Phương trình vi phân có chậm và ứng dụng trong nghiên cứu các bài toán về dân số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA * LÊ NGUYỄN HẠNH VY PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM VÀ ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU CÁC BÀI TOÁN VỀ DÂN SỐ Chuyên ngành : TOÁN ỨN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

*

LÊ NGUYỄN HẠNH VY

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

VÀ ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÂN SỐ

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN ĐẠI

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Bá Thi

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS TS Nguyễn Văn Kính

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa - Đại Học Quốc Gia

Tp Hồ Chí Minh ngày 08 tháng 01 năm 2017

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) 1 PGS TS Nguyễn Đình Huy - Chủ tịch hội đồng

2 TS Nguyễn Bá Thi - Phản biện 1

3 PGS TS Nguyễn Vãn Kính - Phản biện 2

4 TS Đặng Vãn Vinh - Thư ký

5 TS Đậu Thế Phiệt - ủy viên

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Bộ môn quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).

TS Lê Xuân Đại PGS TS Nguyễn Đình Huy TS Huỳnh Quang Linh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

—oOo—

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

I TÊN ĐỀ TÀI: Phương trình vi phân có chậm và ứng dụng trong nghiên cứu các bài

toán về dân số

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Nghiên cứu phương pháp hàm Lyapunov ương bài

toán dân số.

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: Ngày 15 tháng 08 năm 2016

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: Ngày 15 tháng 12 năm 2016.

IV HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS LÊ XUÂN ĐẠI

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.

Tp HCM, ngày 15 tháng 12 năm 2016

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ

CHUYÊN NGÀNH

Họ và tên học viên: LÊ NGUYỄN HẠNH VY MSHV: 13241382

Ngày, tháng, năm sinh:

27-01-1991

Nơi sinh: Bình Định

KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy hướng dẫn - Tiến sĩ Lê Xuân Đại, người đã tận tình hướng dẫn, cung cấp cho tôi nhiều nguồn tài liệu phong phú và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tập thể Thầy, Cô giáo Bộ môn Toán ứng Dụng - Khoa Khoa Học ứng Dụng - Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Tp.Hồ Chí Minh đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt khóa học.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người thân luôn động viên, khuyến khích

và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian vừa qua.

Tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp cao học Toán ứng Dụng K2013 đã luôn đồng hành, giúp đỡ và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập.

Vì thời gian thực hiện luận văn và kiến thức còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp tận tình từ quý Thầy Cô và bạn đọc

để luận văn được bổ sung và hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn.

Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 12 năm 2016

Học viên

Lê Nguyễn Hạnh Vy

TÓM TĂT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề sau:

1 Nghiên cứu tính ổn định của phương pháp hàm Lyapunov trong phương trình vi phân có chậm

2 ứng dụng vào mô hình phát triển ổn định trong bài toán dân số

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu được sử dụng trong luận văn là dựa trên phương pháp hàm Lyapunov và sử dụng phần mềm Matlab, Maple

Kết quả thu được ở đây là:

1 Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân có chậm thông qua hàm Lypunov

2 Khảo sát tính ổn định của mô hình Lotka-Volterra có chậm đơn và có chậm kép

3 Mô phỏng quĩ đạo nghiệm cho bài toán Lotka-Volterra trong mặt phẳng Pha

ABSTRACT THESIS

In our thesis, we study some problems:

1 The stability of Lyapunov function method for delay differential equations

2 The application for the stable development models in the population problem

The main method to study in the thesis based on Lyapunov function method and using Matlab andMaple

We obtained some results:

1 The stable criterion of delay differential equations through Lyapunov function

2 To study the stability of the Lotka-Volterra model, which include the single delay model and two delays model

3 To simulate the orbit solution for Lotka-Volterra problem in the Phase plane

Lời cam đoan

Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã tham khảo những tài liệu trong mục tài liệu tham khảo

và các tài liệu này có nguồn gốc rõ ràng, tôi không sao chép luận văn của bất kì ai khác Tôi cam đoan rằng:Luận văn này được viết bằng sự tìm hiểu và tổng hợp tài liệu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của TS LêXuân Đại

Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 12 năm 2016

Học viên

Lê Nguyễn Hạnh Vy

Việc nghiên cứu này yêu cầu đòi hỏi không chỉ về mặt lý thuyết mà cả tính ứng dụng rộng rãi, đãthu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và đã đưa ra nhiều kết quả quan trọng Nó đã góp phầnxây dựng lý thuyết chung cho ngành toán học và các ngành khoa học khác Nó có mặt và góp phần nâng caotính hấp dẫn, lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả, giá trị của nhiều ngành như tối ưu, điều khiểu tối ưu,giải tích số, tính toán khoa học, Vì vậy, lý thuyết này đã trở thành một trong các lĩnh vực toán học hiện đạinhất, có khả năng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như: Vật lý học, Cơ học, kinh tế học, sinh thái học,hóa học, v.v Luận văn được trình bày dựa vào tài liệu và các bài báo sau:

- [1] Yang Kuang, Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, 1992.

