BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG
-
TOÁN 1 HK1 BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN LIÊN TỤC
Trang 2VÔ CÙNG BÉ
-
-( ) 0
lim
0
=
x
Đại lượng α(x) – vô cùng bé
(VCB) khi x → x 0 :
VCB cơ bản (x → 0):
Lượng giác
( )x = sin x ,1−cos x , tgx
α
Mũ,
ln:
( x)
e x −1, ln 1+ Lũy
thừa:
(1+ x)α −1 VD: 1+3x −1
x 0 : Không quan trọng VCB
x → ∞:
x
1
VCB x → 1: sin(x– 1) …
VD
x
c x
x
b x
a
x x
x
π π
π / lim sin / lim sin
sin lim
/
0
→
α(x), β(x) – VCB khi x
→⇒ xα0 (x) ± β(x) , α(x)β(x):
VCB
⇒ C(x)α(x):
VCB
α(x) VCB, C(x) bị chặn
lim + −
∞
→
Trang 3SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ
-α(x), β(x) – VCB, x → x 0
và ∃
( ) ( )x c
x x
→ 0 αβ
lim ⇒ So sánh
được
VD: So sánh
VCB:
x x
x,1 cos , tg sin −
1/ c = 0 : α(x) – VCB cấp cao so với β(x):
α(x) = o(β(x))
2/ c = ∞: Ngược lại trường hợp c = 0 ⇒
β3/ c (x) = o(≠ 0, c α(x))≠ ∞ : vô cùng
bé cùng cấp
Cách nói khác: β(x) – VCB
cấp thấp hơn
VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0”
hơn VD: sin 2 x, x 3
Aùp dụng: So sánh 2 vô cùng bé x m , x n
(m, n > 0) khi x → 0
Trang 4VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN
TRỌNG)
-
-α(x), β(x) – VCB tương đương khi x
→ x 0 ⇔
( ) ( ) 1
lim
0
=
x x
α
VD: Tìm hằng số C
và α để:
0 ,
~ sin
tgx − x Cxα x →
VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!)
VCB lượng
giác:
0
, 2
~ cos
1 ,
~ tg ,
~ sin
2
→
x x
x x
VCB mũ,
ln:
ln ,
~
e x
VCB lũy thừa
(căn):
(1+ x)α −1~ αx, x → 0 VD:
3
2
~ 2 1
x
+
Trang 5DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN
-
-3 0
tg
sin lim
x
x
x
x
−
→
: VD
α ~β & α1 ~ β1 khi x → x 0 ⇒ α ± α1
~ β ± β1
VD:
Tìm
x x
x
tg 2 1
ln lim
2 0
+
→
x
x
3 cos
ln lim
/
→
x có thể → x 0 bất
kỳ VD: Tìm
x
x x
+
−
−
+
∞
3
2 lim 2
2
Aùp dụng: Dùng vô cùng bé tương
đương tính giới hạn
x
x x
x x
x
x x x
x x
x x
1 1
1
0 0
0 0
lim lim
~ ,
~
β
α β
α β
β α
α
→
→
→
Tìm lim : Có thể thay VCB tđương vào TÍCH
(THƯƠNG) Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU)
Trang 6QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ
-
-α, β – VCB khác cấp ⇒ α + β tương đương VCB cấp thấp hơn
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: α(x), β(x) – tổng VCB khác cấp ⇒ lim α/β = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu)
VD: ( )
( 2 )
3
2 cos
ln lim
x
x
x
+
→
x x
x x
x
tg 3 2
2
sin
+ +
−
+
→
≠ +
=
≠ +
+
⇒
→
→
0
&
iff
~ ,
~
,
~
µ λ
β α
β
α µ
λ µ
β
α
x x
g
f a
x x
g
a x
x f
Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & Σ ≡ 0
x
x
x
x
+∞
→
→ sin 2/ lim
lim
/
1
1
ln 1
1 lim
x
x x
x
x
Trang 7VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT
BỎ VCL
- -Hàm y = f(x) – vô cùng lớn (VCL)
khi x → x 0 :
( ) = ∞
→ f x x
xlim0
Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất
Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính lim
So sánh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x → x 0 và ∃
giới hạn f/g
c x
g
x
f
x
→ ( )
)
( lim
0
VD: 3x2 4x 1 ~ 3x2
x→ ∞
+
∞
→
∞
→ xα β x a α
a
x x
x
c ≠ 0, ∞: f(x), g(x) – VCL cùng cấp
c = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ g
c = ∞: f – VCL cấp cao hơn g
Viết: f >> g
Trang 8KẾT LUẬN
- -Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé
(chẳng hạn dạng 0/0 …):
Dạng tích (thương) ⇒ Thay các THỪA SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn giản hơn( ) ( )
( ) ( ) ( )h ( )x
x g x
f x
h
x g x
f
x x x
x
1
1 1
0 0
lim
lim
→
→ = với f(x) ~ f 1 (x), g(x)
~ g 1 (x) …
Dạng tổng VCB khác cấp ⇒ Thay bằng VCB cấp thấp 1 Dạng tổng VCB tổng quát Σf i (x) ⇒ Thay mỗi f i (x) bằng VCB tương đương dạng luỹ thừa:
( )x ~ C x i & ∑C x i ≡ 0
Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng ∞/∞ …): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) khi tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp cao nhất
Trang 9HÀM LIÊN TỤC
-
-Hàm sơ cấp (định nghĩa qua 1 biểu thức) liên tục ⇔ xác định
VD: Tìm a để hàm liên
=
≠
=
0 ,
0 ,
sin
x a
x x
x y
f(x) xác định
tại x 0 ( ) ( )0
0
lim f x f x
x
→
Hàm f(x) liên
tục tại x 0 :
Hàm liên tục/[a, b] ⇔ (C): đường liền Giá
n đoạ n!
