Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm,phương pháp lặp tìm nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phânthường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn đã đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THANH HƯỜNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THANH HƯỜNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS TS Đặng Quang Á

2 TS Vũ Vinh Quang

Hà Nội – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự hướng dẫnkhoa học của GS TS Đặng Quang Á và TS Vũ Vinh Quang Những kết quả trìnhbày trong Luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ côngtrình của ai khác Các kết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chươngtrình do chính tôi thiết kế và thử nghiệm trên môi trường MATLAB, số liệu làhoàn toàn trung thực Các kết quả được công bố chung đã được cán bộ hướng dẫn

và đồng tác giả cho phép sử dụng trong Luận án

Nghiên cứu sinhNguyễn Thanh Hường

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cácThầy hướng dẫn, GS TS Đặng Quang Á và TS Vũ Vinh Quang Trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu và thực hiện Luận án, các Thầy luôn kiên nhẫn, tậntình chỉ bảo, dìu dắt và giúp đỡ em Chính niềm say mê khoa học, sự nghiêm khắctrong khoa học cùng với đó là sự quan tâm, động viên và khích lệ của các Thầy làđộng lực khiến em không ngừng nỗ lực, cố gắng vượt qua mọi khó khăn, vất vả đểhoàn thành Luận án

Em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô và các thành viên trong nhóm Seminarkhoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ thông tin, ViệnCông nghệ Thông tin cùng các cán bộ nghiên cứu Những ý kiến nhận xét và đónggóp vô cùng quý báu trong các buổi báo cáo và thảo luận đã giúp em hoàn thànhtốt nhất Luận án của mình

Em xin chân thành cảm ơn cơ sở đào tạo - Viện Công nghệ Thông tin và Họcviện Khoa học và Công nghệ Quý Viện và Học viện đã luôn tạo mọi điều kiệnthuận lợi để em hoàn thành tốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình tại đây

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, các bạn bè đồng nghiệp, giađình và người thân đã luôn đồng hành, hỗ trợ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận án

Xin chân thành cảm ơn!

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu

trên [a, b]

cấp một liên tục trên Ω × R

trên Ω

Danh sách hình vẽ

2.1 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.1 46

2.2 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.1 47

2.3 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.2 48

2.4 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.2 48

2.5 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.1.2 49

2.6 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.3 49

2.7 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.3 50

2.8 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.3 50

2.9 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.4 59

2.10 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.5 61

2.11 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.5 61

2.12 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.6 63

2.13 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.7 64

2.14 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.10 66

2.15 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.11 69

2.16 Đồ thị của các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.15 75

2.17 Đồ thị của các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.16 76

2.18 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.17 84

2.19 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.18 86

2.20 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.19 86

2.21 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.20 87

2.22 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.20 87

3.1 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 2π2 111

3.2 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 12π2 111 3.3 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.1 112

3.4 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.4 113

3.5 Đồ thị của sai số e(m) và tỉ số r(m) trong Ví dụ 3.3 113

3.6 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.3 114

3.7 Đồ thị của sai số e(m) và tỉ số r(m) trong Ví dụ 3.4 114

3.8 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.4 114

3.9 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.5 123

3.10 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.6 124

3.11 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.6 124

3.12 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.7 124

3.13 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.7 125

3.14 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.8 126

3.15 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.8 126

Danh sách bảng

2.1 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.1 46

2.2 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.4 59

2.3 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 0 73

2.4 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 0 74

2.5 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.14 với xấp xỉ đầu v0 = 0 74

2.6 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.15 với xấp xỉ đầu v0 = 0 75

2.7 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.16 với xấp xỉ đầu v0 = 0 75

2.8 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.17 84

2.9 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.21 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 95

2.10 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.22 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 96

2.11 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.23 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 96

2.12 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.24 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 97

2.13 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.25 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 98

3.1 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.1 trên lưới đều 65 × 65 nút110 3.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.2 112

3.3 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.5 122

3.4 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.6 123

3.5 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.7 125

3.6 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.8 125

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu iii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức bổ trợ 11

1.1 Một số định lý điểm bất động 11

1.1.1 Giới thiệu chung 11

1.1.2 Định lý điểm bất động Schauder 12

1.1.3 Định lý điểm bất động Banach 14

1.2 Hàm Green đối với một số bài toán 16

1.3 Đạo hàm số, tích phân số với sai số cấp cao 21

1.3.1 Đạo hàm số 21

1.3.2 Tích phân số 22

1.4 Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương trình Poisson 24 1.5 Phương pháp giải hệ phương trình lưới 26

1.5.1 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình ba điểm 26

1.5.2 Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm 29

Chương 2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn 34 2.1 Bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương 35

2.1.1 Trường hợp điều kiện biên tổ hợp 35

2.1.2 Trường hợp điều kiện biên Dirichlet 50

2.1.3 Trường hợp điều kiện biên phi tuyến 68

2.2 Bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn không địa phương 76

2.2.1 Trường hợp điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản 76

2.2.2 Trường hợp điều kiện biên phi tuyến 88

Chương 3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán

3.1 Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa 100

3.1.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 102

3.1.2 Phương pháp giải và ví dụ số 106

3.2 Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa loại Kirchhoff 115 3.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 117

3.2.2 Phương pháp giải và ví dụ số 120

Kết luận chung 128

Danh mục các công trình đã công bố của Luận án 129

Tài liệu tham khảo 130

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của Luận án

Nhiều hiện tượng trong Vật lý, Cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hìnhhóa bởi các bài toán biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạohàm riêng với các loại điều kiện biên khác nhau Việc nghiên cứu định tính cũngnhư phương pháp giải các bài toán này luôn là những chủ đề thu hút được nhiều sựquan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P Agawarl, E Alves,

P Amster, Z Bai, Y Li, T.F Ma, H Feng, F Minhós, Y.M Wang, Đặng Quang

Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Hữu Công, Nguyễn Văn Đạo, LêLương Tài, Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm,phương pháp lặp tìm nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phânthường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn đã được xét đến trong các công trìnhcủa tác giả Đặng Quang Á và các cộng sự trong [17]-[24] Tác giả Phạm Kỳ Anhcũng có một số công trình nghiên cứu về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm, cácphương pháp xấp xỉ nghiệm, của bài toán biên tuần hoàn (xem [10], [11]) Sựtồn tại nghiệm, tồn tại nghiệm dương của các bài toán về dầm được xét đến trongcác công trình của tác giả T.F Ma (xem [45]-[50]) Lý thuyết và vấn đề giải số cácbài toán biên tổng quát đã được đề cập đến trong các tài liệu [5], [12], [37], [60], Trong số các bài toán biên, bài toán biên cho phương trình vi phân thường vàphương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn nhận được sự quan tâm lớncủa các nhà nghiên cứu bởi chúng là mô hình toán học của nhiều hiện tượng trongthực tiễn như sự uốn cong của dầm và của bản, Có thể chia phương trình viphân cấp bốn thành hai loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương và phươngtrình vi phân cấp bốn không địa phương Phương trình vi phân cấp bốn có chứathành phần tích phân được gọi là phương trình vi phân cấp bốn không địa phươnghoặc phương trình loại Kirchhoff Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình

vi phân cấp bốn địa phương Dưới đây, ta sẽ điểm qua một số phương pháp tiêubiểu và một số công trình sử dụng các phương pháp này khi nghiên cứu các bàitoán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn

Phương pháp được kể đến đầu tiên là phương pháp biến phân - phương phápphổ biến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên phi tuyến Ý tưởng

của phương pháp là đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của một phiếmhàm Các định lý về điểm tới hạn được sử dụng trong nghiên cứu sự tồn tại cực trịcủa phiếm hàm Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn loại Kirchhofftrong [45] năm 2000

giả thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán

liên tục Lipschitz, p(0) = h(0) = 0 Trong công trình này, các tác giả đặt ra rấtnhiều giả thiết phức tạp về điều kiện tăng trưởng tại vô cùng của các hàm f, g, p, h.Phương pháp biến phân không chỉ áp dụng đối với các bài toán biên cho phươngtrình vi phân thường mà còn áp dụng với bài toán biên cho phương trình đạo hàmriêng Trong [57] năm 2010, R Pei xét bài toán biên Navier cho phương trình songđiều hòa

u = ∆u = 0, x ∈ Γ,

tác giả đã chứng minh được rằng bài toán trên có ít nhất ba nghiệm không tầmthường nếu hàm f thỏa mãn các điều kiện sau:

Phương pháp tiếp theo được sử dụng rộng rãi là phương pháp nghiệm trên vànghiệm dưới Kết quả chính của phương pháp này khi áp dụng cho các bài toánbiên phi tuyến như sau: Nếu bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới thì với một sốgiả thiết, bài toán có ít nhất một nghiệm và nghiệm này nằm trong khoảng nghiệmtrên và nghiệm dưới Đồng thời ta có thể xây dựng được hai dãy đơn điệu với cácxấp xỉ đầu là nghiệm trên và nghiệm dưới hội tụ tới nghiệm cực đại và nghiệm cực

tiểu của bài toán Trong trường hợp hai nghiệm cực đại và cực tiểu trùng nhau thìbài toán có nghiệm duy nhất.

Sau đây ta điểm qua một số công trình sử dụng phương pháp nghiệm trên vànghiệm dưới khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyếncấp bốn

Đầu tiên, xét bài toán trong công trình [14] năm 2007

dưới của bài toán nếu

Trong công trình này, Z Bai đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán với

tức là tồn tại hàm dương h(z) trên [0, ∞) sao cho

dưới của bài toán nếu

Cũng với giả thiết bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới α, β thỏa mãn α00 ≤ β00,

f (x, u, y, v, z) giảm theo u, y, tăng chặt theo z, các tác giả thiết lập được sự tồntại duy nhất nghiệm của bài toán

Năm 2006, trong công trình [68], Y.M Wang xét bài toán

Ngoài các công trình trên, ta có thể kể đến nhiều công trình sử dụng phươngpháp nghiệm trên và nghiệm dưới nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến (xem[13], [29], [52], [67], [69], [70], ) Từ các công trình trên ta thấy rằng, phươngpháp nghiệm trên và nghiệm dưới có thể thiết lập được sự tồn tại nghiệm, tínhduy nhất nghiệm, xây dựng được dãy lặp hội tụ tới nghiệm nhưng một giả thiếtkhông thể thiếu được là bài toán phải có nghiệm trên và nghiệm dưới, trong khi đótìm được các nghiệm này không phải là việc dễ dàng Ngoài ra ta còn cần các giảthiết khác đặt lên hàm vế phải như điều kiện tăng trưởng tại vô cùng hoặc điềukiện phức tạp như điều kiện Nagumo

Ngoài phương pháp biến phân, phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới, các nhàkhoa học còn dùng phương pháp sử dụng các định lý điểm bất động trong nghiêncứu các bài toán biên phi tuyến Áp dụng phương pháp này, người ta đưa bài toán

đã cho về bài toán tìm điểm bất động của một toán tử, sau đó áp dụng các định lýđiểm bất động đối với toán tử này Ta có thể liệt kê rất nhiều công trình sử dụngphương pháp trên (xem [4], [7], [50], [64], [65], ) Cụ thể, công trình [4] năm 1984của R.P Agarwal và Y.M Chow xét bài toán với điều kiện biên Dirichlet

u(a) = A1, u0(a) = A2, u(b) = B1, u0(b) = B2.Trong công trình này, các tác giả chỉ ra nghiệm của bài toán đã cho là điểm bấtđộng của toán tử T

a

cách sử dụng Nguyên lý điểm bất động Schauder các tác giả đã chứng minh được

sự tồn tại nghiệm của bài toán, áp dụng định lý điểm bất động Banach cho ánh

xạ co, các tác giả chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán,đồng thời xây dựng dãy lặp Picard với xấp xỉ đầu là một nghiệm xấp xỉ của bàitoán hội tụ tới nghiệm duy nhất này

Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn loại Kirchhoff

0

trong công trình [50] của T.F Ma và A.L.M Martinez năm 2010 Các tác giả đãđưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với ẩn hàm

u(x) = T u(x) =

0

G(x, t)z(t)dt,trong đó

trong đó A là hằng số không âm, f, g là các hàm liên tục

Chú ý rằng, trong các công trình áp dụng phương pháp điểm bất động nghiêncứu các bài toán biên phi tuyến, phần lớn các tác giả sử dụng cách tiếp cận đưabài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm Sử dụng các định lý

về tồn tại điểm bất động như Định lý điểm bất động Schauder, Leray-Schauder,Krassnosel’skii, đối với toán tử này ta chỉ thiết lập được sự tồn tại nghiệm củabài toán Sử dụng Định lý điểm bất động Bannach, ta không những thiết lập được

sự tồn tại duy nhất nghiệm mà còn đưa ra được phương pháp lặp hội tụ cấp sốnhân tìm nghiệm Tuy nhiên cũng phải để ý rằng, việc lựa chọn toán tử và xéttoán tử này trên một không gian phù hợp sao cho các giả thiết đặt lên các hàmràng buộc là đơn giản mà vẫn đảm bảo các điều kiện để áp dụng được các định

lý điểm bất động trong nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải các bàitoán biên phi tuyến đóng vai trò vô cùng quan trọng

Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp xỉnghiệm của các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trìnhđạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn là phương pháp sai phân hữu hạn (xem [46],[53], [63], [70], ) Bằng cách thay thế các đạo hàm bởi các công thức sai phân,bài toán đã cho được rời rạc thành các hệ phương trình đại số Giải hệ này ta thuđược nghiệm xấp xỉ của bài toán tại các nút lưới Chú ý rằng khi sử dụng phươngpháp sai phân hữu hạn nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, nhiều công trìnhtiếp cận theo hướng công nhận sự tồn tại nghiệm của bài toán (không xét về mặtđịnh tính), rời rạc hóa bài toán ngay từ ban đầu Cách làm này có nhược điểm làkhó đánh giá được sự ổn định, hội tụ của lược đồ sai phân và khó có thể đánh giásai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ

Khi nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, ngoài các phương pháp phổ biếnđược trình bày ở trên còn có thể kể đến một số phương pháp khác như phươngpháp phần tử hữu hạn, phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp chuỗi Fourier,phương pháp sử dụng lý thuyết bậc Brouwer, bậc Leray-Schauder, Có thể kếthợp các phương pháp nêu trên để nghiên cứu đầy đủ cả về mặt định tính lẫn địnhlượng của bài toán

Với sự phát triển không ngừng của khoa học, kỹ thuật, vật lý, cơ học, xuấtphát từ những bài toán thực tế, các bài toán biên mới được đặt ra ngày càng nhiều

và phức tạp trong cả phương trình lẫn điều kiện biên Mỗi tác giả sẽ có phươngpháp, cách tiếp cận, kỹ thuật khác nhau với từng bài toán Mỗi phương pháp đề ra

sẽ có những ưu điểm và hạn chế riêng và khó có thể khẳng định phương pháp nàothực sự tốt hơn phương pháp nào từ lý thuyết cho đến thực nghiệm Tuy nhiên,chúng tôi sẽ hướng tới phương pháp nghiên cứu được toàn diện cả về mặt địnhtính lẫn định lượng của các bài toán sao cho các điều kiện được đặt ra là đơn giản

và dễ kiểm tra, đưa ra những ví dụ minh họa cho tính ứng dụng của kết quả lýthuyết, so sánh được kết quả chúng tôi đạt được so với kết quả đã có của một số

tác giả khác về một mặt nào đó.

Đây chính là mục đích và lí do chúng tôi lựa chọn đề tài Luận án "Giải gầnđúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn"

2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của Luận án

Đối với một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân thường vàphương trình đạo hàm riêng cấp bốn là mô hình các bài toán trong lý thuyết uốncủa dầm và của bản:

- Nghiên cứu định tính (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dươngcủa nghiệm) bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và nguyên lý cực đạikhông cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, của hàm

vế phải

- Xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán

- Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví

dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tácgiả khác

3 Phương pháp và nội dung nghiên cứu

- Sử dụng cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đưa các bài toán biên phituyến về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, sửdụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân,nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và một số tính chất khác củanghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trìnhđạo hàm riêng cấp bốn địa phương và không địa phương

- Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội

tụ của phương pháp

- Đưa ra một số ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng vàchưa biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lýthuyết và kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp lặp tìm nghiệm

4 Kết quả đạt được của Luận án

Luận án đề xuất một phương pháp đơn giản nhưng rất hiệu quả nghiên cứu sựtồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải năm bài toán biên cho phươngtrình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương, không địa phương với các loạiđiều kiện biên khác nhau và hai bài toán biên cho phương trình song điều hòa vàphương trình song điều hòa loại Kirchhoff nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán

đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian.Các kết quả đạt được là:

- Thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán dưới các điềukiện dễ kiểm tra, trong đó bài toán biên cho phương trình vi phân thường cấp bốnđịa phương với điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp và bài toán biên chophương trình song điều hòa, xét được tính dương của nghiệm

- Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ củaphương pháp với tốc độ hội tụ cấp số nhân

- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lýthuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp trong Luận án

so với phương pháp của một số tác giả khác

- Đưa ra các thử nghiệm số kiểm tra sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm.Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A8] trong Danh mục các côngtrình của tác giả liên quan đến Luận án

5 Cấu trúc của Luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của Luận án đượctrình bày trong 3 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm: một số định lý điểm bấtđộng; hàm Green đối với một số bài toán; các công thức tính gần đúng đạo hàm

và tích phân với sai số cấp hai và cấp cao hơn; lược đồ sai phân với độ chính xáccấp bốn cho phương trình Poisson và phương pháp giải hệ phương trình lưới Đây

là những kiến thức cơ bản, có vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho Chương 2

và Chương 3 của Luận án

Trong Chương 2, với cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phươngtrình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, Luận án thiết lập sựtồn tại và duy nhất nghiệm đối với năm bài toán biên cho phương trình vi phânthường phi tuyến cấp bốn địa phương và không địa phương với các điều kiện biênkhác nhau, trong đó với hai bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn địaphương với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện biên tổ hợp, Luận án xét đượctính dương của nghiệm Trên cơ sở phương trình toán tử, Luận án đề xuất phươngpháp lặp tìm nghiệm và chứng minh sự hội tụ với tốc độ hội tụ cấp số nhân củaphương pháp lặp Luận án cũng đưa ra các ví dụ trong cả hai trường hợp đã biếttrước nghiệm đúng hoặc không biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúngđắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp Chú ý rằng trongcác ví dụ này, một số ví dụ được phân tích để thấy được lợi thế trong phương pháp

đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác

Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối với hai

bài toán biên cho phương trình song điều hòa và phương trình song điều hòa loạiKirchhoff, Luận án cũng thu được các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và

sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm

Trong Luận án, các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trườngMATLAB 7.0 trên máy tính PC với CPU Intel Core i3, 4GB RAM

Các kết quả trong Luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:

1 Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 11, Ba Vì, 24-27/4/2013

2 Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2015

3 Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 21-23/4/2016

4 Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 12-13/11/2016

5 Hội nghị Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’ 10),

Chương 1

Kiến thức bổ trợ

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng trong các chươngtiếp theo của Luận án Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1],[16], [34], [38], [39], [61], [62], [71]

1.1 Một số định lý điểm bất động

Định nghĩa 1.1 (Xem [34]) Giả sử X là không gian Banach, T là ánh xạ đi từ

X vào X hoặc là ánh xạ đi từ một tập con của X vào X Điểm x ∈ X được gọi làđiểm bất động của T nếu x = T x

Các định lý điểm bất động đảm bảo sự tồn tại điểm bất động Các định lý này

có tính ứng dụng cao trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phươngtrình Chẳng hạn như, xét phương trình

F (x) = 0,

ở đây F là một hàm thực hoặc tổng quát hơn là một toán tử trong không gianBanach Để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình trên ta chỉ cần chứng minhánh xạ

x 7→ x − λT (x)F (x)

có điểm bất động, trong đó λ > 0 là một tham số, T (x) là toán tử tuyến tính khảnghịch Để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động ta phải quan tâm đến các điều kiệnđặt lên ánh xạ cũng như các điều kiện đặt lên miền xác định của ánh xạ đó.Định nghĩa 1.2 (Xem [34]) Không gian Banach X được gọi là có tính chất điểmbất động nếu mọi ánh xạ liên tục từ X vào X đều có điểm bất động

Ví dụ 1.1 Bất kỳ khoảng đóng, bị chặn J = [a, b] ⊂ R đều là không gian có tínhchất điểm bất động Thật vậy, với ánh xạ liên tục bất kỳ

f : J → J

ta đều có

Do đó phương trình

x − f (x) = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc J , nghiệm này chính là điểm bất động của f

Ví dụ 1.2 Tổng quát hơn Ví dụ 1.1, Định lý điểm bất động Brouwer khẳng định:

điểm bất động

Định nghĩa 1.3 (Xem [34]) Giả sử X là không gian Banach, ℵ là lớp các ánh xạliên tục f : X → X Nếu mỗi f ∈ ℵ đều có điểm bất động thì X được gọi là khônggian có tính chất điểm bất động đối với lớp các ánh xạ thuộc ℵ

Ví dụ 1.3 Mọi tập khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X đều

là không gian có tính chất điểm bất động đối với lớp các ánh xạ compact (theoĐịnh lý điểm bất động Schauder)

Ví dụ 1.4 Không gian mêtric đầy đủ là không gian có tính chất điểm bất độngđối với lớp các ánh xạ co (theo Định lý điểm bất động Banach)

Định lý điểm bất động Brouwer, Schauder và Định lý điểm bất động Banach sẽđược trình bày chi tiết hơn trong phần tiếp theo bởi tính ứng dụng rộng rãi củachúng cũng như để phục vụ cho các kết quả chính của Luận án

Ngoài ba định lý nêu trên ta phải kể đến một số định lý quan trọng khác: Định

lý điểm bất động Leray-Schauder áp dụng đối với toán tử compact trong khônggian Banach, Định lý điểm bất động Bourbaki-Kneser cho các ánh xạ đơn điệugiảm trên các tập sắp thứ tự một phần, các định lý điểm bất động trên khônggian Banach sắp thứ tự, Định lý điểm bất động Krassnosel’skii áp dụng với toán

tử compact trên nón trong không gian Banach, (các định lý này có thể xem chitiết trong [71])

Trước tiên ta xét một phiên bản của Định lý điểm bất động Schauder trongkhông gian hữu hạn chiều:

Định lý 1.1 (Xem [71]) (Định lý điểm bất động Brouwer (1912))

là ánh xạ liên tục Khi đó f có điểm bất động

Ứng dụng đặc biệt quan trọng của Định lý điểm bất động Brouwer là Nguyên

lý tồn tại nghiệm cho hệ phương trình trong không gian hữu hạn chiều - Nguyên

lý có vai trò quan trọng trong phương pháp Galerkin cho toán tử đơn điệu (xemtrong [71]) Tuy nhiên, Định lý điểm bất động Brouwer có một hạn chế là chỉ ápdụng với các ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều Khi xét sự tồn tạinghiệm của các phương trình, ta thường xét trên các không gian hàm là các khônggian Banach vô hạn chiều Lúc này ta cần đến phiên bản mở rộng của Định lýBrouwer áp dụng với các toán tử trong không gian vô hạn chiều - Định lý điểmbất động Schauder

Định nghĩa 1.4 (Xem [71]) Cho X, Y là các không gian Banach Toán tử T :

D ⊂ X → Y được gọi là compact nếu

(i) T liên tục;

(ii) T ánh xạ mọi tập bị chặn vào tập compact tương đối

Ví dụ 1.5 (Xem [71]) Cho hàm liên tục

K : [a, b] × [a, b] × [−R, R] → K,trong đó −∞ < a < b < +∞, 0 < R < ∞ và K = R, C Ký hiệu

D = {x ∈ C([a, b], K) : kxk ≤ R},

Khi đó các toán tử tích phân

Định lý 1.2 (Xem [71]) (Định lý điểm bất động Schauder (1930))

Giả sử D là tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X và

T : D → D là toán tử compact Khi đó T có điểm bất động

Định lý 1.3 (Xem [71]) (Phiên bản khác của Định lý điểm bất động Schauder)Giả sử D là tập con khác rỗng, lồi, compact trong không gian Banach X và T :

D → D là toán tử liên tục Khi đó T có điểm bất động

Một ứng dụng cơ bản đầu tiên phải kể đến của Định lý điểm bất động Schauder

là Định lý Peano về sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị ban đầu đối với phươngtrình vi phân cấp một Ngoài ra, định lý này còn có nhiều ứng dụng quan trọngkhác trong giải tích hàm và giải tích số như chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phươngtrình tích phân với tham số bé

Định nghĩa 1.5 (Xem [71]) Toán tử T : D ⊆ X → X trên không gian mêtric(X, d) được gọi là co với hệ số q khi và chỉ khi tồn tại 0 ≤ q < 1 sao cho

