HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - TOÁN CAO CẤP

2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là:

I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

I.1 Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:

1 Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng:

+

=+

+

=+

+

m n

mn 2

2 m 1

1

m

2 n

n 2 2

22 1

21

1 n

n 1 2

12 1

11

bx

a

xa

xa

a

xa

xa

bx

a

xa

2 m a 1

m a

22

a 21

a

n 1 a

12 a 11

a A

3 Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:

n x

2 x 1

x n

x

2 x

1 x

2 b 1

b m

b

2 b

1 b

I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

mn 2

m 1

m

n 2 22

21

n 1 12

11

b

bb

a

aa

aa

a

aa

A

I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm:

• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương

trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung

Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm:

+

=+

+

=+

+

1ax

xx

1x

axx

1x

xax

3 2

1

3 2

1

3 2

1

II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME

2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ

phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định

thức của ma trận hệ số khác không

2.2 Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm

duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là:

)Adet(

)A

det(

xj = j

Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do

−

=+

+

−

=+

8x

3x

2x

30x

6x

4x

3

6x

2x

3 2

1

3 2

1

3 1

III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS

3.1 Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức ma trận các hệ số bằng không

3.2 Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến ma trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang

mn 2

m 1

m

n 2 22

21

n 1 12

11

b

bb

a

aa

aa

a

aa

A

n 2 22

n 1 12

11

'b

'b

'b

'a

00

'a0

'a

'a'

aA

=+

+

n n

' nn

2 n

' n 2 2

' 22

1 n

' n 1 2

' 12 1

'

11

'bx

a

a

xa

'bx

a

xa

xa

−

=

−+

=+

+

7x

7x

11x

4

2x

2x

x3

4x

3x

4x

2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

=+

+

=+

+

0x

a

xa

xa

a

xa

xa

0x

a

xa

xa

n mn 2

2 m 1

1 m

n n 2 2

22 1

21

n n 1 2

12 1

11

[0 0 0]T0

IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT

4.2 Phương pháp giải:

Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có

nghiệm tầm thường

Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số

−+

=

−+

+

=

−+

+

0x

4x

6x

5x

3

0x

3x

4x

2x

4 3

2 1

4 3

2 1

3

32

5

4

46

5

3

34

00

00

00

56

10

78

01

2

4 2

3

22 1

H

H H

23H H

H H

20

1518

30

56

10

34

21

4 1

3 1

2 1

H H

34H H

H H

3

=+

−

x5x

6x

0x

7x

8x

4 3

2

4 3

2

4 3

1

x5x

6x

x7x

8x

RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2

IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT

4.3 Hệ nghiệm cơ bản: Giả sử rankA = k < n Ta có hệ

có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số Giả sử n-k tham

IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT

Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm

cơ bản như sau:

x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4

V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG

5.1 Mô hình cân bằng thị trường:

1 Thị trường 1 loại hàng hóa:

11 10

d

2 12 1

11 10

s

Pb

Pb

bQ

Pa

Pa

aQ

1

1

++

=

++

=

2 22 1

21 20

d

2 22 1

21 20

s

Pb

Pb

bQ

Pa

Pa

aQ

2

2

++

=

++

=

• Sản phẩm 2:

)b

a(P

)b

a(P

)b

a

(

)b

a(P

)b

a(P

)b

a

(

20 20

2 22

22 1

21 21

10 10

2 12

12 1

11 11

−

=

+

20 2

22 1

21

10 2

12 1

11

cP

cP

c

cP

cP

d

1

s

PP

210

Q

P32

Q1

2 d

1

s

PP

15Q

P21

Q 2

−+

=

+

−

=

V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG

3 Thị trường n loại hàng hóa:

• Sản phẩm i:









+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

n in 2

2 i 1

1 i 0

i d

n in 2

2 i 1

1 i 0

i

s

P b

P b P b b Q P a

P a P a a Q i i • Hệ phương trình cân bằng: cij = (aij – bij)     − = + + + − = + + + 20 n n 2 2 22 1 21 10 n n 1 2 12 1 11

c P c

P c P c c P c

P c

P c

=

++

−

=

3 2

1 d

3 2

1

s

PP

P45

Q

PP

P28

Q

1 1

=

3 2

1 d

3 2

1

s

PP

4P

2Q

PP

2P

10Q

2 2

+

=

3 2

1 d

3 2

1

s

P4P

P1

Q

P2P

P14

Q

3 3

V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG

5.2.Mô hình cân đối liên ngành (I/O):

Giả sử một quốc gia có nhiều ngành sản xuất

Tổng cầu ngành:

- Cầu trung gian: sản phẩm dịch vụ hàng hoá ngành này là

yếu tố đầu vào phục vụ ngành khách.

- Cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng): phục vụ cho

hộ gia đình, chính phù và xuất khẩu.

2 i 1

in 2

2

2

i 1

xx

xx

xx

V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG













+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

n n

nn 2

2 n 1

1 n n

2 n

n 2 2

22 1

21 2

1 n

n 1 2

12 1

11 1

b x

a

x a x a x

b x a

x a x a x b x a

x a x a x i ij ij x x a =      = − − − − = − − − + − = − − − − 2 n n 2 2 22 1 21 1 n n 1 2 12 1 11

b x a

x ) a 1 ( x a b x a

x a

x ) a

1

(

Đặt:

2 m

a 1

n a

22

a 21

a

n 1 a

12 a 11

a

A => (I − A)X = B

• A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp

• aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật

• Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành

• Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử dụng

• [I-A] là ma trận Leontief

2 m

a 1

n a

22

a 21

a

n 1 a

12 a 11

a

A => (I − A)X = B

• A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp

• aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật

• Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành

• Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử dụng