TOÁN CAO CẤP - HÀM NHIỀU BIẾN

Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

ξ1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi ∈ R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn

Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi ∈ R, i = 1, n}

Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x

2 i

i y )x

()

y,x(d

Một số tính chất của d:

a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0  xi = yi, ∀I  x = yb) d(x,y) = d(y,x)

c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y)

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Điểm biên: Điểm x0 ∈ Rn được gọi là điểm biên của D

⊂ Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các

điểm x, y: x ∈ D, y ∉ D Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D

Lân cận: Cho x0∈Rn và số r > 0 Tập S(x0, r) = {x ∈

Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0

Điểm trong: Điểm x0∈Rn được gọi là điểm trong của

D ⊂ Rn nếu D chứa một lân cận của x0

Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D

Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D

)x,

x,x(:

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

ξ2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận

M0(x0,y0), có thể không xác định tại M0 Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0: d(M,M0) < δ => |f(M) – L| < ε

2 0

2 0

0) (x - x ) (y - y )M

L)

M(f

+

→ 2

2

2 2

) 0 , 0 ( ) y , x

)yx

sin(

lim

++

→

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu

)y,x(f)

y,x(f

) y , x ( ) y , x

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

ξ3 ĐẠO HÀM RIÊNG

Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D,

M0(x0,y0) ∈ D Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0 Ký hiệu:

)y,x

(x

z ),y,x

(x

f ,)y,x(

0 x

0 y

3

4 5x y 2yx

yx

u =

fx

fx

'' xx 2

fx

fy

'' yx

fy

x

fy

fx

'' xy

fy

fy

'' yy

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm

số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng:

x

vv

fx

uu

fx

fy

uu

fy

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

ξ3 ĐẠO HÀM HÀM ẨN

Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình

F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, ∀x ∈ (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0

Ví dụ: xy – ex + ey = 0

y = −

Ví dụ: Tính y’ nếu:

F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0F(x,y) = xy – ex + ey = 0

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0 Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của

f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0

Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:

z

x

F

Fx

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

ξ4 CỰC TRỊ

Cực trị tự do:

Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại

điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận ∆ của M0 sao cho f(M) ≤ f(M0), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M0), ∀M ∈ ∆) F(M0) gọi

xx

zz

xy

xx 2

, xx

z

zH

z

• Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu

• Nếu |H1|<0, |H2|>0: z đạt cực đại

ij f

f =

nn 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

n 22

21

12

11 2

11 1

f

ff

ff

f

ff

H

,

ff

f

fH

,f

• Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu

• Nếu |H1|<0, |H2|>0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại

Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z

=

=λ

fL

0g

fL

y y

y

x x

x

λ là nhân tử Lagrange, điểm M (x ,y ) của hệ trên gọi là

Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên

Đặt hàm Lagrange: L(x,y,λ) = f(x,y) + λ(c-g(x,y)) với

g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì:

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1

2

2 yx

−

=

=λ

−

=

=λ

fL

0g

fL

0g

fL

n n

n

2 2

2

1 1

1

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thức Hessian đóng:

yy yx

y

xy xx

x

y x

LL

g

LL

g

gg

0

• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện

• Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện

Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:

Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c Hàm Lagrange: L = f + λ(c-g) Xét tại điểm dừng M0(x0,y0), ta xét định thức Hessian đóng:

nn 2

n 1

n n

n 2 22

21 2

n 1 12

11 1

n 2

1

L

LL

LL

g

L

LL

g

g

gg

0

• Nếu |H2|<0, |H3|<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu

• Nếu |H |>0, |H |<0,… (-1)n|H |>0 : z đạt cực đại

C3 HÀM NHIỀU BIẾN

Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z

với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1