Một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

Gần đây, sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệmmạnh cũng như những vấn đề liên quan đến bài toán điều khiển tối ưuđối với hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng thay đổi đã được trìnhbày khá hoàn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————– * ———————

Đặng Thanh Sơn

MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trần Xuân Tiếp

2 PGS TS Cung Thế Anh

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫncủa PGS.TS Cung Thế Anh và TS Trần Xuân Tiếp Các kết quả được phátbiểu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trongbất cứ một công trình nào khác

PGS TS Cung Thế Anh TS Trần Xuân Tiếp Đặng Thanh Sơn

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chuđáo của PGS.TS Cung Thế Anh và TS Trần Xuân Tiếp Tác giả xin bày tỏlòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến TS Trần Xuân Tiếp và đặc biệt làPGS.TS Cung Thế Anh, người đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứukhoa học từ khi tác giả còn là học viên cao học Ngoài những chỉ dẫn về mặtkhoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các thầy dành cho tác giả luôn

là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu

Tác giả vô cùng biết ơn PGS.TS Lê Trọng Vinh, PGS.TS Nguyễn XuânThảo, TS Nguyễn Đình Bình, PGS.TS Trần Đình Kế đã luôn cổ vũ động viên

và truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học.Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạosau Đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Trường Đại họcBách Khoa Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán Cơ bản,Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã luôngiúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại họcThông tin liên lạc, các anh chị đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa

Cơ bản, Trường Đại học Thông tin liên lạc đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiệnthuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêuthương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.Tác giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành,những người luôn đón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Một số kí hiệu dùng trong luận án 5

MỞ ĐẦU 6

1 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 6

2 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 13

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 14

4 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 15

5 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 16

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17

1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 17

1.2 TẬP HÚT LÙI 21

1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 25

1.3.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 25

1.3.2 Một số định lí và bổ đề quan trọng 27

Chương 2 HỆ BÉNARD HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM 30

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 30

2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU 36

2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 41

2.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI 47

Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY TỪ TRƯỜNG

(MHD) HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM 57

3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 57

3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU 61

3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 66

3.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI 69

Chương 4 HỆ BOUSSINESQ VỚI MẬT ĐỘ KHỐI LƯỢNG THAY ĐỔI 76 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 76

4.2 SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM YẾU 78

4.3 SỰ DUY NHẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM YẾU 96

4.4 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 100

4.4.1 Sự tồn tại nghiệm tối ưu 102

4.4.2 Điều kiện cần tối ưu cấp một 103

4.5 BÀI TOÁN THỜI GIAN TỐI ƯU 115

4.5.1 Sự tồn tại nghiệm tối ưu 115

4.5.2 Điều kiện cần tối ưu cấp một 117

KẾT LUẬN 124

1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 124

2 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 124 TÀI LIỆU THAM KHẢO 126

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 132

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

H, V các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Bénard, hệ

MHD và hệ Boussinesq

V ′ không gian đối ngẫu của không gian V

(·, ·), | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H

((·, ·)), ∥ · ∥ tích vô hướng và chuẩn trong không gian V

∥ · ∥∗ chuẩn trong không gian V ′

⟨·, ·⟩ đối ngẫu giữa V và V ′

| · |L p , | · |Lp chuẩn trong không gian L p(Ω) và Lp(Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞

d F (K) số chiều fractal của tập compact K

dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B

MỞ ĐẦU

1 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyểnđộng của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, , dưới nhữngđiều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiệntượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu

mỏ, vật lí plasma Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản, quan trọngtrong cơ học chất lỏng là hệ Navier-Stokes, miêu tả dòng chảy của chất lỏngthuần nhất, nhớt, không nén được Hệ phương trình Navier-Stokes được xâydựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng

• Tính đặt đúng của bài toán Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm,

sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện đã cho

• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của

nghiệm khi thời gian t ra vô cùng thông qua nghiên cứu sự tồn tại và

tính chất của tập hút hoặc của các đa tạp bất biến, sự tồn tại và tính ổnđịnh của nghiệm dừng Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm làrất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của

hệ động lực trong tương lai, từ đó có thể đưa ra những đánh giá, điềuchỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn

• Bài toán điều khiển Bao gồm bài toán điều khiển được, bài toán điều

khiển tối ưu và bài toán ổn định hóa: Tìm điều khiển thích hợp (trênmiền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạo của hệ từ vịtrí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điều khiển thíchhợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một phiếm hàmcho trước, hoặc là tìm điều khiển phản hồi để ổn định hóa nghiệm dừng(không ổn định) của hệ

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu những hệ phương trình cặpxuất hiện trong cơ học chất lỏng là một trong những hướng nghiên cứu mới

và rất thời sự Ở đây hệ phương trình Navier-Stokes của trường vectơ vậntốc được kết hợp phù hợp với một phương trình khác cho ta một mô hìnhtoán học mô tả nhiều quá trình trong vật lí, hóa học, kĩ thuật, (xem [34,

24, 5, 48, 6, 14, 3, 27, 54, 30, 28, 43]) Hệ phương trình cặp cũng xuất hiệnkhi nghiên cứu sự chuyển động dòng chảy của những chất lỏng hỗn hợp (gồmhai hay nhiều chất lỏng trộn lẫn với nhau): hệ Cahn-Hilliard-Navier-Stokes,

hệ Allen-Cahn-Navier-Stokes (xem [7, 8]), hệ tinh thể lỏng pha nematic (xem[26, 47]) Các kết quả đạt được là sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệmyếu thông qua sự tồn tại tập hút toàn cục, chủ yếu là trong miền bị chặn vớiđiều kiện biên Dirichlet hoặc điều kiện biên tuần hoàn Tuy nhiên các kết quảtương ứng trong trường hợp không ôtônôm và miền không bị chặn vẫn còn ít.Các hệ không ôtônôm (tức là khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian) xuất hiệnmột cách tự nhiên trong nhiều quá trình phức tạp và đang thu hút được sự

quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước Bên cạnh

đó các kết quả về bài toán điều khiển đối với các hệ phương trình cặp trong

cơ học chất lỏng vẫn còn khá ít, do tính phức tạp của nó

Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả gần đây cho những hệ phươngtrình cặp trong cơ học chất lỏng liên quan đến nội dung của luận án

• Hệ phương trình Bénard (một trường hợp riêng của hệ Boussinesq): Đó

là sự kết hợp giữa hệ phương trình Navier-Stokes của trường vectơ vận

tốc u với phương trình đối lưu-khuếch tán của nhiệt độ T và có dạng

trong trường hợp hai chiều)

Hệ phương trình Boussinesq mô tả dòng chất lỏng (khí) chịu ảnh hưởngcủa tác động bề nổi do sự thay đổi mật độ khối lượng chất lỏng gây rabởi nhiệt độ được mô hình hóa bởi phép xấp xỉ Boussinesq Khi nhiệt

độ trên biên dưới lớn hơn trên bề mặt ta có hệ Bénard mô tả chuyểnđộng của chất lỏng nhớt, không nén được dưới ảnh hưởng của nhiệt độ(xem [24, 43]) Các tác giả trong [6, 30, 43] đã nghiên cứu sự tồn tại vàdáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (1) với các điều kiện biên khác nhaunhư: Dirichlet, Neumann, tuần hoàn, tự do Công cụ chủ yếu trong cáckết quả trên là nguyên lí cực đại đối với phương trình của nhiệt độ, tuynhiên công cụ này chỉ phù hợp cho các điều kiện biên đơn giản mà ở đó

dữ kiện ban đầu và nguồn nhiệt phải thuộc L ∞(Ω) Trong công trình

[24], các tác giả đã xét hệ (1) hai chiều trong miền không bị chặn thỏa

mãn bất đẳng thức Poincaré với ngoại lực không phụ thuộc thời gian(trường hợp ôtônôm) và chứng minh được sự tồn tại cũng như đánh giá

số chiều Hausdorff của tập hút toàn cục Việc phát triển các kết quả nàycho trường hợp ngoại lực có thể phụ thuộc thời gian là vấn đề thời sự và

có ý nghĩa

• Hệ phương trình động lực học thủy từ trường (gọi tắt là hệ MHD, xuất

phát từ thuật ngữ Tiếng Anh là magnetohydrodynamics): Hệ này được

đề cập đến lần đầu tiên trong công trình của T.G Cowling năm 1957(xem [52]) khi kết hợp hệ phương trình Navier-Stokes của trường vectơ

vận tốc u với hệ phương trình Maxwell của từ trường B Hệ MHD miêu

tả dòng chảy của các chất lỏng dẫn điện trong từ trường, chẳng hạn dòngchảy plasma, và có dạng như sau

R e R m với M, R e , R m lần lượt là các hệ số Hartman,

Reynolds và Reynolds trong từ trường; ngoài ra

với mọi hàm vô hướng ϕ.

Hệ động lực học thủy từ trường có vai trò quan trọng trong vật lí nên

đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới

Khi ngoại lực f không phụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại và duy

nhất nghiệm yếu cũng như nghiệm mạnh đã được chứng minh lần đầutiên bởi G Duvaut và J.-L Lions trong [13] Năm 1983, trong [28], M

Sermange và R Temam đã đưa ra khái niệm về tập bất biến để nghiêncứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (2), đồng thời chứng minh được

số chiều Hausdorff hữu hạn cho tập bất biến này Ngoài ra, dáng điệutiệm cận nghiệm bao gồm tính chất phân rã của nghiệm và tính ổn địnhcủa nghiệm dừng đã được chứng minh trong [34, 25, 10] Tính chính quinghiệm của hệ MHD được nghiên cứu trong nhiều công trình, xem chẳnghạn [5, 49] và các tài liệu trong đó Tuy nhiên, phần lớn các kết quả nhậnđược ở trên đối với hệ phương trình MHD là ở trong miền bị chặn và

ngoại lực f không phụ thuộc vào biến thời gian.

• Hệ phương trình Navier-Stokes và hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi: Trong thực tế, nhiều bài toán có mật độ khối lượng của chất

lỏng không phải là hằng số (chẳng hạn hỗn hợp chất lỏng có mật độ khốilượng khác nhau), khi đó để mô tả chuyển động của các chất lỏng này,

ta dùng hệ phương trình Navier-Stokes có mật độ khối lượng thay đổiđược cho bởi:

tại nghiệm yếu được chứng minh lần đầu tiên bởi S.A Antontsev và A.V

Kazhikov trong [46] Điều kiện này được mở rộng thành ρ0(x) ≥ 0 trong

[23] Sau đó, R Danchin đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệmnhẹ khi Ω = RN bằng phương pháp nửa nhóm [36, 37] Xin xem các

cuốn chuyên khảo [46, 32] về các kết quả liên quan đến hệ Navier-Stokesvới mật độ khối lượng thay đổi Gần đây, sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệmmạnh cũng như những vấn đề liên quan đến bài toán điều khiển tối ưuđối với hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng thay đổi đã được trìnhbày khá hoàn chỉnh trong [11].

Khi kết hợp bài toán (3) với một phương trình đối lưu-khuếch tán củanhiệt độ có mật độ thay đổi ta được hệ Boussinesq với mật độ khối lượngthay đổi sau:

Hệ phương trình Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi (4) miêu tả

chuyển động của chất lỏng có mật độ khối lượng ρ(x, t), nhớt, không nén

được dưới ảnh hưởng của nhiệt độ Theo hiểu biết của chúng tôi, hiệnchưa có kết quả nào liên quan đến hệ này Như được đề cập đến trong[11], việc phát triển các kết quả của hệ Navier-Stokes với mật độ khốilượng thay đổi cho hệ này là vấn đề thời sự và có ý nghĩa khoa học.Như vậy, đối với các hệ phương trình cặp xuất hiện trong cơ học chất lỏng,mặc dù các kết quả gần đây tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại, dángđiệu tiệm cận của nghiệm và các bài toán điều khiển, tuy nhiên các kết quả

hiện có chủ yếu dừng lại ở trường hợp ôtônôm, trong miền bị chặn và hệ đượcxét có mật độ khối lượng của chất lỏng là hằng số Việc phát triển những kếtquả này cho trường hợp không ôtônôm, trong miền không bị chặn, hoặc các

hệ phương trình với mật độ khối lượng của chất lỏng thay đổi là những vấn đềthời sự, có ý nghĩa khoa học và có nhiều ý nghĩa thực tiễn Nói riêng, nhữngvấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm:

• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm cho hệ phương

trình Bénard (1) và hệ MHD (2) trong trường hợp không ôtônôm vàmiền xét bài toán (không nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thứcPoincaré Khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, quỹ đạo nghiệm khôngcòn là bất biến dương đối với phép tịnh tiến theo thời gian và do đó

lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích hợp Để nghiên cứudáng điệu tiệm cận nghiệm, chúng tôi sử dụng lí thuyết tập hút lùi [51],một lí thuyết mới được phát triển gần đây và tỏ ra rất hữu ích khi nghiêncứu các hệ động lực không ôtônôm (xin xem cuốn chuyên khảo gần đâycủa Carvalho, Langa và Robinson [1])

• Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều

khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độkhối lượng thay đổi trong miền bị chặn

Khi nghiên cứu hệ Bénard và hệ MHD trong miền không bị chặn, khókhăn lớn gặp phải là các phép nhúng Sobolev cần thiết chỉ liên tục chứ khôngcompact; điều này dẫn đến dạng cổ điển của Bổ đề compact Aubin-Lions cổđiển không áp dụng được và các phương pháp thường dùng cho miền bị chặnkhông còn thích hợp nữa Để khắc phục khó khăn này, chúng tôi sử dụng các

bổ đề compact phù hợp thay cho Bổ đề compact Aubin-Lions cổ điển để chứngminh sự tồn tại nghiệm và tính liên tục yếu của quá trình, sử dụng phươngpháp phương trình năng lượng và khai thác hợp lí cấu trúc của phương trình

để chứng minh tính compact tiệm cận lùi của quá trình sinh bởi bài toán, một

điều kiện quan trọng cho sự tồn tại tập hút lùi Ngoài ra, tính không bị chặncủa miền và tính không thuần nhất của điều kiện biên cũng gây ra những khókhăn đáng kể khi đánh giá số chiều của tập hút của các hệ này.

Khi nghiên cứu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi, khó khăn gây

ra chủ yếu là do mật độ khối lượng không còn là hằng số; điều này dẫn đến việcnghiên cứu phức tạp lên rất nhiều Để chứng minh sự tồn tại nghiệm, chúngtôi sử dụng phương pháp nửa Galerkin và kết hợp với kết quả của DiPerna vàLions về phương trình chuyển dịch [38] Tính duy nhất có điều kiện của nghiệmđược chứng minh bằng cách sử dụng ý tưởng trong [32] cho hệ Navier-Stokesvới mật độ khối lượng thay đổi Để nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu vàbài toán thời gian tối ưu, chúng tôi phát triển các ý tưởng và cách tiếp cậntrong [11] cho hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng thay đổi; tuy nhiên việcnghiên cứu ở đây khó khăn hơn khá nhiều do hệ đang xét có cấu trúc phứctạp hơn

Từ những phân tích ở trên, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại vàdáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại và đánh giá số chiều fractaltập hút lùi) của các hệ phương trình Bénard và MHD hai chiều trong trườnghợp ngoại lực có thể phụ thuộc vào biến thời gian (trường hợp không ôtônôm);

sự tồn tại, tính duy nhất có điều kiện của nghiệm, bài toán điều khiển tối ưu

và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi,

làm đề tài nghiên cứu của Luận án "Một số hệ phương trình cặp trong

cơ học chất lỏng".

2 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

• Mục đích của luận án là nghiên cứu những vấn đề sau đối với một số lớp

hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng:

◦ Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại và

đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi) của các hệ phương trình

Bénard, MHD trong trường hợp không ôtônôm và miền xét bài toánkhông nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré.

◦ Sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển

tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq với mật độkhối lượng thay đổi trong miền bị chặn

• Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ Bénard, hệ MHD không ôtônôm

trong miền không bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, và

hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn

• Phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm các nội dung sau:

◦ Nội dung 1 Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm

cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của hệphương trình Bénard hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãnbất đẳng thức Poincaré

◦ Nội dung 2 Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm

cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của hệphương trình động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều trongmiền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiệnnón

◦ Nội dung 3 Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều

kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệBoussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn haihoặc ba chiều

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương

pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ

Galerkin, hoặc xấp xỉ nửa Galerkin kết hợp với các dạng phù hợp của

Bổ đề compact và các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến

• Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, chúng tôi sử dụng các

công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiềukhông ôtônôm (xem [1, 53]), một lí thuyết rộng lớn mới được phát triểnhơn hai thập kỉ gần đây Cụ thể khi ngoại lực phụ thuộc thời gian, chúngtôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút lùi, một công cụ hữuích khi nghiên cứu các hệ động lực không ôtônôm Để chứng minh tínhcompact tiệm cận lùi của quá trình, một điều kiện cần thiết cho sự tồntại tập hút lùi, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình năng lượngcủa J.M Ball cho nghiệm yếu (xem [20]) Để chứng minh tập hút lùi có

số chiều fractal hữu hạn, chúng tôi phát triển phương pháp chứng minhtrong [16]

• Để nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu, chúng tôi sử dụng các phương

pháp của lí thuyết điều khiển tối ưu đối với phương trình đạo hàm riêng

và các công cụ của giải tích lồi [21, 2]

4 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

• Đối với hệ Bénard và hệ MHD không ôtônôm trong miền hai chiều (không

nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré: Chứng minh được

sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu; chứng minh được sự tồn tại và đánh giáđược số chiều fractal của tập hút lùi Đây là nội dung của Chương 2 vàChương 3

• Đối với hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn

(hai hoặc ba chiều): Chứng minh được sự tồn tại nghiệm và tính duy

nhất có điều kiện của nghiệm yếu; chứng minh được sự tồn tại nghiệmtối ưu và thiết lập được điều kiện cần tối ưu cấp một của bài toán điềukhiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu Đây là nội dung của Chương 4.

Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việchoàn thiện lí thuyết các hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên cáctạp chí khoa học chuyên ngành quốc tế (trong danh mục ISI), 02 bài khácđang gửi đăng ở tạp chí quốc tế và đã được báo cáo tại:

• Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 2013;

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XIII, Ba Vì, 2015;

• Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học,

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;

• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư

phạm Hà Nội

5 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố vàdanh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một

số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kếtquả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trìnhBénard hai chiều; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng điệu tiệmcận của nghiệm yếu cho hệ phương trình động lực học thủy từ trường (MHD)hai chiều; Chương 4 trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu, tính duy nhấtnghiệm có điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưucủa hệ phương trình Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong miền bịchặn hai hoặc ba chiều

Cho Ω là tập mở trong RN với biên ∂Ω Kí hiệu Q := Ω × (0, T ) là trụ

không-thời gian với T < ∞ và ∑ := ∂Ω × (0, T ) Trong luận án này, ta sử

dụng các không gian hàm sau (xem, chẳng hạn [33, 41]):

• L p (Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả

tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau

Chú ý rằng L p (Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < + ∞.

Khi p = 2, L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(u, v) =

∫Ω

u.vdx,

và chuẩn được kí hiệu là |.| := |.|L2 = (u, u) 1/2

• L ∞(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn

hầu khắp trên Ω với chuẩn

|u|L ∞ := esssup

Ω |u(x)|.

• W m,p (Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u ∈ L p(Ω) sao

cho D α u ∈ L p(Ω) với mọi |α| ≤ m và có chuẩn được xác định bởi

0 (Ω) trong chuẩn của H m(Ω)

Với 1 ≤ m, p ≤ +∞, ta cũng thường kí hiệu L p (Ω) = L p(Ω)N ,Wm,p(Ω) =

H1 = là bao đóng của V1 trong L2(Ω),

V2 = là bao đóng của V2 trong H1(Ω),

H2 = là bao đóng của V2 trong L2(Ω),

uvdx, ∀u, v ∈ Hi

và chuẩn tương ứng |.| = (u, v) 1/2

Khi Ω là miền thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré (Định lí 1.4), chuẩn trong

V1 tương đương với chuẩn trong H1

0(Ω) Hơn nữa, vì Ω là miền đơn liên nên

chuẩn trong V2 và H1(Ω) là tương đương (xem [13])

Ký hiệu H := H i × Hj và V := V i × Vj với (i, j) ∈ {(1, 2), (1, 3)} Dễ thấy

V ⊂ H ≡ H ′ ⊂ V ′, trong đó các phép nhúng là trù mật và liên tục Ta dùng

ký hiệu ∥·∥∗ cho chuẩn trong V ′, và⟨., ⟩ chỉ đối ngẫu giữa V và V ′ Các không

gian trên đều là không gian Hilbert

Tương tự, ta định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc thời gian như sau:

Giả sử X là không gian Banach thực với chuẩn ∥.∥X

• C([a, b]; X) là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục u : [a, b] →

Khi đó L p (a, b; X) là một không gian Banach, và nó là phản xạ nếu

1 < p < + ∞ Không gian liên hợp của L p (a, b; X) là L p ′ (a, b; X ′) với

1/p + 1/p ′ = 1.

X ds < + ∞, với mọi khoảng compact [t1, t2] ⊂ R.

• W m,p (0, T ; X) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u ∈

L p (0, T ; X) sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo t đến cấp m thuộc L p (0, T ; X), trong đó trang bị chuẩn

Nếu p = 2 và X là không gian Hilbert với tích vô hướng (., ) X thì

H m (0, T ; X) cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng

Khi đó, W0m,p (0, T ; X) (hoặc H0m (0, T ; X)) là bao đóng của D(0, T ; X)

trong chuẩn của W m,p (0, T ; X) (hoặc H m (0, T ; X)).

• D ′ (0, T ; X) là không gian các hàm suy rộng trên D(0, T ; X) Với mỗi

• Không gian Nikolskii N s,q (0; T ; B) được định nghĩa như sau:

Giả sử B là không gian Banach, hàm f : (0, T ) → B và hằng số (nhỏ)

Giả sử (X, ∥ · ∥) là một không gian Banach Nửa khoảng cách Hausdorff

distX(·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như sau

distX (A, B) := sup

a ∈A binf∈B ∥a − b∥.

Định nghĩa 1.1 Một quá trình trên không gian Banach X là một họ các

ánh xạ phụ thuộc hai tham biến {Z(t, τ)} trong X có các tính chất sau:

Z(t, r)Z(r, τ ) = Z(t, τ ) với mọi t ≥ r ≥ τ,

Z(τ, τ ) = Id với mọi τ ∈ R.

Định nghĩa 1.2 Quá trình {Z(t, τ)} được gọi là liên tục nếu với mọi τ ∈

R, t ≥ τ, Z(t, τ)x n → Z(t, τ)x, khi x n → x trong X.

Giả sử B(X) là họ các tập con bị chặn khác rỗng của X, và D là một lớp

khác rỗng các tập được tham số hóa ˆD = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(X).

Định nghĩa 1.3 Quá trình{Z(t, τ)} được gọi là D-compact tiệm cận lùi nếu

với bất kì t ∈ R, bất kì ˆ D ∈ D, bất kì dãy τn → −∞, và bất kì dãy xn ∈ D(τn),dãy {Z(t, τn )x n} là compact tương đối trong X.

Định nghĩa 1.4 Họ các tập bị chặn ˆB ∈ D gọi là D-hấp thụ lùi đối với quá

trình Z(t, τ ) nếu với bất kì t ∈ R, bất kì ˆ D ∈ D, tồn tại τ0 = τ0( ˆD, t) ≤ t sao

τ ≤τ0

Z(t, τ )D(τ ) ⊂ B(t).

Tập hút lùi được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.5 Họ ˆA = {A(t) : t ∈ R} ⊂ B(X) gọi là một tập D-hút lùi đối

= 0, với mọi ˆ D ∈ D và mọi t ∈ R;

(4) Nếu{C(t) : t ∈ R} là một họ các tập hút đóng khác thì A(t) ⊂ C(t), với

mọi t ∈ R.

Ta có định lí sau về sự tồn tại tập hút lùi

Định lí 1.1 ([51]) Giả sử {Z(t, τ)} là quá trình liên tục sao cho {Z(t, τ)}

là D-compact tiệm cận lùi Khi đó, nếu tồn tại một họ các tập D-hấp thụ lùi ˆ B = {B(t) : t ∈ R} ∈ D, thì {Z(t, τ)} có một tập D-hút lùi duy nhất

Sau đây chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong [16] được sử dụng để đánhgiá số chiều fractal của tập hút lùi

Cho H là không gian Hilbert thực khả li, tập compact K ⊂ H và ε > 0 Kí

hiệu N ε (K) là số tối thiểu các hình cầu mở trong H với bán kính ε cần thiết

và V trù mật trong H Ta đồng nhất H với không gian đối ngẫu H ′ và xét V

như là không gian con của H ′ bằng cách đồng nhất η ∈ V với phần tử fη ∈ H ′

xác định bởi

f η (h) = (η, h), h ∈ H.

Cho F : V × R → V ′ là họ các toán tử phi tuyến sao cho: với mọi τ ∈ R và

mọi z0 ∈ H, tồn tại duy nhất hàm z(t) = z(t; τ, z0) thỏa mãn

dt = F

(

z(t), t)

, t > τ, z(τ ) = z0.

(1.1)Tiếp theo ta xác định

Z(t, τ )z0 = z(t; τ, z0), τ ≤ t, z0 ∈ H.

Cho T ∗ ∈ R cố định Giả sử tồn tại họ {A(t) : t ≤ T ∗ } các tập con khác

rỗng compact của H thỏa mãn tính bất biến

Z(t, τ )A(τ ) = A(t), với mọi τ ≤ t ≤ T ∗ ,

và thỏa mãn, với mọi τ ≤ t ≤ T ∗ và mọi z

0 ∈ A(τ), tồn tại toán tử tuyến tính

liên tục L(t; τ, z0)∈ L(H) sao cho

Z(t, τ )z0− Z(t, τ)z0− L(t; τ, z0)(z0− z0) ≤ χ(

t − τ, |z0− z0|)|z0− z0| (1.2)

với mọi z0 ∈ A(τ), trong đó χ : R+× R+ → R+ là hàm thỏa mãn χ(s, ) không giảm với mọi s ≥ 0, và

lim

Ta giả sử rằng, với mọi t ≤ T ∗ , ánh xạ F (., t) khả vi Gateaux trong V ,

nghĩa là, với mọi z ∈ V tồn tại toán tử tuyến tính liên tục F ′ (z, t) ∈ L(V ; V ′)

liên tục (do đó, trong trường hợp đặc biệt, với mỗi t ≤ T ∗ , ánh xạ F (., t) khả

vi liên tục Fréchet trong V ).

Vậy, với mọi τ ≤ T ∗ và z

0, η0 ∈ H, tồn tại duy nhất η(t) = η(t; τ, z0, η0) lànghiệm của

dt = F

′(

Z(t, τ )z0, t)

η, τ < t < T ∗ , η(τ ) = η0.

{φi }i=1,2, ,m là cơ sở trực giao trong H với không gian con bao bởi

• Bất đẳng thức Young với ϵ:

ab ≤ ϵa p + C(ϵ)b q , (a, b, ϵ > 0), với C(ϵ) = (ϵp) −q/p q −1.

• Bất đẳng thức H¨older : Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ ∞, 1

|uv|dx ≤ |u|L p · |v|L q

• Bất đẳng thức Gronwall ([17, Chương 2, tr 54-55]) : Giả sử x(t) là một

hàm liên tục tuyệt đối trên [0; T ] và thỏa mãn

• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho ξ(t) là một hàm khả tích,

không âm trên [0, T ] và thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân

• Các bất đẳng thức dạng Gronwall (xem thêm trong [31, 23] và [50]).

y(t) ≤ y0 + ε +

∫ t a

Định lí 1.4 [17, Mệnh đề 5.8] (Bất đẳng thức Poincaré) Giả sử Ω là miền tùy

ý trongRN thỏa mãn tính chất bị chặn một hướng, chẳng hạn, |x1| ≤ d < +∞ Khi đó tồn tại hằng số λ1 > 0 sao cho

∫Ω

|u|2dx ≤ 1

λ1

∫Ω

|∇u|2dx, với mọi u ∈ H1

0(Ω).

Định lí 1.5 [33, Định lí 5.8] Giả sử Ω là miền tùy ý trong R2 thỏa mãn điều kiện nón (xem thêm phần 4.6 trong [33]) Khi đó tồn tại hằng số K phụ thuộc vào số chiều của nón sao cho với mọi u ∈ H1(Ω) thì

đề về tính liên tục của ánh xạ tích các không gian Sobolev trong [23]

Bổ đề 1.3 Giả sử Ω ⊂ R N (N = 2 hoặc 3) là miền bị chặn với biên Lipschitz a) Với mọi 1 ≤ s ≤ r ≤ +∞, đặt

[1, + ∞) (tùy ý) nếu r = N và r ∗ = +∞ nếu r > N Nếu a ≥ 1 thì

(u, v) 7→ uv là ánh xạ liên tục từ W 1,r(Ω)× W 1,s (Ω) vào W 1,a (Ω).

b) Với mọi 1 ≤ r, s ≤ ∞ với 1/r + 1/s ≤ 1, khi đó (u, S) 7→ uS là ánh xạ liên tục từ W 1,r(Ω)× W −1,s (Ω) vào W −1,a (Ω) với a được xác định như trên.

Kết quả dưới đây liên quan đến phép nhúng compact vào không gian

L p (0; T ; B) trong Bổ đề 1.5.

Bổ đề 1.4 Cho X, B và Y là các không gian Banach Giả sử X nhúng

compact trong B và B nhúng liên tục trong Y Hàm δ : R+ → R thỏa mãn δ(h) → 0 khi h → 0 và 1 < p < +∞ Đặt

Bổ đề sau là mở rộng kết quả của Bổ đề Aubin-Lions cổ điển trong [19]

Bổ đề 1.5 [23, Bổ đề Aubin-Lions-Simon] Cho X, B và Y là các không gian

Banach Giả sử X nhúng compact trong B và B nhúng liên tục trong Y Khi

đó các phép nhúng sau là compact:

a) L q (0, T ; X) ∩{ϕ : ∂ t ϕ ∈ L1(0, T ; Y )}

, → L q (0, T ; B), với 1 ≤ q ≤ ∞ b) L ∞ (0, T ; X) ∩ {ϕ : ∂t ϕ ∈ L r (0, T ; Y ) } ,→ C0([0, T ]; B), với 1 < r ≤ ∞ c) L q (0, T ; X) ∩ N s,q (0, T ; Y ) , → L q ([0, T ]; B), với 0 < s ≤ 1 và 1 ≤ q ≤

+∞.

Hơn nữa, với tập bị chặn B ⊂ L ∞ (0; T ; X), K ∈ L1(0, T ) cho trước, r > 1, và

hằng số C, khi đó mọi tập

F = B ∩{ϕ : ∥∂t ϕ ∥Y ≤ K + ψ hầu khắp t, ∥ψ∥L r (0,T ) ≤ C}

là compact tương đối trong C0([0, T ]; B).

Bổ đề 1.6 [42, Định lí 13.3] Giả sử X và Y là hai không gian Banach với

X ds → 0 khi a → 0, đều đối với g ∈ G.

Khi đó G compact tương đối trong L q (0, T ; X) với mọi q, 1 ≤ q < p.

Bổ đề 1.7 ([23]) Cho E là không gian Banach Xét tập mở khác rỗng liên

thông Ω ⊂ R N với biên ∂Ω liên tục Lipschitz Giả sử rằng S ∈ D ′ (Ω; E) N và

⟨S, φ⟩ = 0, ∀φ ∈ V1 Khi đó, tồn tại duy nhất q ∈ D ′ (Ω; E) sai khác hằng số sao cho S = ∇q Hơn nữa ánh xạ S 7→ q là tuyến tính và liên tục từ W r,p (Ω; E) N vào W r+1,p (Ω; E)

với mọi r ∈ R và 1 < p < ∞.

Chương 2

HỆ BÉNARD HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cậnnghiệm của bài toán biên Dirichlet không thuần nhất đối với hệ phương trìnhBénard hai chiều không ôtônôm trên miền không nhất thiết bị chặn nhưngthỏa mãn bất đẳng thức Poincaré dưới một lớp khá rộng các điều kiện củangoại lực Đầu tiên chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếubằng phương pháp xấp xỉ Galerkin Sau đó chúng tôi chứng minh sự tồn tại

và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của quá trình sinh bởi bài toán.Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục các côngtrình đã công bố của tác giả

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN

Cho Ω là miền (bị chặn hoặc không bị chặn) trong R2 thỏa mãn bất đẳng

thức Poincaré (Định lí 1.4), có biên ∂Ω Chúng ta xét hệ phương trình Bénard

không ôtônôm sau:

x ∈ Ω và thời điểm t ≥ τ; ν > 0, κ > 0 lần lượt là hệ số nhớt và hệ số truyền

nhiệt; α = ϑg là tham số đặc trưng cho sự nổi của chất lỏng với hệ số giãn nở

nhiệt ϑ và gia tốc rơi tự do g; vectơ − → e

2 = (0, 1); T r là nhiệt độ môi trường;

f u (x, t) là hàm ngoại lực tác động lên chất lỏng, f T (x, t) là nguồn nhiệt.

Xét hệ phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện biên không thuần nhất

này phù hợp với các miền thuộc lớp C2 (xem [12, 45]) và các miền Lipschitzvới thông lượng qua biên bằng 0 (xem [35]) Tuy nhiên, với miền không trơnhoặc không bị chặn có thông lượng qua biên khác 0 đặc biệt nào đó, ta vẫn cóthể áp dụng kĩ thuật này Việc xây dựng và kiểm tra các ví dụ về "dòng chảynền" khá dài và đã được trình bày chi tiết trong [24, Mục 5], vì vậy chúng tôikhông trình bày lại trong luận án này

trong đó γ cho bởi

Nhận xét 2.1 Hệ số γ được chọn sao cho toán tử A xác định trong (2.5)

thỏa mãn tính chất cưỡng Hơn nữa, với cách chọn γ như trên thì hai số hạng trong tích vô hướng của V phù hợp về số chiều trong các đơn vị vật lí.

Tích vô hướng và chuẩn trong H được xác định bởi

và ta viết tắt B(z) = B(z, z) Dễ thấy nếu z, ˆ z, ˜ z ∈ V , thì

Tiếp theo, chúng ta sẽ viết lại bài toán để hiểu rõ ý nghĩa của điều kiện

biên (2.2) Giả sử rằng u b và T b xác định trong miền Ω lần lượt là dòng chảy

nền và nhiệt độ nền sao cho u b = ϕ u, Tb = ϕ T trên biên ∂Ω Khi đó điều kiện biên đạt được theo nghĩa u − u b và T − T b thuộc những không gian Sobolev

là bao đóng của không gian các hàm có giá compact Ta đặt v = u − ub và

θ = T − Tb, khi đó (2.1) được viết lại như sau:

Điều kiện biên cho hệ (2.8) là

v(x, t) = 0, θ(x, t) = 0, với mọi x ∈ ∂Ω. (2.10)

Và điều kiện ban đầu

v(., τ ) = v0 = u0− u b, θ(., τ ) = θ0 = T0− T b. (2.11)

Để làm rõ ý nghĩa của các số hạng u b và T b trong (2.8), chúng ta cần có

một số giả thiết của z b = (u b , T b) Không mất tính tổng quát, ta giả sử

(v · ∇)˜v · ˆvdx − γ

∫Ω

Nhận xét 2.2 Với việc sử dụng kí hiệu này, chúng ta có thể thay những điều

kiện trong (2.14) và (2.15) bởi

B(z b , z), B(z, z b) và B(z b , z b)∈ V ′ , ∀z ∈ V.

(v · ∇)v · ub dx ≤ ν

4∥v∥2

1, ∀v ∈ V1,

∫Ω

• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.

• Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi.

2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU

Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệmyếu bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếucủa bài toán (2.8)-(2.11)

Định nghĩa 2.1 Hàm z = (v, θ) được gọi là nghiệm yếu của bài toán

(2.8)-(2.11) trên khoảng (τ, T ) nếu

Trong trường hợp hai chiều, do dz

), và Ψ cho trong (2.21) Để chứng minh sự tồn tạinghiệm yếu của bài toán (2.22) ta cần sử dụng bổ đề sau

Bổ đề 2.2 [24, Bổ đề 3] Nếu u b và T b thỏa mãn (2.17) thì toán tử A + R là

V -elliptic, tức là, tồn tại δ > 0 sao cho

|z n (t) − z m (t) |2dt.

∫ T τ

|zn (t) − zm (t) |2dtdx

+ 2

∫Ω

Đẳng thức trên suy ra {zn} là dãy Cauchy trong C([0, T ]; H) Vì vậy {zn}

hội tụ trong C([0, T ]; H) tới một hàm ˜ z ∈ C([0, T ]; H) Mặt khác, ta lại có

zn (t) → z(t) trong H với hầu khắp t ∈ [τ, T ] Vì vậy, z(t) = ˜z(t) với hầu khắp

t ∈ [τ, T ] Suy ra z ∈ C([0, T ]; H) (nếu cần có thể chỉnh sửa giá trị trên một

3), z b = (u b , T b ) cho trước thỏa mãn (2.12)-(2.15) và (2.17) Khi đó,

với mọi z0 ∈ H, τ ∈ R, T > τ cho trước, bài toán (2.22) (do đó (2.23))

có duy nhất nghiệm yếu z ∈ L2(τ, T ; V ) ∩ L ∞ (τ, T ; H) Vì z ∈ L2(τ, T ; V )

nên từ phương trình (2.23) suy ra z ′ ∈ L2(τ, T ; V ′ ) với mọi T > τ Do đó

z ∈ C([τ, T ]; H) (Mệnh đề 2.1) Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau

|z(t)|2 ≤ e −σ(t−τ) |z0|2+ e

−σt ζ

Chứng minh (i) Sự tồn tại Sự tồn tại nghiệm yếu được chứng minh dựa vào

phương pháp xấp xỉ Galerkin và tương tự trường hợp ôtônôm (xem [24]) nênchúng tôi không trình bày chi tiết ở đây Tiếp theo ta đưa ra một số ước lượng

tiên nghiệm của nghiệm z được sử dụng trong các phần sau.

Trước hết, ta định nghĩa dạng song tuyến tính đối xứng [., ] : V × V → R

khơng ơtơnơm sau:

x ∈ Ω thời điểm t ≥ τ; ν > 0, κ > hệ số nhớt hệ số truyền

nhiệt; α = ϑg tham số đặc trưng cho chất lỏng với hệ. .. nghiệm yếubằng phương pháp xấp xỉ Galerkin Sau chúng tơi chứng minh tồn

và đánh giá số chiều fractal tập hút lùi q trình sinh tốn.Nội dung chương dựa báo [1] Danh mục cơngtrình cơng bố tác... 2

HỆ BÉNARD HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM

Trong chương này, nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cậnnghiệm tốn biên Dirichlet khơng hệ phương trìnhBénard hai chiều khơng