32 CHUYÊN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KSHS LTĐH 2013

Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m.. Tìm m để hàm

b) y x 33(2m1)x2(12m5)x2 đồng biến trên khoảng (2; +)

a Hàm số luôn đồng biến trên R

b Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2; 

a Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; 

b Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 1

Tìm m để hàm số:

a) y x 33x2mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

ng 7: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x ( )ax3bx2cx d

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B

 Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

( )( )

 Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B

2) Hàm số phân thức ( ) ( ) 2

P x y



Ch

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

 Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0

0

( )( )

a



  

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành y CĐ.y CT 0

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung x CĐ.x CT 0

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0

2

' 2'

a) y(m2)x33x2mx5 có cực đại, cực tiểu

b) y x 33(m1)x2(2m23m2)x m m ( 1) có cực đại, cực tiểu

c) y x 33mx2(m21)x2 đạt cực đại tại x = 2

d) y mx42(m2)x2 m 5 có một cực đại 1

 có một giá trị cực đại bằng 0

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

Bài 4 Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) y ax 3bx2cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4

27 tại x =

13b) y ax 4bx2c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3

 đạt cực đại bằng 5 tại x = 1

Bài 5 Tìm m để hàm số :

y mx  m x  m x đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x12x21

Bài 6 Tìm m để hàm số :

Bài 7 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y  x3 mx24 có hai điểm cực trị là A, B và 2 900 2

 có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Bài 8 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y2x3mx212x13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung

b) y x 33mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

c) y x 33mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3x2y 8 0

và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ

x m



điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ

 luôn có có cực trị với mọi m Tìm m sao cho

hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x

5 Cho hàm số yx3  3mx2  9x 3m 5 Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương

trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy

 Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với

mọi m Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O

ĐS m   4 2 6

y  x x  m  x m  (1), m là tham số (ĐH Khối năm 2007)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều

x m

  



 

14 Tìm m để hàm số:

a) y2x33(m1)x26(m2)x1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1

b) y2x33(m1)x26 (1 2 )m  m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x

c) y x 3mx27x3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7

d) y x 33x2m x m2  có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

 





Bài 3 Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác có

diện tích S đã chỉ ra:

 



 ; S = 4

Bài 4 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm số đến hai

tiệm cận bằng một hằng số:

a Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất

b Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất

6 Cho hàm số 2 1

1

x y x

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x y 0 ; 0   C có hệ số góc k f ' x0

: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

 Giải phương trình f ' x k, tìm nghiệm x0 y0

 Phương trình tiếp tuyến dạng: yk x x0y0

Chú ý: Cho đường thẳng  :AxBy C 0 , khi đó

 Nếu d//   d :yax b hệ số góc k = a

 Nếu d   d :yax b hệ số góc k 1

a

  ạng 21: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A x A;y A   C

 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d :yk x x A y A

 Điều kiện tiếp x c của    d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:    

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C):y3x3x27x1 tại A(0; 1) b) (C):y x 42x21 tại B(1; 0)

x y

x





 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung

d) (C):y2x 2x21 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung

e) (C): y x 33x1 tại điểm uốn của (C)

y x  x  tại các giao điểm của (C) với trục hoành

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:

a) (C):y2x33x29x4 và d: y7x4

b) (C):y2x33x29x4 và (P): y x28x3

c) (C):y2x33x29x4 và (C’): y x 34x26x7

Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  có hệ số góc k được chỉ ra:

2

x y x

 



 ; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0

Bài 12 Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước:

x m

Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  đi qua điểm được chỉ ra:





 ; F(2; 3)

2

x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9)

C yx  x  Tìm t p hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể

kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)

C yx  x Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể

kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)

1

x y x

c) ( ) :C y  x3 3x2; d là trục hoành d) ( ) :C y x 312x12; d: y = –4

e) ( ) :C y x 4x22; d là trục tung e) ( ) :C y x42x21; d là trục tung

12 Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):

Bài 1 Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau

Viết phương trình các tiếp tuyến đó:

Bài 2 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C) vuông

góc với nhau:

a) ( ) :C y x 33x22; d: y = –2 b) ( ) :C y x 33x2; d là trục hoành

 ; d là trục hoành

Bài 4 Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía

với trục hoành;

2 1

x y x



 Tìm t p hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đĩ cĩ thể kẻ đến (C)

hai tiếp tuyến vuơng gĩc

Bài 1 Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

x y x

x y x

13

 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 4 Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x 33x2mx2 ;m y  x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

b) y mx 33mx2 (1 2 )m x1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

c) y(x1)(x2mx m 23) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

d) y x 32x22x2m1; y2x2 x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

e) y x 32x2m x2 3 ;m y2x21 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

Bài 5 Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x 42x21; y m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y x 4m m( 1)x2m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

c) y x 4(2m3)x2m23m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

ng 25: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau  phương trình ax2bx c px q   có nghiệm kép

Bài 1 Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:

Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) y x 33mx26mx8 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng

b) y x 33x29x1; y4x m cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn

AC

c) y x 4(2m4)x2m2 cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng d) y x 3(m1)x2(m1)x2m1 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

Xem (1) là phương trình theo ẩn m

Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M

 Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M

Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm)

 Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M

 Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m) Cách 1:

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định (nếu có) của họ (C m )

 Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x 0 ; y 0 ) của điểm cố định

Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x 0 , y 0

Cách 2:

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định (nếu có) của họ (C m )

M(x 0 ; y 0 )  (C m ), m  y 0 = f(x 0 , m), m (1)

 Đặt F(m) = f(x 0 , m) thì F(m) = y 0 không đổi

 F (m) = 0 (3)

 Giải (3) tìm được x 0 Thay x 0 vào (1) tìm được y 0 Từ đósuy ra được các điểm cố định

Bài 1 Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có phương trình sau:

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (C m ) đi qua

M(x 0 ; y 0 )  (C m ), m  y 0 = f(x 0 , m) vô nghiệm m (1)

 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

 Dạng 1: (1)  Am + B = 0 vô nghiệm m    B A 00 (2a)

 Dạng 2: (1)  Am2Bm C 0vô nghiệm m 

2

000

A B C A

Chú ý:  Kết quả là một tập hợp điểm

 Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua

Bài 1 Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

Bài 2 Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

a) (Cm): y mx 3m x2 24mx4m26; (L) là trục hoành

y mx  m x m m

 Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (C m ) đi qua M

Bài 1 Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:

mx m m y

c) (Cm): y x 42mx2m21; (L): y = 1; k = 1

d) (Cm): y x 3(m1)x2(2m33m2)x2 (2m m1); (L): x = 1, y > –2; k = 2

Da ng 31: ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )

( )

P x y

  Q(x) là ước số của a Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số của a

 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận

Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

x y x





22

x y x

y x





 f)

411

VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x)

đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB

 Phương trình đường thẳng  vuông góc với d: y = ax = b có dạng:

 Tìm toạ độ trung điểm I của AB

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm

VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB

 Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),

có hệ số góc k có dạng: y k x a b (  )

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

f(x) = k x a b(  ) (1)

 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

A, B khi đó x A , x B là 2 nghiệm của (1)

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được k  x A , x B

Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O  A B

VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách

Kiến thức cơ bản:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x Bx A)2(y By A)2

2) Khoảng cách từ điểm M(x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng : ax + by + c = 0:

Bài 1 Cho đồ thị (C) và điểm A Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất Chứng minh rằng khi

AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M

Bài 6 Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm của hai tiệm cận

là nhỏ nhất

DA NG 32: HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

 Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y f x( )

Đồ thị (C  ) của hàm số y f x( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

+ Đồ thị (C  ) là hợp của hai phần trên

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x  

Đồ thị (C  ) của hàm số y f x   có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

+ Đồ thị (C  ) là hợp của hai phần trên

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị C ) Dùng đồ thị (C  ) biện luận số nghiệm của phương trình (1):

a) (C): y x 33x26; (C  ): y x 33x26 ; x33x2 6 m (1)

b) (C): y x 42x23; (C  ): y x 42x23 ; x42x2 3 m (1)



 ; (C):

21

x y x

Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) iện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1),

(C2) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức

Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b

ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b

b Thể tích

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi

{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox

được tính bởi công thức:      

b

a

dx x f

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi

{(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy

được tính bởi công thức:      

d

c

dy y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=1

b Tính diện tích hình phẳng giới hạm bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ

c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp x c với đường thẳng y=x