hàm lợi nhuận: = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))
Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị
• Tối đa hóa lợi nhuận:
Hàm chi phí: TC = TC(x)
Hàm cầu: x = QD = f(P)
Giả sử thị trường độc quyền:
Hàm lợi nhuận: = TR – TC = Px – TC(x)
0 ) (
0 ) (
0
0
2 2 2
2
dx
TC TR d dx
TC TR d
dx
d
dx
d
Trang 6• Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin:
Định phí: FC = 600
Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x
Hàm cầu: x = -7/8 P + 100
Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa