Bài tập toán cao cấp - Phần 2 pptx

Tìm cực trị... Tính tích phân đường loại 2.

ĐỀ TÀI 5

15- Câu 1: Cho hàm z = x2 – 2xy + 1 Tìm cực trị

Giải:

Ta có: z = x2 – 2xy + 1 = f(x,y)

x

y





0

x y x









0

x y











Vậy điểm dừng là (0,0)

Ta có: Af  x2 2 mà  AC B 2

2

xy

Bf     0 ( 2)2

y

Cf    4 0 

 Tại (0,0) không có cực trị

24 - Câu 2: Cho hàm z = x6 – y5 – cos2x – 32y Tìm cực trị Giải:

Ta có: z = x6 – y5 – cos2x – 32y = f(x,y)

5 4

x

y











5 4

y







x = 0 (vì sinx và cosx đối nhau)

4 32

5

y  (vô nghiệm)

Vậy hàm z không có điểm dừng

33- Câu 3: Cho hàm z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y Tìm cực trị Giải:

Ta có: z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y = f(x,y)

x

y













1

x y











Vậy điểm dừng là (1,-1)

Ta có: Af  x2 2 mà  AC B 2

4

xy

Bf   40 16 

y

Cf    24 0 

mà A  2 0

 (1,-1) là điểm cực tiểu

59 - Câu 4: Xác định cận của tích phân: I =

D

y x

f ( , dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường: D: x + y  1, x – y  1, x  0

Giải:

Ta có ( , )

D

I f x y dxdy (*)

Ta có: x + y  1 y 1 x

x – y  1 y x 1

mà x  0

1 1

0 1

,

x

x





68 - Câu 5: Đổi thứ tự tính tích phân I =

1

0

dx

 3

0

( , )

x

f x y dy

Giải:

Ta có:

3 3

y x

 



 



 

3

1 1 1

1

1

y

1 4

0

1

78 - Câu 6: Thay đổi thứ tự tính tích phân: I =

2 2

1

( , )

x

x

dx f x y dy

Giải:

   

 

2

y



 

2

y

y J

K

I  dy f x y dx dy f x y dx

      

      

y = x

x = 2

x = 1

y = 2x

1

2

y

D2

D1

x = 1

y

D 1

-1

-1

y

y = x-1

y = 1-x 2

1

-1

   

2

1

J  x dy y dy   y       

4

2

2

y

K  x dy   dy y        

1

87 - Câu 7: Tính tích phân

2

1

3

0 0

3

y xy

I  dy y e dx

Giải:

2

1

3

0 0

3

y

xy

1 2

0 0

3y e xy |y dy

3

       

1

2

0

3y e dy y

 đặt ty3 2

3

dt

y dy

1

1 0 0

t t

J e dt e  e (1)

1

2 3 1

0 0

K y dyy  (2)

(1)(2)

   I   e 1 1  e 2

105 - Câu 8: Tính cos

D

y

x

 D là miền giới hạn bởi 1, 2, 0,

2

Giải:

2 2

1 0

D



0

dx



2

1

ln |x ln 2

115 - Câu 9: Tính tích phân: 2 

D

I  x y dxdy D là tam giác OAB với O(0,0); A(1,0); B(0,1)

Giải:

1 1

0 0

2 2

2

D

x y

O

D

x

y

A(1,0) B(0,1)

y

x = 1

x = 2

2

D

1

1

x

1 2 1

0 0

y

y

125 - Câu 10: Tính tích phân: 2 2

D

dxdy I





 trong đó D là hình tròn x2y2 9

Giải:

Ta có 0  2

vì x2y29 0  r 3

Ta đặt cos

sin

x r

y r















2

rdr

r



Câu 11: Gọi S là diện tích miền giới hạn bởi các đường y x và y x Tính S

Giải:

Ta có

 





 



Vậy

1

0

x

I  dxdy  dy dx

| x

x

2

3 2 1 1

0 0

x

x

149 - Câu 12: Xét tích phân bội ba f x y z dxdydz( , , )



 trong đó  là miền trong không gian được giới hạn bởi các mặt x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0 và z = 2, tìm cận 

Giải:

Từ hình vẽ ta có cận = [0;2]x[0;2-x]x[0;2]

2 0

x



D

x

y

y = 2-x

1 1

y

=  

2

0

4 2 x dx4



159 - Câu 13: Tính tích phân bội ba xye dxdydz z



 , trong đó  là miền:

0 x 1;0 y 2;0 z ln 3

Giải:

 

1 2 ln 3 1 2 1 2

ln 3 ln 3 0

|

2

1 2 ln 3 2 1 ln 3 1

ln 3

2 ln 3 2 1 ln 3

0

170 - Câu 14: Tính I xycoszdxdydz



 ,  là hình hộp 0 1;0 2;0

2

Giải:

2 0





=

2

2 1 0

2

xy

180 - Câu 15: Cho  là phần hình trụ: x2y2 1;1 z 4.Đặt I f x y z dxdydz( , , )



Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân

Giải:

Ta có x2 y2  1 0r 1

Đặt

y r



.cos , sin ,



202 - Câu 16: Tính tích phân đường ( )

C

I x y dl , trong đó C có phương trình

Giải:

Ta có:

'

x



1

2

211 - Câu 17: Tính tích phân đường

C

I ydl, trong đó C có phương trình x y 1;0 x 1 Giải:

Ta có:

'

x



2

1

2

x

Câu 18: Tính tích phân đường ( )

C

I x y dl , trong đó C là đường biên của tam giác với các đỉnh O(0,0); A(1,0) và B(0,1)

Giải:

Ta có:

C OA AB BO

   

1

0

1 0

2

OA

  (1)

Trên AB ta có phương trình đường thẳng y = 1-x  y x 1

1

0

AB

1

1 0

BO

y

y dy

(1)(2)(3) 12 2 12 2 1

C

231 - Câu 19: Tìm độ dài cung tròn x a cos ,t y a sint với

 

Giải:

Ta có: x a ya sincost t





sin cos

t t

 



 

 

 và

 

Ta có: ds ( )x t2 ( )y t 2dt  a2sin2t a 2cos2tdtadt

y

B(0,1)

3 6 6

6









Câu 20: Tính ( 2 2 ) (2 2)

OA

I y  xy dx xy x dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(1,2) Giải:

Ta có phương trình đường thẳng OA: y = 2x => dy = 2dx

   

1

0

257 - Câu 21: Cho C là biên của hình chữ nhật D = [-1;1] x [0;2] Tính

C

Giải:

Áp dụng công thức Green:

Ta có sincos sin

sin

y x

 







267 - Câu 22: Cho C là biên của hình chữ nhật 1 x 3;0 y 3 Tính tích phân đường loại 2

I x y dx x y dy

Giải:

Áp dụng công thức Green:

y x

P

 



 



I  Pdx Qdy   dxdy dx dy dx 

(Từ câu 23 đến câu 28 là nội dung của Tích phân Mặt, bỏ)

385 - Câu 29: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2xydx dy 0

Giải:

Ta có 2xydx dy 0 (*)

Khi y 0chia 2 vế cho y Từ  * 2xdx dy 0

y

y

397 - Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y y y2

  

Giải:

Ta có y y y2

Từ (*)  u x u u u    2

2

du

dx

x

1

     (nghiệm tổng quát)

413 - Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y 1 tgx 1tg x y2  0

Giải:

Ta có:y 1 tgx 1tg x y2  0 (*)

4

tgx  x  , chia 2 vế cho 1 tgx

tg x dx





 



 

 

2

1

1

tg x dy

dx





      (**)

(1) = ln|y|

(2) Đặt u = 1 + tgx du  1 tg x dx2  du ln | | ln |1u tgx|

u

Từ (**), ta có được nghiệm tổng quát:  ln | | ln |1y  tgx|C y 1 tgx C

425 - Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: xy2y3x

Giải:

Ta có: xy2y3x (*)

Từ (*) khi x 0chia 2 vế cho x ta đượcy 3 2y u x u 3 2u

x

 

3 1

du

dx

1



1



x

    (nghiệm tổng quát)

443 - Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 4y16y0

Giải:

Ta có: 4y16y0 (*)

Phương trình đặc trưng: 4k 2 16 0 1

2

2 2

k k





 





Phương trình vi phân (*) có 2 nghiệm phân biệt 2 2

1 x; 2 x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: 2 2

1 x 2 x

Câu 34: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y 8y12y e 2xx21

Giải:

Ta có:y 8y12y e 2xx21 (*)

Xét phương trình thuần nhất: y 8y12y0 (**)

Ta có phương trình đặc trưng: k2  8k12 0 1

2

6 2

k k





 





Phương trình (**) có 2 nghiệm riêng: 6 2

1 x; 1 x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là y C x y 1  1C x y2  2 (***) Trong đó C x1  và C x2  là nghiệm của hệ phương trình

 

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2







 

x x







Đơn giản e2x, ta được :

4

x x







Áp dụng định thức Wronsky, ta được

     

1 2

x

   

4

0

1 6

x

x

e

x

e

Thế C1, C2 vào phương trình (***), ta được: y =e6x. x21dx e 2x.e4xx21dx=0

Câu 35: Giải phương trình 3x2y y2 y2 x xy2 0

Giải:

Ta có: 3x2y y2 y2 x xy2 0 (*)

Khi x 0, ta chia 2 vế cho x, từ (*) y2 x y2 3x2 y2 y

x



Từ (**) u x2 2 x2 u x u   3x2u x u2 2 ; đơn giản x2, và nhân phân phối :  u2  1u x u2 1u3u u2

u2 1u x 3 u2 u2 1u

 

2

2

1

du

x

u u



2

du

x

 2   2  2

du

x

Tính M:

dt

t



Tính N:

N =  2 1 2 2 1

  Đặt t u 2  dt2udu

t dt

dt



Thay (1) và (2) vào (***), có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là : ln | 22 1| 1ln | 22 |

2

C

Câu 36: Giải phương trình 1x y2 y2 1 0

Giải:

Ta có: 1x y2 y2 1 0 (*), đây là dạng phương trình khuyết y: yf x y , 

Nên ta đặt y p yp

Từ (*) => 1x2 p p2  1 0  2  2

p



Mà y  p yp x dx   ytg acrtgx C dx(  )

Vậy nghiệm tổng quát của phương tình (*) là: ytgarctgx C dx 