BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG
-TOÁN 1 GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
BÀI 5: ĐẠO HÀM
Trang 2NỘI DUNG
HÀM
NGƯỢC
CẤP CAO
HÀM KHÔNG SƠ CẤP (HÀM GHÉP) – ĐẠO HÀM 1 PHÍA 3- ĐẠO HÀM
HÀM ẨN
Trang 3ĐẠO HÀM
-
x
x f x
x
f x
f x
x
x f x
f x
f
x x
x
) ( )
( lim lim
lim )
(
0 0
0
0 0
0
Ý nghĩa hình
học: Hệ số
tuyến của đồ
thị (C) y = f(x)
tại tiếp điểm
M(x 0 , f(x 0 ))
Hàm có đạo
hàm tại x 0
Liên tục tại
x 0 Ngược lại:
SAI!
Trang 4HÀM GHÉP, TRỊ TUYỆT: ĐẠO HÀM MỘT
PHÍA
-
-) 0
) ( )
( lim
) (
0
x
x f x
x
f x
f
Đạo hàm
phải:
Đạo hàm
trái:
) (i.e 0
) ( )
( lim
) (
0
x
x f x
x
f x
f
x
Hàm y = f(x) có đạo
f’(x 0 +) = f’(x 0)
x x , x0 0
f
VD:
VD: Tính đạo hàm tại x 0 = 1
1 ,
1 2
1 ,
2
x x
x
x x
f
Trang 5KHI NÀO DÙNG ĐẠO HÀM 1 PHÍA?
-
-VD: Tìm a, b để
hàm số sau có
đạo hàm tại x 0 =
0
0 ,
cos sin
0 ,
1
2
x x b
x a
x bx
ax x
f
Chú ý: Nên kiểm tra trước
điều kiện liên tục
0 ,
0
0 ,
1 sin )
(
2
x
x x
x x
f
đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương, hợp Đạo hàm hàm không sơ cấp ( 2 biểu
thức): định nghĩa & dùng đạo hàm trái, đạo hàm phải
Trang 6TÍNH ĐẠO HÀM HÀM SƠ CẤP
-
-Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp
cơ bản: tự xem lại
Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp (C)’ = 0
(x)’ = x–1 (u)’ = u–1.u’
(1/x)’ = –1/x2 (1/u)’ =
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = (cosx)’ = –sinx (cosu)’ = (tgx)’ = 1/cos2x = 1 +
tg2x (tgu)’ = (cotgx)’ = –1/sin2x = (cotgu)’ =
(ex)’ = ex, (ax)’ = axlna (eu)’ =
(lnx)’ = 1/x, (logax) = 1/
(xlna)
(lnu)’ =
Trang 7QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
-
-Quy tắc đạo hàm tổng, hiệu, tích,
thương: tự xem lại
u v'u'v' Cu ' Cu' uv 'u'v v'u
'
'
'
v
u v v
u v
y = f(x) g(x) log (cơ số e)
hoá 2 vế VD:
? '
1 1
2
x y
x
u , u u(x) : y f u(x) y'x y'u u'x : Xuất hiện u'!
f
Đạo hàm hàm hợp: Quy
tắc dây xích!
VD: Cho y = f(x 2 ) Tính các đạo
hàm y’, y’’
Trang 8ĐẠO HÀM HÀM ẨN
-
-Hàm ẩn : F(x,y) = 0 x [a, b] y =
y(x) x [a, b] VD : Hàm ẩn y = y(x) xác định từ phương
y x
xe
e y
1 '
Tính y’: Đạo hàm trực tiếp 2 vế theo
x, chú ý y = y(x)
trình ẩn y’
VD : Đạo hàm y’(0) của hàm ẩn
ln 2 0 '( )
0 y'(0)
y
Trang 9ĐẠO HÀM HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC –
HYPERBOLIC
-
-y = f(x) hàm
ngược x = g(y)
Tại y 0 = f(x 0 ):
x f
y
f x
f
y
g
'
1 '
1
0
1
1 '
arctg
; 1
1 '
arccos
; 1
1 '
arcsin
x
x x
x x
x
:
Gnhớ
2
1
1 x
2
1
1 x
1 2
1 x
1 2
1 x
2
1 ' u
2
1 ' u
1 2
' u
1 2
' u
u
u' cosh2
u
u' sinh2
(arcsinx)’ = (arcsinu)’ =
(arccosx)’ = (arccosu)’ =
(arctgx)’ = (arctgu)’ =
(arccotgx)’ = (arccotgu)’ =
(shx)’ = chx (shu)’ = u’ chu
(chx)’ = shx (chu)’ = u’ shu
(thx)’ = 1/ch2x = 1 – th2x (thu)’ =
(cothx)’ = –1/sh2x = 1 –
coth2x (cothu)’ =
Trang 10ĐẠO HÀM HÀM THEO THAM SỐ
-
-Hàm theo tham số : x = x(t), y =
y(t) y = y(x)
VD : Hàm biểu diễn đường cycloid x = a(t – sint), y = a(1 – cost)
t
t
x x
x x
x
x
y y
y t
x
t
y y
'
' '
' ''
; ) ( '
) (
'
đ/hàm theo t!
VD : Tham số hoá đường elip & viết
sin '
'
cos '
' '
cos
sin
t a
t
b x
y y
t b
y
t a
x
t
t
Đường
t
y x
cos 1
sin '
Trang 11ĐẠO HÀM CẤP CAO
-
(x) = [y Ký (n-1) (x)]’
n
dx
y
cấp cao cơ bản:
x n x
e
a a
a x n x lnn
2
sin
sin x (n) x n
2
sin sin ax b (n) a n ax b n
axb (n) a n 1 n 1ax b n
n
n n
b ax
n
a b
ax
) 1 (
ln ( ) 1
Trang 12KỸ NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO
-
-Phân tích hàm về dạng “tổng”
các hàm đơn giản
VD:
1
1 )
( 2
x
x
VD: f(x) =
x 2 e x
uv n C u v C n uv n C n u vn C n n u n v
k
k n k
k n
n
0
) ( )
: Lebnitz
Tổng quát: f(x) = u.v, u – đa thức bậc m
Các đạo hàm u (k) = 0 k > m Tổng
u (k) v (n – k) chỉ gồm vài thừa số: tính đơn giản!