Định lý 1.4 (Xem [71]) (Định lý điểm bất động Banach (1922))

a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: T có duy nhất một điểm bất động trên D, tức

là phương trình (1.1.1) có duy nhất nghiệm x

c) Đánh giá sai số: Với mọi k = 0, 1, 2, ta có đánh giá sai số tiên nghiệm

trong việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính, giải hệ phương trình phi tuyến,giải phương trình tích phân tuyến tính, giải phương trình toán tử tuyến tính, Trong thực tế khi áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải các bài toánbiên phi tuyến, ta thường đưa bài toán đã cho về phương trình điểm bất động

u = T u với u là nghiệm của bài toán đã cho hoặc phương trình ϕ = T ϕ với ϕ làmột hàm trung gian Sau đó để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán, tức là sựtồn tại điểm bất động của toán tử T , ta có thể sử dụng các định lý về sự tồn tạiđiểm bất động như Định lý điểm bất động Schauder Để chỉ ra tính duy nhất củanghiệm đồng thời đề xuất phương pháp lặp giải bài toán, ta sử dụng Định lý điểmbất động Banach Sự hữu hiệu của phương pháp nêu trên thể hiện rất rõ trong cáckết quả của Luận án được trình bày chi tiết trong các chương tiếp theo

1.2 Hàm Green đối với một số bài toán

Xét bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp

n với các điều kiện biên thuần nhất

số thực

Định nghĩa 1.6 (Xem [51]) Hàm G(x, t) được gọi là hàm Green của bài toán(1.2.1), (1.2.2) nếu xem như hàm của biến x, với mọi t ∈ (a, b), nó thỏa mãn cácđiều kiện sau:

(i) Trên [a, t) và (t, b], G(x, t) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tục tới cấp n

và thỏa mãn phương trình (1.2.1) trong (a, t) và (t, b), tức là:

Xét bài toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp

n với các điều kiện biên thuần nhất

ở đây hàm vế phải f (x) là hàm liên tục trong (a, b).

Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa tính duy nhất nghiệm của bài toán (1.2.3),(1.2.4) với bài toán thuần nhất tương ứng và biểu diễn của nghiệm này qua hàmGreen

Định lý 1.6 (Xem [51]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất tương ứng với bài toán(1.2.3), (1.2.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.2.3), (1.2.4) có nghiệmduy nhất và nghiệm này được biểu diễn dưới dạng

y(x) =

a

G(x, t)f (t)dt,

ở đây G(x, t) là hàm Green của bài toán thuần nhất tương ứng

Tiếp theo, ta xét một số ví dụ cụ thể về hàm Green của các bài toán biên chophương trình vi phân cấp hai và cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau Cáchàm Green này đều được sử dụng trực tiếp trong chương sau của Luận án

Ví dụ 1.7 Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai

Từ điều kiện (iv) ta có

Cuối cùng, từ điều kiện (iii) ta suy ra

trong đó G(x, t) là hàm Green được xác định ở (1.2.9)

Ví dụ 1.8 Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai

Chú ý 1.2 Nghiệm của bài toán

Ví dụ 1.9 Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai

Xét các điều kiện (i)-(iv) trong Định nghĩa 1.6 Từ điều kiện (i) ta suy ra hàmGreen có dạng sau

G(x, t) =

(

Từ điều kiện (iv) ta có

Hàm Green của bài toán được xác định như sau

a ≤ x ≤ t ≤ b,

b − a

i,

h = (b − a)/n, là các điểm lưới cách đều nhau Cho giá trị của hàm tại các điểm

và cấp hai của hàm tại các điểm lưới với sai số cấp hai và cấp cao hơn nhờ sử dụng

đa thức nội suy Lagrange (xem [1], [39])

+ Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tại ba điểm ta thu được các công thức tính

+ Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tại năm điểm ta thu được các công thức tínhgần đúng đạo hàm cấp một với sai số cấp bốn và đạo hàm cấp bốn với sai số cấpmột như sau:

ở đây f (x) là hàm số liên tục trên [a, b] và trơn tới mức cần thiết.

b) Công thức Simpson (xem [1])

Để tránh dùng chỉ số không nguyên, ta chia đoạn [a, b] thành 2n phần bằngnhau với độ dài h = (b − a)/(2n) Khi đó

Cho hàm z = f (x, y) liên tục trên miền chữ nhật Ω Giả thiết đoạn [a, b] được chia