- [4]Yanbin Tang, Edoardo Beretta và Fortunata Solimano ,Stability analysis of a volterra predator -

prey system with two delays, Volume 9, number 1, Spring 2001.

- [5] Yang Kuang*, Edoardo Berrtta , Convergence Results in a Well-Known Delayed Predator- Prey

Sytem, Received July 25, 1995

hình sinh thái học quan trọng khác.

Luận văn này tập trung nghiên cứu về phương trình vi phân có chậm thông qua việc nghiên cứutính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận toàn cục dựa trên định lý hàm Lyapunov bằng phương phápđịnh tính để ứng dụng vào mô hình dân số Trong luận văn, chúng ta sử dụng phần mềm Maple để tính cácthông số cần thiết cho mô hình, sau đó ta đưa thông số cần tính vào phần mềm mô phỏng Matlab thông quaviệc lập code Kết quả thu được là quĩ đạo nghiệm và biểu đồ phase của mô hình Nó cho ta thấy được mức

độ tăng trưởng dân số phụ thuộc vào thời gian có chậm Ngoài ra, mô hình này quan trọng trong việc đưavào ứng dụng trong thực tiễn: nó thể hiện sự tăng trưởng của từng loài khi không có và có thời gian cóchậm, và tạo ra nhiều bước phát triển mới cho các ngành khoa học khác

Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương, phụ lục và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn được trìnhbày như sau:

Lời nói đầu

Chương 1: Kiến thức cơ bản về phương trình vi phân có chậm

Chương 2: Phương pháp Lyapunov đối với phương trình vi phân có chậm

Chương 3: ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải các bài toán mô hình phát triển ổn định dân số

Phụ lục

Kết luận và hướng phát triển

Tài liệu tham khảo

Muc luc

1.1 Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của phương trình vi phân có chậm 10

1.2 Sơ lược về phương trình vi phân có chậm 10

1.3 Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm 11

1.3.1 Tính dao động: 11

1.3.2 Nghiệm trong khoảng thời gian ngắn: 12

1.4 Sự biến động về dân số 13

1.5 Hệ có chậm Lotka-Volterra kẻ săn mồi - con mồi 14

1.6 Một số nhận xét quan trọng: 15

2 Phương pháp Lyapunov đối với phương trình vi phân có chậm 16 2.1 Một số kiến thức cơ bản, định nghĩa và ký hiệu 16

2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất 17

2.3 Hệ động lực học và sự bất biến 17

2.4 Tính ổn định Lyapunov trong phương trình vi phân có chậm 18

2.4.1 Định nghĩa cơ bản về tính ổn định 18

2.4.2 Định nghĩa cơ bản về tính ổn định Lyapunov 19

2.4.3 Định lý về tính ổn định Lyapunov 19

2.5 Tính ổn định toàn cục cho mô hình nhiều loài 23

2.6 Tính ổn định theo hàm Lyapunov 23

3 Ung dụng phương trình vi phân có chậm giải các bài toán mô hình phát triển ổn định dân số 28 3.1 Giới thiệu sơ lược 28

3.2 Mô hình Lotka - Volterra có chậm: 29

3.2.2 Mô hình động vật ăn thịt con mồi Lotka - Volterra có chậm kép 39

lim infíc(t) t

Chương 1

Kiến thức cơ bản về phương trình vi phân

có chậm

1.1 Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của phương trình vi phân có chậm

1.2 Sơ lược về phương trình vi phân có chậm

Hiện nay, để phù hợp với mô hình thực tế trong vật lý, kĩ thuật, sinh học, y học , đôi khi tacần thay đổi phương trình vi phân thường bằng phương trình vi phân có chậm để thể hiện sự phụ thuộc

X vào các giá trị trong quá khứ của biến trạng thái x(t') Khi đó, phương trình vi phân thường (PTVPT)

sẽ được chuyển thành phương trình vi phân có chậm (PTVPCC) như sau:

±(t) = f(t,x(t - 71), ,x(t - Tn)), t > to, với Ti > 0,Vt > t(Ị,i = 1, ,n được gọi là các chậm

Dạng tổng quát nhất của các mô hình còn được thể hiện qua PTVPCC như sau:

Luận văn cao học Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm:

Khi đó, bài toán giá trị ban đầu là :

x(t) = f(t,x t ), t>t ữ , x ữ = x(t ữ + ớ) = (f)(0) trong đó, (f)(0) E c biểu

diễn trạng thái ban đầu hoặc trạng thái dữ liệu gốc

1.3 Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm

Nghiệm PTVPCC không được xác định bởi trạng thái ban đầu của nó tại một thời điểm nào

đó, mà trạng thái ban đầu được xác định là một hàm số liên tục trên đoạn [—T, 0].

Và cách tốt nhất để biết được là ta đi xét PTVP tuyến tính bậc 1 Ta xét bài toán giá trị ban đầu bậc 1 như sau:

Phương trình trên phụ thuộc vào X tại thời điểm t — T Trong đó, T là sự chậm trễ hay thời gian có

chậm Mặc khác, trạng thái ban đầu được thay thế bởi hàm ban đầu xác định trên khoảng hữu hạn

1.3.1 Tính dao động:

Ngược với dạng mũ của nghiệm (1.4) thì nghiệm phương trình (1.5) có tính dao động [2],

Điều này có thể được tìm trong dạng nghiệm đặc biệt sau:

Điều kiện đầu thỏa nếu CƠT = hay CƠT = với điều kiện thứ 2, ta có được:

Đối với giá trị đặc biệt của kr, PTVPCC (1.5) nhận nghiệm tuần hoàn (1.6).

Sự khác biệt giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân có chậm là điều kiện

ban đầu Đối với phương trình vi phân có chậm, ta không chỉ cung cấp giá trị ban đầu, mà nghiệm x ữ (t')

tại những thời điểm trước điểm ban đầu

Xét trường hợp k = — 1 và T = Xo = 1 ta giải phương trình (1.5) trên đoạn hữu hạn [0, T].Khi đó, (1.5) trở thành:

±(t) = — xịt — 1),

Ta giải với a?(0) = 1 Nghiệm là:

(1-8)

Hình 1.1: Phương pháp từng bước

cho việc giải x' = —xịt — 1) với X =

1 trên đoạn hưu hạn [-1, 0] Nó cung cấp nghiệm x(t) = 1 - t trên [0, 1] và x(t) = —(t — 1) + 1 (t — l) 2 trên [1, 2].

Khi X dần đến 1, ta xét trên đoạn hữu hạn [1, 2] thì phương trình (1.8) trở thành:

±(t) = -1 + (t - 1)

xịt) = 1 — t, 0 < i < 1

Luận văn cao học Sự biến động về dân số

với điều kiện ban đầu thu được tại thời điểm t=l, thì khi đó, x(l) = 0 Nghiệm là:

x(t) = — (t — 1) + l(t — l)2, với 1 < t < 2

1.4 Sự biến động về dân số

Năm 1925, Lotka đã phát triển phương trình Verhulst được tái phát hiện bởi Pearl and Reed(1920), đó gọi là "luật phát triển dân số" và nhà sinh vật học Nga Gause (1934) đã chứng minh giá trịcủa nó trong các thí nghiệm của mình Phương trình logic liên tục được cho bởi:

Trong đó, r và K được xác định là tỉ lệ tăng trưởng và sức chứa dân số Nghiệm của phươngtrình trên có thể được xác định bởi phương pháp tách biến Nó là một đường xicmoit dạng hàm mũ từ

N(o) c K và bão hòa tại N = K

Hình 1.2: Sự phát triển của Paramecium aurelia trong ống nghiệm chứa Osterhaut trong môi trường nuôi cấy vi khuẩn làm thực phảm, mỗi ống chứa 0.5ml.

Phương trình logic giả định tỷ lệ sinh hoặc tử phản ứng với những thay đổi trong dân số Tuynhiên, có một số sinh vật biểu hiện sinh sản với sự chậm trễ Sự chậm trễ xảy ra là do dinh dưỡng, hoặc

từ điều kiện môi trường Hutchinson là một trong những nhà toán học đầu tiên đưa ra sự chậm trễ trongphương trình logic Ông chỉ ra rằng việc quan sát các dao động có thể được giải thích bởi thời gian cóchậm hữu hạn Cụ thể, ông đã nghiên cứu phương trình sau:

trong đó, A = rr

Hình 1.3: Với À = 1, nghiêm dao động của phương trình vi phân có chậm ở trạng thái ổn định là y = 1

Hình 1.4: Với À = 1.8, dao động chậm và được duy trì

1.5 Hệ có chậm Lotka-Volterra kẻ săn mồi - con mồi

Khi nghiên cứu mô hình kẻ săn mồi-con mồi, Volterra (1928) đã nghiên cứu hệ sau:

Trong đó: X, y là mật độ con mồi và kẻ săn mồi

Đối với sự tương tác qua lại lẫn nhau, Wangersky và Cunningham (1957) cũng sử dụng phương trình sau cho mô hình kẻ săn mồi - con mồi

ỹ(i) = -fiy(i) + cx (t - r )y(t - r )

Một cách tổng quát, mô hình có chậm của kẻ săn mồi - con mồi có dạng:

1.6 Một số nhận xét quan trọng:

- Minorsky (1942) đã chỉ ra tầm quan trọng về việc xem xét tính chậm trễ trong cơ chế phản hồi,đây chính là tiền đề cho sự phát triển lý thuyết phương trình vi phân phụ thuộc vào trạng tháitrước đó

- Một số ứng dụng trong kỹ thuật của phương trình vi phân có chậm được nghiên cứu bởiKolmanovskii và Nosov (1986)

- Năm 1920, ứng dụng phương trình vi phân vào biến động dân số đã được nghiên cứu lại, mãi đếnnăm 1927, Volterra đã nghiên cứu mô hình kẻ săn mồi - con mồi, nhưng không được chấp nhận

- Năm 1963, việc nghiên cứu này đã được quan tâm trở lại trong bối cảnh biến động dân số và toánsinh học

- Cuốn sách của Hale (1977) đẩy mạnh quá trình nghiên cứu mô hình này, ngoài ra Pielou (1977),May(1974), J.M.Smith (1974) đã cung cấp phần lớn động cơ sinh học cần thiết cho mô hình hóa

và phân tích lý thuyết về các vấn đề biến động dân số trong phương trình vi phân có chậm

Chương 2

Phương pháp Lyapunov đối với phương trình vi phân có chậm

2.1 Một số kiến thức cơ bản, định nghĩa và ký hiệu

Với mỗi X thuộc không gian tuyến tính Rn, ký hiệu ||x|| là chuẩn của X trên Rn Với b > a, ta xác định C([a, b], Rn) là không gian hàm liên tục từ[ữ, 6] vào Rn Khi (f) € C([a, 6], Rn), thì ộ được xác

định bởi

IHI = sup |ộ(ớ)|,

a<8<b

Trong trường hợp [a, 6] = [—r, 0], khi đó c = C([—r, 0], Rn)

Với ơ € R, A > 0,X € C([o — r,ơ + J4], Rn), và t € [o, ơ + J4], ta xác định x t € c khi a?t(ớ) = xịt + ớ), S E [—r, 0] Giả sử íì là tập con của R X c, hàm f : íì —> Rn, khi đó ta gọi :

Rõ ràng, T(t) là ánh xạ đi từ c —> c Ta gọi T(t) là nghiệm ánh xạ của

i(t} = f(t,Xi), t>ơ

x ơ = ộ

Trường hợp, phương trình vi phân có chậm hữu hạn::

Giả sứ íì là tập mở và íì c R X c, và f liên tục trên Í2 Nếu (ơ, ộ) e Lì, thì tồn tại nghiệm của

(2.1) thông qua (ơ, ộ)

Định nghĩa 2.1 Ta nói f(t, ộ) là hàm Lipschitz theo biến ộ trong tập compact K của R X c nếu tồn tại hằng số k > 0 sao cho với bất kì (t, ộị) e K, i = 1,2,

II f(t, </>i) - f(t, ộ2) II< k II - Ộ2 II

Định lý 2.2 (Tính duy nhất)

(ơ,ộ) E thì tồn tại nghiệm duy nhất của (2.1).

2.3 Hệ động lực học và sự bất biến

Định nghĩa 2.2 Giả sử X là không gian Banach, R+ = [0, oo), u : R X X X R+ —> X là một ánh xạ, và

Luận văn cao học Hệ động lực học và sự bất biến

Quá trình u được gọi là một quá trình tuần hoàn với chu kỳ p, p > 0 nếu u(ơ + p,i) = u(ơ,t), với ơ € R, t € R + Giả sử f : R X c —> Rn là liên tục hoàn toàn, và lấy x(ơ, ộ) là nghiệm phương trình:

x ơ = ộ

Ta giả sử rằng X xác định duy nhất với t > ơ Hàm x(ơ, liên tục tại ơ, ộ, t với ơ E R, ộ E c và t > ơ Định

nghĩa:

ư(ơ, ộ, T) = x ơ+r (ơ, (f>), (ơ, <Ị>, r) e R X c X R+,

Khi đó, u(ơ, T) = T(ơ + T, ơ), trong đó u(ơ, t)ộ = u(ơ, (f), t)

Định nghĩa 2.3 Một quá trình được gọi là hệ động lực học (liên tục) nếu u(ơ,i) phụ thuộc vào ơ, tức

Ve > 0, to > 0, 3<5 = 5(t 0 , e) > 0, sao cho ||ự>|| < 5 11Xt(t, 0) II < £, t <

to-Định nghĩa 2.6 Nghiệm tầm thường của phương trình (1.1) được gọi là ổn định đều khi t —> +oo nếu số 5 trong định nghĩa trên không phụ thuộc vào to-

Định nghĩa 2.7 Nghiệm tầm thường của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t —> +oo nếu:

1 Nghiệm tầm thường là ổn định,

2 3A = A(t 0 ) >0, Vộ € c, ||ộ|| < A lim ||ư?(t0, ộ}II = 0.

Định nghĩa 2.8 Nghiệm tầm thường của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t —> +oo nếu:

1 Nghiệm tầm thường là ổn định đều,

2 3A > 0 (không phụ thuộc vào to)

Vộ € c, ||ộ|| < A => lim ||x(i0, ộ)|| = 0

t—>+oo

Định nghĩa 2.9 Xét phương trình (1.1) Hàm khả vi liên tục V : R+ X c —> R được gọi là hàm

Lyapunov nếu tồn tại các hằng số a,b,c> 0 thỏa mãn:

i) a||a?(t)||2 < V(t,Xi) < 6||a?t||2,

a) V(t,x t ) < —c||a?(t)||2

với mọi nghiệm x(t) của (1.1).