VD: Khảo sát tính liên tục
của các hàm số:
1
1
tg
2
+
−
+
=
x
x
x y
a
x
x y
b / = sin
≥
−
<
=
1 ,
1
1
, )
(
/
x x
x
x x
f
Khôn
g sơ cấp!
Trang 10LIÊN TỤC MỘT PHÍA
-
-Hàm f(x) liên tục tại x 0 ⇔ Liên tục trái & liên tục phải tại x 0
( )
( )0 0
0
lim f x f x
x f
x
−
−
→
f(x) liên tục phải tại x 0 khi xác
định tại x 0 và
( )
( )0 0
0
lim f x f x
x f
x
+
+
→
f(x) liên tục trái tại x 0 khi xác
định tại x 0 và
Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt … ⇒ Khảo sát
VD: Khảo sát tính
=
≠ +
1 ,
1
1
, 1
1 )
1
x
x e
x
ý:
?
lim =
∞
→
x
Trang 11PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN
- -Hàm f xác định & gián đoạn tại
x Hoặc 0 ⇔ Không có ∃ lim f ≠ f(x 0 ), hoặc lim – ≠ lim + , hoặc ∃
lim f: 3 trường hợp!
( ) ( )0 0
lim f x f x
x
→
Loại 1:
Điểm khử được :
( ) ( )0 0
lim f x f x
x
∃
→
nhảy :
( )x f ( )x
f
x x x
0 0
lim lim
Bước nhảy :
( )x f ( )x
f
x x x
0 0
lim lim
Loại 2:
f
x x x
∃
0 0
lim lim hoặc
(Hoặc không tồn tại cả
2 ghạn 1 phía)
f(x)
gián
đoạn
tại x 0
Trang 12VÍ DỤ
- -Điểm x 0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại
( )
=
≠
=
0 ,
0 ,
sin
x a
x x
x x
f
Trang 13VÍ DỤ
-
-( )
=
≠
=
0 ,
1
0 ,
sin
x
x x
x x
f
Điểm x 0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại
Trang 14VÍ DỤ
- -Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo a
( )
=
≠
=
0 ,
0 ,
1 sin
x a
x x
x
f
( ) a
( ) a
Trang 15TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT
ĐOẠN
-f bị chặn trên [a,
b]: ∃ m, M
& m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈
[a, b]
f đạt GTLN, BN trên [a, b]:
∃ x 0 , x 1 ∈ [a, b]: f(x 0 )
= m, …
f nhận mọi giá trị
trung gian: ∀ k &
GTBN ≤ k ≤ GTLN ⇒ ∃
c ∈ [a, b]: f(c) = k
(Hay sử dụng) Định lý giá trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) <
0 ⇒ ∃ c ∈ (a, b) : f(c)
= 0
Chú ý: Không
thể thay đoạn
bằng khoảng!
Hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b]
Trang 16VÍ DỤ
-
-2/ Chứng minh phương trình sau có ít
nhất 1 nghiệm âmx5 =1− x
1/ Tìm a, b để
hàm số sau
liên tục trên R
≥
<
<
+
≤
−
=
1 ,
1 0
,
0 ,
1 2
x x
x b
ax
x
x x
tục tại 0 & 1
a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định trên
b/ Bao nhiêu hàm số f(x) liên tục trên R:
f 2 (x) = 1 ∀ x ∈ R
f(x) liên tục trên (0, 3) Để pt f(x) = 0 có nghiệm trên (a, b):
a/ f(2)f(3) < 0, (a, b) = (2, 3) b/ f(1)f(2) <
0, (a, b) = (1, 2)