(j = 0, 1, 2, , 2n) Khi đó ta có công thức Simpson tính gần đúng tích phân hai

1.4 Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương

trình Poisson

Nội dung của phần này được tham khảo trong tài liệu [61]

Trong mặt phẳng xét phương trình Poisson

Đối với toán tử sai phân

ta có

2 1

2

1u + h

2 2

Do đó

2 1

1.5 Phương pháp giải hệ phương trình lưới

Một trong những phương pháp số được sử dụng phổ biến trong xấp xỉ nghiệmcủa các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàmriêng là phương pháp sai phân hữu hạn Bằng cách thay thế các đạo hàm bằng cáccông thức sai phân, bài toán ban đầu được đưa về bài toán sai phân trên một lướiđiểm, từ đó dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số Giải hệ này ta thu được xấp

xỉ của nghiệm của bài toán tại các nút lưới Trong phần này ta xét phương pháptruy đuổi giải hệ phương trình ba điểm với ma trận các hệ số có dạng ba đườngchéo trội và phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm.Đây là các hệ phương trình lưới thu được khi rời rạc hóa các bài toán biên chophương trình vi phân thường cấp hai, bài toán biên cho phương trình elliptic cấphai

Đây là một biến thể của phương pháp khử Gauss khi áp dụng vào hệ phươngtrình có cấu trúc đặc biệt (ma trận của hệ có dạng ba đường chéo) (xem [62])

với các hệ số thực hoặc phức

Theo ý tưởng của phương pháp Gauss, thực hiện phép khử các ẩn trong (1.5.1).

Từ đó ta có công thức tìm nghiệm như sau

trình tiến và công thức (1.5.3) mô tả quá trình lùi Các công thức (1.5.3)-(1.5.5)được gọi chung là công thức truy đuổi từ phải

Các công thức (1.5.3)-(1.5.5) chứa 3N phép nhân, 2N + 1 phép chia, 3N phépcộng và trừ Khi đó tổng số phép toán là Q = 8N + 1, trong đó 3N − 2 phép toán

Tương tự như phương pháp truy đuổi phải ta cũng có công thức truy đuổi tráinhư sau

Kết hợp phương pháp truy đuổi trái và truy đuổi phải ta thu được phương pháptruy đuổi từ hai phía Phương pháp này được áp dụng thích hợp nhất khi muốn

1 ≤ m ≤ N, ta viết các công thức (1.5.3), (1.5.8) tại i = m − 1

Từ đây ta tìm được

hai phía như sau: Công thức tính các hệ số

Bổ đề sau cho ta điều kiện đủ cho tính khả thi và ổn định của phương pháptruy đuổi phải

Bổ đề 1.1 (Xem [62]) Giả sử các hệ số của hệ (1.5.1) thỏa mãn các điều kiện

trong đó có ít nhất một bất đẳng thức trong (1.5.11) hoặc (1.5.12) là chặt, tức là

A là ma trận chéo trội Khi đó

Điều đó có nghĩa là phương pháp truy đuổi phải là khả thi và ổn định

Chú ý 1.3 Các điều kiện của Bổ đề 1.1 cũng đảm bảo tính khả thi của phươngpháp truy đuổi trái và phương pháp truy đuổi từ hai phía Bổ đề 1.1 cũng được áp

Chú ý 1.4 Nếu các điều kiện trong Bổ đề 1.1 thỏa mãn thì hệ (1.5.1) có nghiệmduy nhất với mọi vế phải

1.5.2 Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ

phương trình véc tơ ba điểm tương ứng dạng

Ý tưởng của phương pháp rút gọn hoàn toàn giải (1.5.13) là khử liên tiếp các

bội của 2, rồi bội của 4, Mỗi bước khử sẽ giảm được một nửa số ẩn Như vậy

phương trình liên tiếp

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với C(0) rồi cộng cả ba phương trình lại tađược

(1.5.15) với j là bội của 2 nhưng không là bội của 4

Cứ tiếp tục quá trình khử như trên, kết quả là sau bước khử thứ l ta nhận được

Từ (1.5.17) ta suy ra được rằng sau n − 1 bước khử (l = n − 1), ta thu được hệ

C(n−1)YN/2 = FN/2(n−1)+ Y0+ YN (1.5.20)