Định nghĩa 2.10 Nếu ánh xạ V : R+ X c —> R liên tục x(to, ộ} là nghiệm của phương trình (1.1) thỏa

V = ỹ(t, ự>) = lim |[V(t + /i,xí+/l(t,ự>)) - V(t, </>)]

h—>0+ h Hàm vịt, ộ} gọi là đạo hàm trên, bên phải theo t của hàm vịt, ộ} dọc theo nghiệm của hệ (1.1).

Xét phiếm hàm Lyapunov v(t) = v(t, ự>) xác định trên miền R X c, f(t,(Ị>) là hoàn toàn liên tục trên miền R X c và fit, 0) = 0 Ký hiệu:

K = {u|u : R+ —> R+, u liên tục không giảm và u(0) = 0, u(s) > 0 với s > 0}.

Định lý 2.3 Giả sử tồn tại hàm liên tục Lyapunov thỏa mãn điều kiện:

1 V(t, 0) = 0,

2 tí(||ự>||) < Vịt,ộ} , với u liên tục, không giẫm u(0) = 0, u(s) > 0 với s > 0,

3 vịt, ộ) < 0.

thĩ nghiệm tầm thường X = 0 là ổn định.

Luận văn cao học Hệ động lực học và sự bất biến

Chứng minh Từ điều kiện (2.) ta suy ra:

0 < u(e) < v(t, ộ),

Vì v(t,o) = 0, vịt, ộ} là hàm liên tục nên với ơ cố định và u(e) > 0 tồn tại 5 = ỗ(ơ, e) > 0 sao cho:

||ộ|| < ỗ(ơ,s) => v(ơ,0) < u(s) Lấy X = x(ơ, ộ} là nghiệm của (1.1) sao cho với ||ộ|| < ỗ ta sẽ chứng minh:

||xt(ơ,ộ)|| < e,vt > ơ. (2.2)

Giả sử (2.2) không xảy ra, tức là 3k > ơ sao cho nghiệm x t (ơ, </>) với ||ộ|| < ỗ thỏa mãn:

Ikfc(ơ,ự>)|| = £•

Từ điều kiện (3.) và có tính liên tục V(í) = V(t,Xk(ơ, ộ)) nên v(t) giảm theo t và ơ < t < k, ta có:

V(Ă:,xfc(ơ,ộ)) < V(t,Xị(ơ, ộ)),

Định lý 2.4 ([1], trang 27) Cho hàm u(s), v(s), Lư(s) : R+ —> R+ liên tục và không giảm,u(s) > 0, u(s)

> 0 với s > 0, và u(0) = u(0) = Lư(s) = 0 Những phát biểu sau là đúng:

(i) Nếu hàm V: R X c —> R thỏa mãn

u(|ự>(0)|) < V(W) < ư(ll^ll),ỹ(W) <-w(|ự>(0)|),

thì nghiệm x = 0 là ổn định đều.

(ii) Nếu thêm vào (i), lim lí(.s) = +oo, thì nghiệm của (1.1) là bị chặn đều (tức là với bất

s—>+oo

kì a > 0, tồn tại /? = /5(OÍ) > 0 sao cho, với ơ € R, ộ € c, ||ộ|| < a, ta có |ư?(ơ, ộ)(t)| < p, Yt>ơ).

(iii) Nếu thêm vào (i), cơ(s) > 0 với s > ũ, thì nghiệm X = 0 là ổn định tiệm cận đều.

B(o, ộ), ơ € R, thì

V(t, x t (ơ, ộ)) <0, với mọi t > ơ

Vì thế, V(t, Xị(ơ, ộ)) < V(ơ, ộ) < v(5) < u(e) dẫn đến

u(|a?(ơ,ộ)(t)|) < V(i,xt(ơ,ộ)) <u(e),hoặc tương đương với

|a?(ơ, ộ)(t)| < £, với mọi t > ơ.

Vậy nghiệm là ổn định đều

(ii) (Bị chặn đều) Vì ư(s) —> (X) khi s —> 0, với a > 0 tùy ý, thì tồn tại /? = /?(a) sao cho:

u(/3) = v(a)

Nếu \(f)\ < a, theo chứng minh trên của (i) thì u(|x(ơ, ộ)(t|) < u(/3), với t > ơ.

Vậy |a?(ơ, ộ)(t) < /?|, với t> ơ.

