Lý thuyết và bài tập về Vi phân và đạo hàm cấp cao Toán 11

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO

TOÁN 11

1 Vi phân

   

df x  f x dx hoặc dy y dx

2 Đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số y f x  có đạo hàm f x

+ Nếu hàm số f x có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f x , kí  

hiệu là f x

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: S s t 

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0 là: v t 0 S t 0

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t0 là: a t 0 S t 0

+ Đạo hàm cấp n n N n, 2 của hàm số y f x , kí hiệu là  n  

f x hay  n

y là đạo hàm cấp một của hàm số n 1  

f  x , tức là  n   n 1  

f x  f  x 

Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản

+)   

sin sin

2

+)   

cos cos

2

+) Nếu nm thì   

 1   1 

n

+) Nếu nm thì   

0

n m

+ ) ysinax b 

  sin

2

+ ) ycosax b 

 

cos

2

+ ) y 1

ax b





   

1 !.n n

n

n

n a y

ax b 





+ ) m

y ax b

m



3 Bài tập

1

x

f x

x



  Tìm

  30  

f x :

30! 1

30! 1

30! 1

30! 1

Hướng dẫn giải Chọn B

Với g x  ax b k  x b a,k R k, 0

1 !

n n n

n

a





1

x

  

31 30

31

30!

30! 1 1

x



Câu 2: Cho hàm số ycosx Khi đó (2016)

( )

y x bằng

A cos x B sin x C sin x D cos x

Hướng ẫn giải

sin cos( )

2

y   x x

; y  cosxcos(x);

Dự đoán y( )n ( )x cos(xn)

Dễ thấy MĐ đúng khi n1 Giả sử MĐ đúng khi nk k( 1), tức là ta có

( )

( ) cos( )

2

( ) [ ( )] [ cos( )] =-sin( )=sin(- )=cos( )

Vậy

MĐ đúng khi n k 1 nên nó đúng với mọi n

Do đó (2016)

( ) cos( 1008 ) cos

Chọn D

Câu 3: Cho hàm số ycos 22 x Giá trị của biểu thức yy16y16y8 là kết quả nào sau đây?

2

x

2 , 3

Hướng ẫn giải

2cos 2 2sin 2 2sin 4

y   x x  x, y  8cos 4x, y 32sin 4x

2

16 16 8 32sin 4 8cos 4 32sin 4 16cos 2 8

2

16cos 2x 8cos 4x 8 0

Chọn A

3

  Phương trình

  4  

8

f x   có các nghiệm thuộc đoạn

0;

2



  là:

A x0,

3

2

x 

 C x0,

2

 D x0,

6



Hướng ẫn giải

  2sin 2

3

f x    x 

3

f x    x 

3

f x   x 

  4  

16 cos 2

3

  4   1 2  

8 cos 2

6



  





Vì 0;

2

x  

   nên lấy được

2

x

Chọn B

Câu 5: Cho hàm số y 2x x 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A y y3 1 0 B y y2 1 0 C 3 y y2  1 0 D 2 y y3  3 0

Chọn A

Hướng dẫn giải :

Ta có:

2

1 2

x y

x x



 

1 2

y

 







3

3 2

1

2

x x







3 3

sin cos

1 sin cos

y





 Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Hướng dẫn giải :

sin cos sin cos sin cos

sin cos

1 sin cos



cos sin , sin cos

0

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí