Tóm tắt luận án tiến sĩ một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

Như vậy, đối với lớp các hệ phương trình cặp xuất hiện trong cơ học chất lỏng, mặc dù các kết quả gần đây tập trung vào việcnghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm, các bà

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học:

Vào hồi giờ, ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1 Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội

2 Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô

tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầumỏ, , và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng trongkhoa học hàng không, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, Mộttrong những lớp hệ phương trình quan trọng trong cơ học chấtlỏng là hệ Navier-Stokes, miêu tả dòng chảy của chất lỏng thuầnnhất, nhớt, không nén được và có dạng:

Được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay lí thuyết

hệ Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem các cuốnchuyên khảo của Constantin-Foias (1988), Temam (1979, 1995,2000)) Các vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu là:

• Tính đặt đúng của bài toán Sự tồn tại và duy nhất nghiệm,

sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện đã cho

• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm Nghiên cứu dáng điệu tiệm

cận nghiệm khi thời gian t ra vô cùng thông qua nghiên cứu sự

tồn tại và tính chất của tập hút hoặc của các đa tạp bất biến, sựtồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng Việc nghiên cứu dángđiệu tiệm cận nghiệm là rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và

dự đoán xu thế phát triển của hệ động lực trong tương lai, từ đóđưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp

• Bài toán điều khiển Bao gồm bài toán điều khiển được, bài

toán điều khiển tối ưu và bài toán ổn định hóa: Tìm điều khiểnthích hợp sao cho có thể chuyển quỹ đạo của hệ từ vị trí này sang

vị trí khác, hoặc là tìm điều khiển thích hợp để nghiệm tương ứnglàm cực đại hoặc cực tiểu một phiếm hàm cho trước.

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu những hệ phươngtrình cặp trong cơ học chất lỏng là một hướng nghiên cứu mới vàrất thời sự Ở đây hệ Navier-Stokes của trường vectơ vận tốc đượckết hợp phù hợp với một phương trình khác cho ta mô hình toánhọc mô tả nhiều quá trình trong vật lí, hóa học, kỹ thuật, nhưcác công trình của Cabral-Rosa-Temam (2004), Cao-Wu (2010),Fucci-Wang-Singh (2009), Jia-Zhou (2012), Temam (1997), Hệphương trình cặp cũng xuất hiện khi nghiên cứu dòng chảy củachất lỏng hỗn hợp như: hệ Cahn-Hilliard-Navier-Stokes Các kếtquả đạt được là sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua

sự tồn tại tập hút toàn cục, chủ yếu là trong miền bị chặn Chođến nay, các kết quả về dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với những

hệ phương trình cặp rất phong phú và đã khá hoàn thiện Tuynhiên các kết quả tương ứng trong trường hợp không ôtônôm vàmiền không bị chặn vẫn còn ít Bên cạnh đó các kết quả về bàitoán điều khiển đối với các hệ phương trình cặp trong cơ học chấtlỏng vẫn còn khá ít, do tính phức tạp của nó

Chúng tôi điểm qua một số kết quả cho những hệ phương trìnhcặp trong cơ học chất lỏng liên quan đến nội dung của luận án

• Hệ phương trình Bénard (một trường hợp riêng của hệ nesq): Là sự kết hợp giữa hệ Navier-Stokes của trường vectơ vận

Boussi-tốc u với phương trình đối lưu-khuếch tán của nhiệt độ T có dạng:

minh sự tồn tại, đánh giá số chiều Hausdorff của tập hút toàn cụccho hệ (1) xét trong miền không bị chặn hai chiều.

• Hệ phương trình động lực học thủy từ trường: Là mô hình

được đề cập lần đầu tiên bởi T.G Cowling (1957) khi kết hợp hệ

Navier-Stokes của trường vectơ vận tốc u với hệ Maxwell của từ trường B Hệ MHD miêu tả dòng chảy của các chất lỏng dẫn điện

trong từ trường, và có dạng như sau:

• Hệ phương trình Navier-Stokes và hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi: Khi mô tả chuyển động của các chất lỏng có

mật độ khối lượng thay đổi, ta dùng hệ Navier-Stokes có mật độ

khối lượng ρ(x, t) được cho bởi:

Khi điều kiện ban đầu ρ0(x) ≥ c0 > 0, sự tồn tại nghiệm yếu được

chứng minh lần đầu tiên bởi Antontsev-Kazhikov (1973) Trong

trường hợp ρ0(x) ≥ 0, sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm mạnh, các

vấn đề liên quan đến bài toán điều khiển đã được trình bày kháhoàn chỉnh bởi E.F Cara (2012) Khác với hệ Navier-Stokes vớimật độ khối lượng là hằng số, câu hỏi về tính duy nhất nghiệmyếu vẫn chưa được giải quyết thậm chí trong không gian 2 chiều.Khi kết hợp hệ (3) với một phương trình đối lưu-khuếch tán

của nhiệt độ có mật độ thay đổi ta được hệ sau:

Hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi (4) miêu tả chuyển

động của chất lỏng có mật độ ρ, nhớt, không nén được dưới ảnh

hưởng của nhiệt độ Theo hiểu biết của chúng tôi, hiện chưa cókết quả nào liên quan đến hệ này

Như vậy, đối với lớp các hệ phương trình cặp xuất hiện trong

cơ học chất lỏng, mặc dù các kết quả gần đây tập trung vào việcnghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm, các bàitoán điều khiển, tuy nhiên các kết quả hiện có chủ yếu dừng lại ởtrường hợp ôtônôm trong miền bị chặn và hệ phương trình đượcxét có mật độ khối lượng của chất lỏng là hằng số Do vậy, nhữngvấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm:

• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm

cho hệ phương trình Bénard (1) và hệ MHD (2) trong trườnghợp không ôtônôm và miền xét bài toán thỏa mãn bất đẳng thứcPoincaré Khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, quỹ đạo nghiệmkhông còn là bất biến dương đối với phép tịnh tiến theo thời gian

và do đó lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích hợp

Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, chúng tôi sử dụng líthuyết tập hút lùi, một lí thuyết mới được phát triển gần đây và tỏ

ra rất hữu ích khi nghiên cứu các hệ động lực không ôtônôm (xinxem cuốn chuyên khảo của Carvalho, Langa và Robinson (2013))

• Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện,

bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệBoussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn.Khi nghiên cứu hệ Bénard và hệ MHD trong miền không bịchặn, khó khăn lớn gặp phải là các phép nhúng Sobolev cần thiết

chỉ liên tục chứ không compact; dẫn đến Bổ đề compact Lions cổ điển và các phương pháp thường dùng cho miền bị chặnkhông còn thích hợp nữa Để khắc phục khó khăn này, chúng tôi

Aubin-sử dụng các bổ đề compact phù hợp để chứng minh sự tồn tạinghiệm và tính liên tục yếu của quá trình, sử dụng phương phápphương trình năng lượng để chứng minh tính compact tiệm cậnlùi, một điều kiện quan trọng cho sự tồn tại tập hút lùi

Khi nghiên cứu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi,khó khăn gây ra chủ yếu là do mật độ không còn là hằng số; điềunày dẫn đến việc nghiên cứu phức tạp lên rất nhiều Để chứngminh sự tồn tại nghiệm, chúng tôi sử dụng phương pháp nửaGalerkin kết hợp với kết quả của Lions về phương trình chuyểndịch (1989) Tính duy nhất có điều kiện của nghiệm được chứngminh bằng cách sử dụng ý tưởng của P.-L Lions (1996) Để nghiêncứu bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu, chúngtôi phát triển các ý tưởng của E.F Cara (2012) cho hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng thay đổi; tuy nhiên việc nghiên cứukhó khăn hơn khá nhiều do hệ đang xét có cấu trúc phức tạp hơn

Từ những phân tích ở trên, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu

sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại vàđánh giá số chiều fractal tập hút lùi) của các hệ Bénard và MHDtrong trường hợp khi ngoại lực có thể phụ thuộc vào biến thờigian; đồng thời nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm cóđiều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối

ưu của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi, làm đề tài

nghiên cứu của Luận án "Một số hệ phương trình cặp trong

cơ học chất lỏng".

2 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Luận án tập trung nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cậnnghiệm của các hệ Bénard, hệ MHD trong trường hợp không

ôtônôm; sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toánđiều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesqvới mật độ khối lượng thay đổi Cụ thể như sau:

Nội dung 1 Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu

tiệm cận nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của

hệ Bénard hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳngthức Poincaré

Nội dung 2 Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu

tiệm cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùicủa hệ MHD hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn bấtđẳng thức Poincaré và điều kiện nón

Nội dung 3 Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có

điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưucủa hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bịchặn

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng

các phương pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phươngpháp xấp xỉ Galerkin, hoặc xấp xỉ nửa Galerkin kết hợp các dạngphù hợp của Bổ đề compact và các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến

• Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, chúng tôi sử dụng

các công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vôhạn chiều không ôtônôm

• Để nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu, chúng tôi sử dụng

các phương pháp của lí thuyết điều khiển tối ưu đối với phươngtrình đạo hàm riêng và các công cụ của giải tích lồi

4 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

• Đối với hệ Bénard và MHD không ôtônôm trong miền không

bị chặn hai chiều: Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm

yếu đối với bài toán (1), (2); chứng minh được sự tồn tại và đánhgiá số chiều fractal của tập hút lùi.

• Đối với hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong

miền bị chặn hai hoặc ba chiều: Chứng minh được sự tồn tại vàtính duy nhất có điều kiện của nghiệm yếu; chứng minh được sựtồn tại nghiệm và thiết lập được điều kiện cần tối ưu cấp một củabài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu cho hệ (4).Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, góp phầnvào việc hoàn thiện lí thuyết các hệ phương trình cặp trong cơ họcchất lỏng Nội dung chính của luận án đã được công bố trong 02bài báo trên các tạp chí khoa học quốc tế, 02 bài gửi đăng và đãđược báo cáo tại: Đại hội Toán học toàn quốc VIII, Nha Trang,2013; Hội thảo tối ưu và tính toán khoa học XIII, Ba Vì, 2015;Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tinhọc, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; Xêmina của Bộ môn Giảitích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

5 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình đượccông bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho cácchương sau; Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại, dángđiệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ Bénard hai chiều; Chương 3trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận của nghiệmyếu cho hệ động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều; Chương

4 trình bày kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm có điềukiện của nghiệm yếu, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thờigian tối ưu của hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trongmiền bị chặn hai hoặc ba chiều

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cầndùng để nghiên cứu, thiết lập các đánh giá cần thiết để xử lí sốhạng phi tuyến trong hệ phương trình Chúng tôi cũng trình bàycác kết quả tổng quát về lí thuyết tập hút lùi và một số kết quả

bổ trợ được dùng trong các chương sau

1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM

Cho Ω là tập mở trongRN với biên ∂Ω Kí hiệu Q := Ω ×(0, T )

là trụ không-thời gian với T < ∞ và ∑ := ∂Ω × (0, T ).

Với 1 ≤ m, p ≤ +∞, ta cũng thường kí hiệu L p (Ω) = L p(Ω)N,

Các không gian H i , i = 1, 3 với tích vô hướng

(u, v) =

∫

Ω

uvdx, ∀u, v ∈ H i

và chuẩn tương ứng |.| = (u, v) 1/2

Ký hiệu H := H i×Hj và V := V i×Vj với (i, j) ∈ {(1, 2), (1, 3)}.

Dễ thấy V ⊂ H ≡ H ′ ⊂ V ′, trong đó các phép nhúng là trù mật

và liên tục Ta dùng ký hiệu ∥ · ∥∗ cho chuẩn trong V ′, và ⟨., ⟩ chỉ

đối ngẫu giữa V và V ′ Các không gian trên đều là không gianHilbert

Tương tự, ta cũng định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc

thời gian thường được sử dụng trong luận án này gồm: C([a, b]; X);

L p (a, b; X), 1 ≤ p ≤ +∞; L p

loc(R; X); W m,p (0, T ; X); N s,q (0; T ; B) (không gian Nikolskii), trong đó X là không gian Banach.

1.2 TẬP HÚT LÙI

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và kếtquả về sự tồn tại tập hút lùi, cũng như phương pháp đánh giá sốchiều của tập hút lùi sẽ được sử dụng trong luận án

1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG

1.3.1 Một số bất đẳng thức thường dùng

Ta nhắc lại một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọng

và thường xuyên được sử dụng trong luận án: Bất đẳng thứcCauchy; Bất đẳng thức Young; Bất đẳng thức H¨older; các dạngbất đẳng thức Gronwall

1.3.2 Một số định lí và bổ đề quan trọng

Ta nhắc lại một số định lí và bổ đề quan trọng thường được

sử dụng để chứng minh các kết quả của luận án: Bất đẳng thứcLadyzhenskaya, Bất đẳng thức Poincaré và các bổ đề compact

Chương 2

HỆ BÉNARD HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệutiệm cận nghiệm của hệ Bénard hai chiều không ôtônôm trênmiền không nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thứcPoincaré Chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếubằng phương pháp xấp xỉ Galerkin và chứng minh sự tồn tại, đánhgiá số chiều fractal của tập hút lùi của quá trình sinh bởi bài toán.Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mụccác công trình đã công bố của tác giả

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN

Cho Ω ⊂ R2 là miền tùy ý với biên ∂Ω, thỏa mãn bất đẳng

thức Poincaré Xét hệ Bénard không ôtônôm sau:

ν > 0, κ > 0 lần lượt là hệ số nhớt, hệ số truyền nhiệt; α = ϑg là

tham số đặc trưng cho sự nổi của chất lỏng với hệ số giãn nở nhiệt

ϑ và gia tốc rơi tự do g; vectơ − → e

Giả sử rằng u b và T b xác định trong miền Ω lần lượt là dòng

chảy nền và nhiệt độ nền sao cho u b = φ u , T b = φ T trên ∂Ω Ta đặt v = u − ub và θ = T − Tb, khi đó (2.1) được viết lại như sau:

Điều kiện biên cho hệ (2.4) là

2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU

Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (2.4)-(2.7)

Định nghĩa 2.1 Hàm z = (v, θ) được gọi là nghiệm yếu của bài

toán (2.4)-(2.7) trên khoảng (τ, T ) nếu

trong đó z(t) = z(t; τ, z0) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán

(2.8) với điều kiện ban đầu z(τ ) = z0

Bổ đề 2.2 Cho {z0n }n ⊂ H là một dãy hội tụ yếu trong H đến phần tử z0 ∈ H Khi đó

Z(t, τ )z0n ⇀ Z(t, τ )z0 trong H, với mọi t ≥ τ Z(., τ )z0n ⇀ Z(., τ )z0 trong L2(τ, T ; V ), với mọi T > τ.

Định lí 2.3 Giả sử các điều kiện của Định lí 2.1 và (2.9) được

thỏa mãn Khi đó tập Dσ -hút lùi ˆ A = {A(t) : t ∈ R} của quá trình Z(t, τ ) sinh bởi bài toán (2.8) có số chiều fractal hữu hạn

Chú ý cuối chương Bằng cách sử dụng phương pháp phương

trình năng lượng và phương pháp đánh giá số chiều fractal hữuhạn như trong chương này, chúng tôi đã chứng minh được nhữngkết quả tương ứng cho hệ Newton-Boussinesq trong miền không

bị chặn hai chiều (2014)

Chương 3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY TỪ TRƯỜNG (MHD) HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM

Trong chương này, chúng tôi xét hệ phương trình động lực họcthủy từ trường (MHD) hai chiều trên một miền không nhất thiết

bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện nón.Đầu tiên, sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin và phương phápcompact, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếucủa bài toán Tiếp theo, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất

và số chiều fractal hữu hạn của tập D σ-hút lùi

Nội dung chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục cáccông trình đã công bố của tác giả

3.1 ĐẶT BÀI TOÁN

Giả sử Ω là miền tùy ý trong R2 thỏa mãn điều kiện nón Xét

hệ MHD không ôtônôm sau:

u(x, τ ) = u0(x), B(x, τ ) = B0(x), ∀x ∈ Ω, (3.2)

và điều kiện biên

u = 0, B · n = 0 và curl B = 0 trên ∂Ω, (3.3)

trong đó u = u(x, t) là hàm vectơ vận tốc của chất lỏng; B =

B(x, t) là vectơ từ trường; p = p(x, t) và |B|2/2 lần lượt là hàm

áp suất chất lỏng và áp suất từ trường; f (x, t) là hàm ngoại lực