(iii) (On định tiệm cận đều) Giả sửe = l,đo = đ(l), trong đó đ(.) xác định như trong (i) Với 0 < £ < 1

tùy ý, tồn tại t ữ = t ữ (ôo, e) > 0 sao cho, với |ộ| < đo, |ư?t(ơ, ộ) < £,t > ơ + t ữ

Mặt khác, £ > 0, 5 = 5( E ) ta có:

||ự>|| < ỗ => ||xt(ơ, 0)11, với mọi t > ơ, ơ e R

Giả sử rằng có nghiệm X = x(ơ, </>), ||ự>|| < đo thỏa mãn ||xt|| > 5, với í G [ơ,ơ + T],T > 2r Vì mỗi khoảng chiều dài r chứa s thỏa |x(s)I < 5, tồn tại dãy (tfc) sao cho: |x(tfc)I > 5,

Luận văn cao học Hệ động lực học và sự bất biến

-( điều này không thể xảy ra)

Vì vậy, nếu to = 2r(K + 1) thì với ||ộ|| < đo, IIx t (ơ, ộ} < e, t > ơ +

to-Ta chứng minh được nghiệm tầm thường X = 0 của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận đều.

Ví dụ 1 Ta xét phương trình Lotka-Volterra vô hướng tổng quát với phân phối có chậm:

/>0 />0

J —T J —T trong đó, Pi(o), i = 1,2 không giảm và

7, a, b, c và r là những hằng số không âm.

Ví dụ 2 Theo phương trình ví dụ trên, với pLi,i = 1,2 không giảm và ịii(ũ + ) — Hi(—r) =

1, i = 1,2, 7, a, b,c và r là những hằng số không âm Ta đặt X* = 7/(ữ + c — ồ) Lấy V(x) = |(x-.r*)2,

Theo nguyên lý Argument đối với ví dụ trên có thể mở rộng cho phương trình phát triển loài

có chậm đơn tổng quát như sau :

trong đó, g là vi phân liên tục lấy vi phân theo x(t) và x t Giả sử, tồn tại hằng số dương X* thỏa mãn:

g(x*,x*) = 0.

2.5 Tính ổn định toàn cục cho mô hình nhiều loài

Giả sử, ta có mô hình n loài trong môi trường mở, và tỉ lệ tăng trưởng mỗi loài cho i lần loài

tại thời gian t là Fị(t, x t ), trong đó x(t) = (ư?i(t), x n (t), Xị(t)) là mật độ của loài thứ i tại thời gian t Khi

Gi(i,rtt(.)) = Ti(t) - ttị(t) f° T Ui(t + 0)dpí(t,0) + + G)d^ij(t,0) (2.5)

trong đó, u(t) = (m(t), ,u n (t)), ri(t), di(t) là những hàm liên tục xác định dương; ịii(t, ),ịiij(t,.)

có sự biến thiên khác nhau, và Ti là hằng số dương, i, j = 1, , n Chú ý: (2.4) là trường hợp đặc biệt của

(2.3)

2.6 Tính ổn định theo hàm Lyapunov

Xét mô hình con mồi - kẻ săn mồi sau:

trong đóa, b, c, d,p, q, r là những hằng số dương và ki(0), 0 E [0, r], i = 1, , 4 thỏa mãn những giả thiết

sau:

(Hl) ki(0) > Ovà liên tục với ớ € [0, r], ki(r) = 0

(H2) kị(0) < 0 và liên tục với ớ € (0, r), lim^/c^ớ) và lim k'ị(ff) đều tồn tại

Luận văn cao học Hệ động lực học và sự bất biến

Thường thì ta giả sử rằng dữ liệu ban đầu cho (2.6) có từ C([—r, 0], Rị)

Định lý 2.5 ([ip Giả sứ (x(t), y(t)) là nghiệm của (2.6) với dữ liệu ban đầu thỏa mãn x(0) > 0, y(0) >

Chứng minh Với b và q là hằng số dương, dễ dàng thấy rằng nghiệm (x(t),y(t)} của hệ (2.6) dương và

bị chặn Cho u(t) = x(t) — X*, vịt) = y(t) — y* , hệ (2.6) trở thành

ữ(t) = (ư(t) + x*){—bu(t) — cv(t) — Jo ki(0)u(t — 0)d0 — Jo k2(0)v(t — 0)d0}

Luận văn cao học Hệ động lực học và sự bất biến

Định lý 2.6 Giả sử (2.6) thỏa mãn (Hl) và (H2), &1(Ớ), Jỉ2(0) thỏa (H2) - (H3) với bất đẳng thức đúng trong (H3), và k^O), ki(0) vi phân liên tục trên (0, r) Giả sử hơn thế nữa, với ớ € (0,r),

(k'^Y/k'^O) < 26r_1

k'^ck'^O) - pk'M A„(=b(^(g))2' fc"(ớ)J P'r 2fe2 W J

( ^c

A V r I 2pfc"(0) 2pfc"(0) )

Khi đó, lim (m(t), 3/(t)) = (x*,y*)

Chứng minh Chứng minh này hầu như đều giống với Định lý (2.5), trừ khi ta định nghĩa như sau:

V(ộ,t/)) = p(ộ(o) + X*)-px*/n(ộ(o) + X*) + c(t/)(o) + 7/*)

