Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ

7 2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ.. Do lýthuyết ổn định được nghiên cứu xuất phát từ những đòi hỏi thực tiễn và nhu cầuphát triển của một số ngành khoa học nên

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT

Hà Nội - 2018

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bảnthân và sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Mọi kết quả nghiêncứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể Đề tàiluận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luậnvăn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào.Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.

Hà nội, ngày 12 tháng 09 năm 2018

Người cam đoanĐoàn Ngọc Hiển

Luận văn thạc sĩ này được thực hiện tại Học Viện khoa học và công nghệ, ViệnHàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học củaGS.TSKH Vũ Ngọc Phát.

Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát người thầy đã tận tìnhhướng dẫn để tôi hoàn thành được luận văn thạc sĩ Trong những ngày tháng họctập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ dưới sự hướng dẫn của thầy, tôinhận ra rằng niềm đam mê nghiên cứu khoa học trong thầy, cùng sự quan tâm, chỉbảo tận tình của thầy đã thôi thúc tôi cần cố gắng nhiều hơn nữa để hoàn thiệnbản thân

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy, các cô trongphòng Tối ưu và Điều khiển đã ân cần chỉ bảo, dạy dỗ tôi từ khi tôi học Cao họccho tới khi tôi hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ của cácthầy cô đã giảng dạy tôi trong những năm học cao học Tôi xin chân thành cảm ơnBan lãnh đạo Học Viện Khoa học và Công nghệ và Viện Toán học đã tạo mọi điềukiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn,

đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận vănthạc sĩ

Đặc biệt, tôi thực sự thấy hạnh phúc và tự hào khi họ luôn bên tôi, chia sẻ và độngviên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án đó là bố, mẹ và em trai

Lời nói đầu 1

1 Giới thiệu cơ sở toán học 3 1.1 Hệ phương trình vi phân hàm 3

1.1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ 3

1.1.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ 5

1.2 Các bổ đề hỗ trợ 7

2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ 9 2.1 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng 9

2.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng với tham số không chắc chắn 14

2.2.1 Ví dụ 20

2.3 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên 21

2.3.1 Ví dụ 34

3 Kết luận chung 36

4 Tài liệu tham khảo 37

λ(A) Tập các giá trị riêng của ma trận A

λmax(A) = max {Re(λ), λ ∈ λ(A)}

λmin(A) = max {Re(λ), λ ∈ λ(A)}

C ([0, h] , Rn) Tập hợp các hàm liên tục trên [0, h] giá trị trong Rn

C1([a, b] , Rn) Tập các hàm khả vi liên tục trên [a, b] giá trị trong Rn

∗ Phần tử đối xứng trong một ma trận

A > 0, A > 0 Ma trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương

A > B A − B là ma trận nửa xác định không âm

A > B A − B là ma trận xác định dương

kxk Chuẩn Euclide của véc tơ x ∈ Rn được xác định bởi

kxk =

vuut

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những hướng nghiêncứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật Các công trình nghiêncứu về nó được bắt đầu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học ngườiNga A M Lyapunov khi ông nghiên cứu tính ổn định của một chuyển động Do lýthuyết ổn định được nghiên cứu xuất phát từ những đòi hỏi thực tiễn và nhu cầuphát triển của một số ngành khoa học nên đã hơn một thế kỷ trôi qua nhưng lýthuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được quan tâm và có nhiều kết quảđược ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý toán, khoa học kỹthuật công nghệ, sinh thái học Hầu hết các quá trình vật lý, sinh học, hóa học,kinh tế đều liên quan đến độ trễ thời gian Không những thế, độ trễ thời gian còn

là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của các hệđộng lực Do đó lớp hệ phương trình vi phân có trễ thu hút được nhiều sự quantâm của các nhà toán học Mặt khác, các bài toán xuất phát từ thực tế thườngđược mô tả bởi các hệ phương trình vi phân suy biến Vì thế, giải quyết được bàitoán về sự ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ sẽ góp phần giảiquyết được hàng loạt các bài toán thực tiễn có tính ứng dụng cao

Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii nhưmột cách tiếp cận để đưa ra các điều kiện đủ đảm bảo sự ổn định của hệ phươngtrình vi phân suy biến có trễ Các điều kiện được đưa ra dưới dạng các bất đẳngthức ma trận tuyến tính (LMIs) Ngoài ra chúng tôi còn trình bày vấn đề tính ổnđịnh vững của hệ suy biến không chắc chắc với trễ hằng Chúng tôi sử dụng phươngpháp ổn định Lyapunov để giải quyết bài toán ổn định vững cho hệ suy biến khôngchắc chắn có trễ

Luận văn gồm hai chương

Chương 1 Giới thiệu cơ sở toán học trình bày một số khái niệm và kết quả cơ sở

về hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, giới

thiệu về bài toán ổn định của hệ phương trình vi phân, phương trình vi phân suybiến có trễ Đồng thời trình bày các mệnh đề bổ trợ sẽ được dùng để chứng minhcác tiêu chuẩn ổn định ở chương hai.

Chương 2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ trình bàycác định lý về ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng cũng nhưcủa hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên và các ví dụ minh họa cho các định lý

Chương 1

Giới thiệu cơ sở toán học

Trong chương này chúng tôi trình bày kiến thức cơ sở về hệ phương trình viphân có trễ, hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, bài toán ổn định hệ phươngtrình vi phân có trễ và bài toán ổn đinh hệ phương trình vi phân suy biến có trễ.Chúng tôi cũng trình bày một số bổ đề kỹ thuật cần thiết cho việc chứng minhcác định lý trong chương tiếp theo Nôi dung chương này trình bày từ các tài liệu[1],[2],[3]

1.1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ

Như chúng ta đã biết, phương trình vi phân ˙x(t) = f (t, x(t)) mô tả mối quan

hệ giữa biến thời gian t, trạng thái x(t) của hệ thống và tốc độ thay đổi của trạngthái x(t) tại cùng một thời điểm t Tuy nhiên, trong thực tế, các quá trình xảy ratrong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền

Vì vậy lớp hệ phương trình vi thường không miêu tả được hết các quá trình này

Do đó, để mô tả một cách chính xác các quá trình này, người ta thường miêu tảchúng bằng các phương trình vi phân hàm - phương trình vi phân có trễ Giả sử

h là một số thực không âm Ký hiệu C = C([−h, 0], Rn) là không gian Banachcác hàm liên tục trên đoạn [−h, 0], nhận giá trị trong không gian Rn và chuẩncủa một phần tử ϕ ∈ C được cho bởi kϕk = sup

−h6θ60

kϕ(θ)k Với t0 ∈ R, σ ≥ 0

và x ∈ ([t0−h, t0+σ] , Rn), hàm xt ∈ C với t ∈ [t0−h, t0+σ] được xác định bởi

xt(s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0] Như vậy, xt là một quỹ đạo trên đoạn [t − h, t]của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi kxtk = sup

−h6θ60

kx(t + s))k Cho

D ∈ Rn × C là một tập mở và hàm f : D → Rn Một phương trình vi phân có trễtrên D là phương trình dạng







˙x(t) = f (t, xt), t > 0,x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0]

(1.1)

Cho trước t0 ∈ R, φ ∈ C, ta nói x(t0, φ, f ) là một nghiệm của phương trình (1.1)nếu nó thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = φ(t0), t0 ∈ [−h, 0] và phương trình(1.1) Giả sử f (t, 0) = 0, với mọi t ∈ R+ nghĩa là ta luôn giả thiết hệ có nghiệmcân bằng x = 0 Khi đó ta có các định nghĩa về tính ổn định của nghiệm như sau

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (t, 0) = 0 với mọi t ∈ R,

(i) Nghiệm x(t) = 0 của phương trình (1.1) được gọi là ổn định nếu với bất kì

t0 ∈ R,  > 0, tồn tại δ = δ(t0, ) sao cho nếu kφkc ≤ δ thì kx(t, t0, φ)kc ≤ với t ≥ t0

(ii) Nghiệm x(t) = 0 của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổnđịnh và tồn tại b0 = b0(t0) > 0 sao cho nếu kφkc 6 b0thì limt→∞x(t, t0, φ) = 0.(iii) Giả sử f (t, 0) = 0, t ∈ R và α > 0 cho trước Khi đó, nghiệm x(t) = 0 củaphương trình (1.1) được gọi là α - ổn định mũ nếu tồn tại hằng số M > 0 saocho mọi nghiệm x(t, t0, φ) của hệ (1.1) thỏa mãn

kx(t, t0, φ)k 6 Me−α(t−t0 )kφkc, ∀t ≥ t0,

số M được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn định α, Mcũng được gọi chung là các chỉ số ổn định Lyapunov

Định lý 1.1.1 (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm địa phương)

Giả sử Ω là một tập mở của R × C, f (t, ) : Ω → Rn liên tục theo t và f (t, φ) là

Lipschitz theo φ trong mỗi tập con compact của Ω Nếu (t0, φ) ∈ Ω thì tồn tại duynhất nghiệm đi qua điểm (t0, φ) của phương trình (1.1).

Định lý 1.1.2 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục) Cho

f : [0, +∞) × P C([−h, 0], Rn) → Rn,thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với bất kỳ H > 0, tồn tại M (H) > 0 sao cho kf (t, φ)k6 M (H),

(t, φ) ∈ [0, ∞) × P C([−h, 0], Rn), kφkC 6 H;

(ii) Hàm f (t, φ) là hàm liên tục theo cả hai biến;

(iii) Hàm f (t, φ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại hằng

số Lipschitz L(H) > 0 sao cho

kf (t, φ1) − f (t, φ2)k 6 L(H) kφ1− φ2kC,với mọi t> 0,φi ∈ P C([−h, 0], Rn), kφikC 6 H, i = 1, 2

(iv) kf (t, φ)k6 η(kφkC), t > 0, φi ∈ P C([−h, 0], Rn) trong đó η(r), r ∈ [0, +∞) làhàm liên tục, không giảm và sao cho với r0 > 0 bất kỳ điều kiện sau thỏa mãn

Khi đó, với t0 > 0 và φ ∈ P C([−h, 0], Rn) cho trước, hệ (1.1) có duy nhấtnghiệm x(t0, φ, f ) xác định trên [t0−h, +∞) với điều kiện ban đầu xt0 = φ

1.1.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ sau:







E ˙x(t) = Ax(t) + Adx(t − h(t)), t ≥ 0,x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0],

(1.2)

trong đó E ∈ Rn×m là ma trận suy biến, rankE = r < n, A và Ad là các ma trận

hệ số với số chiều thích hợp Khi đó ta có các định nghĩa về sự ổn định của hệ (1.2)như sau

Định nghĩa 1.1.2 Hệ suy biến (1.2) được gọi là chính quy (regular) nếu ∃s ∈ Csao cho đa thức đặc trưng det(sE − A) là không bằng không

Định nghĩa 1.1.3 Hệ suy biến (1.2) được gọi là impulse-free nếu

∃s ∈ C : deg(det(sE − A)) = rank(E)

Định nghĩa 1.1.4 Hệ suy biến (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu với bất kỳ

ε > 0, tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho với bất kỳ hàm điều kiện ban đầu thỏa mãnkφk 6 δ(ε), nghiệm x(t) của (1.2) thỏa mãn kx(t)k 6 ε với t ≤ 0 và lim

t→∞x(t) = 0.Định nghĩa 1.1.5 Hệ (1.2) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số α > 0 và γ > 0sao cho với bất kỳ nghiệm x(t, φ) của hệ suy biến có trễ thỏa mãn điều kiện sau

A PT +P AT < 0

1.2 Các mệnh đề bổ trợ

Chúng tôi trình bày các mệnh đề và bổ đề kỹ thuật ([3, 4, 5]) sẽ được sử dụng

để chứng minh các đinh lý trong chương tiếp theo

Bổ đề 1.2.1 Với bất kỳ hai ma trận M, N ∈ Rn×n, M = MT > 0, x, y ∈ Rn Khiđó

Bổ đề 1.2.3 (Schur complement lemma)

