MA TRẬN - ĐỊNH THỨC- TOÁN CAO CẤP

Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột. Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu

m 1

m

n 2 22

21

n 1 12

11

a

aa

aa

a

aa

A

• aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j

m 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

a

aa

aa

a

aa

A

• a11,a22,…ann được gọi là các phần tử chéo.

• Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là

n 1 12

11

a

00

a0

a

aa

n 1 12

a

a

aa

aa

0

0a

aA

00

a0

0

0a

a

a

aA

 Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aii=1; aij = 0, i≠j

01

I

00

0

00

1.1.4 Ma trận bằng nhau: A=B

1) A=[aij]m x n; B=[bij]m x n

11

2819

2015

13

2416

1814

9

3027

1512

10

A

22

3

12

31

5

41

35

02

13

2

1A

• k(A + B) = kA + kB

• (k + h)A = kA + hA

Tính 2A?

k ik kj

pj ip 2j

i2 1j

03

01

12

13

21

02

3

11

2

• Phép nhân nói chung không có tính giao hoán

• A=[aij]n x n => I.A = A.I = A

1 MA TRẬN

theo kế hoạch sản xuất cho bởi 2 bảng số liệu sau:

A 1 2 0 2 0

B 0 1 1 2 0

C 0 0 2 1 3

2 ĐỊNH THỨC2.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA:

12

11

aa

a

aA

thì det(A) = a11a22 – a12a21

m 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

a

aa

aa

a

aa

A

• Aij là ma trận con cấp n-1 nhận được từ A bằng cách xoá hàng i cột j

• Cij = (-1)i+jdet(Aij) là phần bù đại số của aij

• A là ma trận vuông cấp n:

2 ĐỊNH THỨC

98

7

65

4

32

1A

j 1 n

1

j 1j 1j

)Adet(

a)

1(C

a)

A

det(

2 ĐỊNH THỨC2.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:

• Tính chất 1:AT=A

của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột

• Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức

cũ đổi dấu

2 ĐỊNH THỨC

• Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không

• Tính chất 4: Một định thức có một hàng (hay một

cột) toàn là số không thì bằng không

• Tính chất 5: Khi nhân các phần tử của một hàng

(hay một cột) với cùng một số k thì được một định

thức mới bằng định thức cũ nhân với k

có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung

đó ra ngoài định thức

2 ĐỊNH THỨC

• Tính chất 7: Dòng thứ i nào đó có aij = a’ij + a”ij

thì det(A) = det(A’) + det(A”)

, 1 i

n 2 22

21

n 1 12

aa

a

aa

"

1 i

n 2 22

21

n 1 12

aa

a

aa

A

• Tính chất 6: Một định thức có hai hàng (hay hai cột)

tỷ lệ thì bằng không

75

4

31

2)

A

det( 

2 ĐỊNH THỨC

• Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giá bằng tích các phần tử chéo

nn 22

11 nn

n 2 22

n 1 12

11

a

aa

a

00

a0

a

aa



nn 22

11

22 21

11

a

a

a

0

aa

0

0a



2 ĐỊNH THỨC2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC:

• Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

• Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp

Nhân một hàng với một số k≠0 Định thức nhân với k TC 5Đổi chỗ hai hàng Định thức đổi dấu TC 2Cộng k lần hàng r vào hàng s Định thức không đổi TC 9

2 ĐỊNH THỨC

84

32

18

90

43

21

87

65

)A

det( 

3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

cấp n là một ma trận không suy biến nếu det(A) ≠ 0

nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n thoả mãn: AB = BA

= I thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A

• Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả

nghịch.

• Ký hiệu: B = A-1, nghĩa là ta có AA-1 = A-1A = I

3.3 Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo:

3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

3.4 Sự tồn tại và biểu thức ma trận nghịch đảo:

được tính bởi công thức sau:

2 n

1

2 n 22

12

1 n 21

11 T

1

C

CC

CC

C

CC

A

1C

A

1A

• Trong đó Cij là phần bù đại số của phần tử aij

2 n

1

2 n 22

12

1 n 21

11 T

1

C

CC

CC

C

CC

A

1C

A

1A

3A

3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

3.5.1 Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp

của Gauss - Jordan:

1 Nhân một dòng nào đó của ma trận với một số thực khác không

2 Cộng vào một dòng của ma trận một dòng khác đã nhân với một số thực

3 Đổi chỗ hai dòng của ma trận cho nhau

Để tìm ma trận nghịch đảo dùng các phép biến

đổi sơ cấp sau cho: [A│I] = [I│A-1]

22

1

21

1A

4 HẠNG CỦA MA TRẬN

số nguyên dương, p<min(m,n)

• Định nghĩa: Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi m-p hàng và n-p cột gọi là ma trận con cấp

4 HẠNG CỦA MA TRẬN

4.2 Hạng của ma trận:

• Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A

Nếu r là hạng của ma trận nếu:

• Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0

• Mọi định thức con cấp lớn hơn r trong ma trận A đều bằng 0

• Nếu A có ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng

khác 0 tuỳ ý của A, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòng trên

2 1

1 D

4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.4 Các phương pháp tìm hạng ma trận.

4.4.1 Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa.

- Nếu gặp một định thức khác 0 thì kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó.

- Nếu tất cả các định thức đều bằng 0 thì tiếp tục bước 2.

- Nếu gặp một định thức khác 0 thì ta kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó.

- Nếu tất cả các định thức đều bằng 0 thì tiếp tục bước 3.

67

111

31

52

A

41

12

24

3

1A