Biểu thức bậc hai bên trong {.} đầu tiên rõ ràng không dương Biểu thức trong {.} thứ hai thì

cũng là phương trình bậc hai trong ự>(0), ĩị>(ừ), Ifg </>(—s)ds], và [fg ý(—s)ds] Bằng cách thực hiện bình phương 3 lần với biểu thức trong hai {.} , ta thấy (H7) và k"(0) > 0, k 2 {0) > 0 cho ta V(ự>,7/>) = 0

nếu và chỉ nếu ự>(s),ĩị>(s) không đồng nhất trên [-r, 0]. ■

Ta xét hệ thứ nguyên n như sau:

Cho ộ(s) + X* € C([—r, 0], R+) sao cho ộ(0) + X* > 0, i = 1, , 1Ĩ Định nghĩa:

+ 2' / s ii k "Mj ữ ội(-s)ds] 2 dG

- Ịịm_^(ớ)[f^(-5)^]2}

2 9—>r- J o

Chương 3

ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải các bài toán mô hình phát triên ôn

định dân sô

3.1 Giới thiệu sơ lược

Một trong những mô hình đầu tiên nói lên sự kết hợp chặt chẽ tính tác động qua lại giữa kẻsăn mồi và con mồi được đưa ra vào năm 1925 bởi nhà sinh vật học người Mỹ Alfred Lotka và nhàtoán học người Ý Vito Volterra Không giống như mô hình dân số theo thuyết Man-tuýt và Logic, môhình Lotka-Volterra dựa vào phương trình vi phân rất sâu sắc Mô hình Lotka-Volterra mô tả sự tácđộng qua lại giữa hai loài trong một hệ sinh thái, kẻ săn mồi và con mồi Khi ta xét 2 loài, mô hình sẽđược giải quyết bởi 2 phương trình, một là mô tả sự thay đổi số lượng con mồi, hai là mô tả sự thay đổi

số lượng của kẻ săn mồi Vì mô hình này được nghiên cứu bằng một mô hình đơn giản trong mô hìnhdân số 2 loài, nên nó quan trọng trong mô hình khoa học

Trong mô hình Lotka-Volterra, giả sử rằng tỉ lệ tử vong của con mồi phụ thuộc vào số lượng

kẻ săn mồi số lượng kẻ săn mồi lớn hơn thì số lượng con mồi hi sinh sẽ nhiều hơn Theo hưổng khác,

kẻ săn mồi có ưu thế hơn nếu số lượng con mồi có nhiều Mô hình Lotka-Volterra cũng chỉ là mô hìnhphản hồi, số lượng con mồi có ảnh hưởng tích cực đến mật độ kẻ săn mồi, nhưng trái lại cũng ảnhhưởng tiêu cực đến mật độ con mồi

3.2 Mô hình Lotka - Volterra có chậm:

3.2.1 Mô hình động vật ăn thịt con mồi Lotka - Volterra có chậm đơn:

Ta xét hệ động vật ăn thịt con mồi Lotka - Volterra với có chậm rời rạc đơn có dạng sau ([5]):

xịt) = x(t)(r — ax(t) — by(t)), ỹ(t) = y(t)(-d + cx(t-r)),

Trong đó: x(t),y(t) là mật độ dân số của con mồi và kẻ săn mồi tại thời điểm t tương ứng.

r, a, b, c, d, T là những hằng số dương

Nếu hệ (3.1) không có điểm cân bằng dương thì điểm cân bằng giới hạn E o = (r/a, 0) là ổn

định tiệm cận toàn cục so với điền kiện ban đầu:

ư?o(ớ) = ự>(0) > 0 ớ € [-T, 0] x(0) > 0, 2/(0) > 0

Trong đó: ộ e C([—T, 0], R+),R+ = {x : X > 0}và ||ộ|| = max{ị</)(0)ị : 0 E [—T, 0]} Nếu

Nếu T > 0 thì E* chưa chắc là ổn định địa phương.

Dễ dàng ta thấy rằng tồn tại T, = T,(r, ữ, 6, c, d) > 0 sao cho nếu T < T, thì E* ổn định địa phương và nếu T > T, thì E* không ổn định.

Thật vậy, ta cũng biết rằng T > T, với 1 số điều kiện đảm bảo sự tồn tại của nghiệm chu kỳ

dương cho dạng tổng quát của hệ động vật ăn thịt con mồi có chậm Tuy nhiên, cho đến nay những nhànghiên cứu có kinh nghiệm vẫn chưa ra được kết quả thứ nhất là tính ổn định tiệm cận toàn cục của

điểm cân bằng dương E* khi T đủ nhỏ hoặc thứ hai là cho kết quả sự hội tụ đối với 7í*khi T nhỏ tùy ý.