Cho các ma trận đối xứng hằng X, Y, Z với số chiều tương thích thỏa mãn

t→∞ϕ(t) = 0

Xét hệ phương trình vi phân có trễ hằng sau

E ˙x(t) =Ax(t) + Adx(t − τ ), t ≥ 0,x(t) =φ(t), t ∈ [−τ, 0],

(2.1)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, E ∈ Rn×n là ma trận suy biến,

Rank(E) = r < n, A, Ad là các ma trận hằng số thực với số chiều thích hợp, φ(t)

là hàm liên tục trên [−τ, 0]

Định nghĩa 2.1.1

(i) Bộ (E,A) được gọi là chính qui nếu ∃s ∈ C, det(sE − A) không bằng không

(ii) Bộ (E,A) được gọi là impulse-free nếu

∃s ∈ C : deg(det(sE − A)) = rank(E)

Định nghĩa 2.1.2 (i) Hệ (2.1) được gọi là chính qui và impulse−free nếu bộ(E, A) là chính qui và impulse−free.

(ii) Hệ (2.1) được gọi là ổn định nếu ∀ε > 0 thì tồn tại δ(ε) sao cho với bất kỳđiều ban đầu φ(t) thỏa mãn Sup

−τ 6t60kφ(t)k 6 δ(ε) thì nghiệm của hệ (2.1) sẽthỏa mãn kx(t)k6 ε, t > 0 Hơn nữa lim

t→∞x(t) = 0

Bổ đề 2.1.1 ([4]) Giả sử bộ (E, A) là chính qui và impulse−free, khi đó hệ (2.1)

có nghiệm duy nhất trên đoạn [0, +∞)

Định lý 2.1.1 ([4]) Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng (2.1) là chínhqui, impulse–free và ổn định mũ nếu tồn tại ma trận Q > 0 và ma trận P thỏa mãn

EPT = P ET ≥ 0, (2.2)

APT + P AT + AdPTQ−1P ATd + Q < 0 (2.3)Chứng minh Chứng minh Định lý (2.1.1)

Giả sử (2.2) và (2.3) đúng với mọi ma trận Q > 0 Khi đó từ (2.3) ta dễ dàng thấyrằng

APT + P AT < 0 (2.4)

Sử dụng mệnh đề (1.1.2), từ (2.2) và (2.4) suy ra bộ (E, A) là chính qui vàimpulse−free Bước tiếp theo chúng ta chứng minh tính ổn định của hệ phươngtrình vi phân suy biến có trễ hằng (2.1) Theo chứng minh trên ta có bộ (E, A) làchính qui và impulse−free do đó tồn tại hai ma trận khả nghịch G và H ∈ Rn×nsao cho

Dễ dàng thấy rằng tính ổn định của hệ (2.1) là tương đương với tính ổn định của

hệ (ΣD) Do đó thay vì chứng minh tính ổn định của hệ (2.1) ta sẽ chứng minhtính ổn định của hệ (ΣD) Từ ¯P11 = ¯P11T > 0 và

Đạo hàm theo biến thời gian t của V (ζt) sau đó thế (2.16) và (2.17) vào công thứcđạo hàm Ta có

Do đó kζ1(t)k bị chặn Kết hợp điều này với (2.15) ta có thể suy ra từ (2.17) là

kζ2(t)k cũng bị chặn Do vậy từ (2.16) ta suy ra được ζ˙1(t) bị chặn Từ đó ta có

dt

t kζ1(t)k2 cũng bị chặn Áp dụng bổ đề (1.2.8) ta có kζ1(t)k2 liên tục đều Kết hợp(2.20) với bổ đề (2.1.2) (Barbalat’s lemma) ta có

lim

t→∞kζ1(t)k = 0 (2.21)Chú ý rằng, với mọi số t > 0 tồn tại một số nguyên dương k sao cho

Trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, E ∈ Rn×n là ma trận có thể suy biến, A, Ad

và B là các ma trận hằng số thực với số chiều thích hợp, φ(t) là hàm vectơ thực

liên tục với mọi t ∈ [−τ, 0] ∆A, ∆ Ad và ∆B là các ma trận biểu diễn cho tham sốkhông chắc chắn thỏa mãn điều kiện sau đây

h

∆A ∆Ad ∆B

i

= M F (σ)hNA Nd NBi, (2.24)trong đó, M, NA, Nd và NB là các ma trận thực hằng số với số chiều thiều thíchhợp Ma trận không chắc chắn F (σ) thỏa mãn

Định nghĩa 2.2.2 Hệ không chắc chắc (Σ) được gọi là ổn định hóa được toànphương tổng quát nếu tồn tại hàm điều khiển tuyến tính u(t) = Kx(t), K ∈ Rm×nsao cho hệ đóng ( hệ (Σ) với u(t) = Kx(t)) là ổn định toàn phương tổng quát Khi

đó, u(t) = Kx(t) được gọi là hàm điều khiển phản hồi của hệ (Σ)

Mệnh đề 2.2.1 Hệ không chắc chắn (Σ) là ổn định toàn phương tổng quát nếutồn tại hai ma trận Q > 0 và P sao cho

EPT = P ET > 0, (2.26)(A + ∆A)PT + P (A + ∆A)T + (Ad+ ∆Ad)PTQ−1P (Ad+ ∆Ad)T + Q < 0, (2.27)với mọi ma trận tham số không chắc chắn chấp nhận được ∆A và ∆Ad

Mệnh đề 2.2.2 Hệ không chắc chắn (Σ) là ổn định hóa được nếu tồn tại một hàmđiều khiển tuyến tính u(t) = Kx(t), K ∈ Rm×n, ma trận Q > 0 và ma trận P thỏamãn

EPT = P ET > 0, (2.28)

(AK + ∆AK)PT + P (AK + ∆AK)T

+(Ad + ∆Ad)PTQ−1P (Ad + ∆Ad)T + Q < 0, (2.29)với mọi ma trận tham số không chắc chắn chấp nhận được ∆A, ∆Ad, ∆B Trongđó

AK = A + BK, ∆AK = ∆A + ∆BK (2.30)

Bổ đề 2.2.1 ([4] ) Xét hệ không chắc chắn (Σ) Nếu hệ không chắc chắn (Σ) là

ổn định toàn phương tổng quát thì hệ ổn định vững Nếu hệ không chắc chắn (Σ)

là ổn định hóa được toàn phương tổng quát thì hệ là ổn định hóa được vững

Bổ đề 2.2.2 ([4] ) Cho các ma trận Ω, Γ, Ξ với số chiều thích hợp và Ω là ma trậnđối xứng thì khi đó

Ω + ΓF (σ)Ξ + (ΓF (σ)Ξ)T < 0,với mọi ma trận F thỏa mãn F (σ)F (σ)T 6 I, khi và chỉ khi tồn tại ε > 0 sao cho

Chứng minh Điều kiện đủ:

Giả sử rằng tồn tại số ε > 0, ma trận X > 0, Q > 0 và Y thỏa mãn bất đẳng thức(2.31) Bằng cách đặt P = EX + Y ΦT, khi đó ta dễ dàng thấy rằng

Áp dụng bổ đề (1.2.3) (Schur complement lemma), từ bất đẳng thức trên và bấtđẳng thức (2.31) ta suy ra



(A + ∆A)PT + P (A + ∆A)T + Q (Ad+ ∆Ad)PT

P (Ad + ∆Ad)T −Q



< 0,

điều này tương đương với

(A + ∆A)PT + P (A + ∆A)T + (Ad+ ∆Ad)PTQ−1P (Ad+ ∆Ad)T + Q < 0

Từ bất đẳng thức trên cùng với bất đẳng thức (2.32), theo định nghĩa (2.2.3) tasuy ra hệ đã cho là ổn định toàn phương tổng quát

Điều khiện cần:

Giả sử hệ không chắc chắn, suy biến có trễ hằng (Σ) là ổn định toàn phương tổngquát Theo mệnh đề (2.2.1) nghĩa là tồn tại các ma trận Q > 0 và P sao cho (2.26)