Cấu trúc của hàm Lyapunov được chia làm các phần chủ yếu như sau:

(3.1)

(3.2)

Luận văn cao học Mô hình Lotka - Volterra có chậm

Giả sử rằng với (3.3), thì (3.1) có điểm cân bằng dương E* = (x*,y*), với X* = d/cNÒ y* = (r

— ad/c)/b Đặt

Nghiệm của (3.5) hoặc (3.6) tồn tại duy nhất và dương Vi > 0 Tồn tại hằng số M >

0 sao cho nghiệm của (3.1) và (3.2) thỏa mãn:

Thật vậy, dễ dàng thấy rằng với bất kỳ t, x(t') < ra -1 khi (3.3) thỏa mãn Sau đây là hai bổ đề sử dụng nghiệm của kết quả chính

Xét phương trình vi phân có chậm hệ autonomous:

±(t) = F(x t ).

Sao cho F(o) = 0 và F : C([T, 0], Rn) —> Rn, T > 0 là Lipschitzian, trong đó c =

C([T,0],Rn) là tập những hàm số liên tục xác định trên [r,0] với chuẩn ||ự>|| = max |</>(ớ)|, và fle[r,0]

Hay

tti = (x — x*}/x*,

' u 2 = (y-y*)/y*,

X = X* + X*Uỵ,

|.| là chuẩn bất kỳ trong

Bổ đề 3.1 Cho LJ1(.) và (J2(-) là những hàm vô hướng liên tục không âm sao cho u>i(o) = 0,2 =

1,2, , U^O”) > 0 với r > 0, lim (Ji(r) = +oo và V : c —> R là hàm vi phân vô hướng liên r—>oo

tục Với tập s của nghiệm (3.10) thỏa mãn:

W) > (Ji(|ự>(0)|), ỹ(ự>) 1(3.10) < -w2(|ự>(0)I) (3.11)

Khi đó X = 0 là ổn định tiệm cận đối với tập s, nghĩa là những nghiệm bị chặn trong s hội tụ đến X = 0 khi t —> oo

Luận văn cao học Mô hình Lotka - Volterra có chậm

Cho m, n, p, q, ơ là những hằng số dương và w,/3 là hai biến số dương thỏa mãn:

Cần tìm

Bổ đề 3.2 Cho p, = m + (n + ợ)ơ+ [(m + 2p + (n + ọơ))2 — 4(m+p)(p+qơ)] 1 '' 2

Ta thấy rằng với /? > ơ, f là hàm tăng hoàn toàn trong khi g là hàm giảm hoàn toàn, /(ơ) = 0 < g(ơ) = l/(ợơ) Vì vậy, nghiệm của (3.14) so với /? > ơ là nghiệm duy nhất của

đó là nghiệm tổng quát /?+ của

(p + qơ)ị3 2 - [(m + 2p)ơ + (n + q)ơ 2 ]/3 + (m + p)ơ 2 = 0. (3.17)Đặt

ị-■

Kết quả chính

Trong phần này, ta sẽ đưa ra cách xây dựng hàm Lyapunov thích hợp với chiều dài T có chậm

đủ nhỏ, ta cần tìm vùng G xác định rõ ràng trong lân cận của điểm cân bằng dương E*, tồn tại tập concủa điểm hấp dẫn E* Ta không đặt thành phương trình với kết quả ổn định tiệm cận địa phương, trong

đó điểm hấp dẫn cho trạng thái ổn định tiệm cận địa phương phải đảm bảo cho sự tồn tại của ẩn

Ta sử dụng hệ (3.7) cho sự phân tích dưới đây Với t > 0 thì 1 + tti(i) > 0, i = 1, 2.

Xét hàm vô hướng Vo(t), được xác định như sau:

rj = max ^min {

Vo(i) - vo(tti(i), ư2(t)) = ln(l + Iti(í)) + aln(l + ư2(t)), (3.18)

Trong đó, a là hằng số dương, giá trị đó được xác định sau Để thuận tiện, ta đặt :

Qvo) = —AzjUi — B ZJU 2 + OiCuiZi — OíAz 2 Ui —

Qvo ) =-<*Bz 2 u 2 - B ZÌ U 2 - aC(zi + az 2 }

Nhận xét: với Ui 7^ 0, ZịUi > 0 Thật vậy, Z 2 U 2 trở thành dạng giống như

(3.21)

Số hạng uị Điều kiện này —aBz 2 u 2 trong (3.21) để vận dụng vào việc kiểm tra của điều kiện sau như U]U 2 , Zj_u 2 ,

21^1 hoặc — zf Nó sẽ được hoàn thành bằng hàm vô hướng Vi sau:

Vi = Vi(ưi(t), ư2(t)) = U1 - Zỵ + /3(u 2 - z 2 ), (3.22)Trong đó /? là hằng số dương được xác định sau Ta có:

1 2 , 1

<

^ Z Ĩ T +

7-2 1 2

aC(zi + az2) / ứ?(.s)(.s) + Bu2(s)]ds + w/3Cu2 / ư?(s)[Atti(s) + Bư2(s)]đs