Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

luận văn

Bộ giáo dục và đào tạo

Đại học Thái Nguyên

Nguyễn Thị Ngân

Một số lớp hệ phương trình cặp

và ứng dụngLuận án tiến sĩ toán học

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62 46 01 02

Tập thể hướng dẫn khoa học: 1 TS Nguyễn Văn Ngọc

2 PGS TS Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên, 2013

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viếtchung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án.Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ côngtrình khoa học của ai khác

Tác giả luận án

Nguyễn Thị Ngân

i

Lời cảm ơn

Luận án được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đại họcSư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắccủa TS Nguyễn Văn Ngọc và PGS TS Hà Tiến Ngoạn Các Thầy đã truyềncho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa học Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với các Thầy

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả cũng luôn nhận được sự góp

ý, động viên của GS TSKH Đinh Nho Hào, PGS TSKH Nguyễn Minh Trí, TS.Phạm Minh Hiền, Ths Đào Quang Khải (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoahọc và Công nghệ Việt Nam), GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, PGS TS NguyễnMinh Tuấn, PGS TS Trần Huy Hổ (trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đạihọc Quốc gia Hà Nội), GS TSKH Lê Hùng Sơn, PGS TS Phan Tăng Đa (khoaToán - Tin ứng dụng, Đại học Bách Khoa Hà Nội), PGS TS Đặng Quang á

(Viện Công nghệ Thông tin, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam) Tác giảxin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo cùng các anh chị em NCS,Cao học trong seminar của Bộ môn Giải tích khoa Toán, trường Đại học Sưphạm - Đại học Thái Nguyên, Phòng Phương trình vi phân - Viện Toán học,khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốcgia Hà Nội, đã luôn giúp đỡ, động viên tác giả trong nghiên cứu khoa học vàcuộc sống

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đàotạo Sau đại học - Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm

- Đại học Thái Nguyên, các Phòng Ban chức năng, Phòng Quản lý đào tạo Sau

ii

đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giáo viên trong khoa, đặc biệt

là Bộ môn Giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quátrình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt là chồng, các concùng những người thân trong gia đình đã giúp đỡ, động viên tác giả trong quátrình thực hiện luận án

Mục lục

Bìa i

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iv

Một số ký hiệu dùng trong luận án viii

Mở đầu 1

1 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát 19 1.1 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh 20

1.1.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh 20

1.1.2 Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản 20

1.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm 21

1.2.1 Không gian S′ của các hàm suy rộng tăng chậm 21

1.2.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm 22

1.2.3 Biến đổi Fourier của tích chập 23

1.3 Các không gian Sobolev 24

1.3.1 Không gian Hs(R) 24

1.3.2 Các không gian Hs ◦(Ω), H◦,◦s (Ω), Hs(Ω) 24

1.3.3 Định lý nhúng 25

iv

1.4 Các không gian Sobolev vectơ 26

1.4.1 Khái niệm 26

1.4.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 28

1.5 Toán tử giả vi phân vectơ 30

1.5.1 Khái niệm 30

1.5.2 Chuẩn và tích vô hướng tương đương 32

1.5.3 Nhúng compact 34

1.6 Tính giải được của hệ phương trình cặp 34

1.6.1 Định lý duy nhất 34

1.6.2 Định lý tồn tại 36

2 Hệ phương trình cặp của một số bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình điều hoà và song điều hoà trong miền hình dải 41 2.1 Bài toán biên hỗn hợp thứ nhất đối với phương trình điều hoà 42

2.1.1 Phát biểu bài toán 43

2.1.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân 43

2.1.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.10) 45 2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 46

2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính 49

2.2 Bài toán biên hỗn hợp đối với dải đàn hồi 56

2.2.1 Phát biểu bài toán 56

2.2.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân 58 2.2.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.51) 61

2.2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích

phân kỳ dị nhân Cauchy 642.2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy về hệ vô

hạn các phương trình đại số tuyến tính 672.3 Bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình song điều hoà 722.3.1 Phát biểu bài toán 732.3.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân 742.3.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.106) 772.3.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích

phân nhân logarithm 842.3.5 Đưa hệ phương trình tích phân nhân logarithm về hệ vô

hạn các phương trình đại số tuyến tính 862.4 Bài toán biên hỗn hợp thứ hai đối với phương trình điều

hoà 902.4.1 Phát biểu bài toán 912.4.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân 912.4.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.157) 922.4.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích

phân kỳ dị nhân Cauchy 942.4.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy về hệ vô

hạn các phương trình đại số tuyến tính 96

3 Giải gần đúng hệ phương trình tích phân kỳ dị của một hệ

3.1 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị về dạng không thứ nguyên 1023.2 Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình tích phân kỳ dị 106

3.2.1 Tính gần đúng ma trận hạch của hệ phương trình tích phân

kỳ dị 1063.2.2 Tính nghiệm gần đúng của hệ phương trình tích phân kỳ dị 1103.2.3 Về tốc độ hội tụ 128

Kết luận và đề nghị 132

Danh mục công trình của tác giả đã công bố liên quan đến luận án134

Tài liệu tham khảo 135

Một số ký hiệu dùng trong luận án

R: đường thẳng thực

Ω: khoảng hoặc hệ các khoảng không giao nhau trong R

Rn: không gian vectơ Euclide n chiều

Cn: không gian phức n chiều

Ck(Ω): tập tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω

C◦k(Ω): tập tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω, có giá compacttrong Ω

C∞(Ω): tập tất cả các hàm khả vi vô hạn trên Ω

C◦∞(R): tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong R

ℓ2: không gian của các dãy số {fn}, n ∈ N, thoả mãn điều kiện

S: không gian các hàm cơ bản giảm nhanh trên R

S′: không gian các hàm suy rộng tăng chậm trên R

D(Ω): không gian các hàm khả vi vô hạn và có giá compact trong Ω

D′(Ω): không gian đối ngẫu của D(Ω)

Hs(R), H◦s(Ω), H◦,◦s (Ω), Hs(Ω): các không gian Sobolev

H~s(R), H~s◦(Ω), H~s◦,◦(Ω), H~s(Ω): các không gian Sobolev vectơ

F: phép biến đổi Fourier

F−1: phép biến đổi Fourier ngược

p, p′: các toán tử hạn chế

ℓ, ℓ′: các toán tử thác triển

Tn(x): đa thức Chebyshev bậc n loại một

Un(x): đa thức Chebyshev bậc n loại hai

Jm: hàm Bessel loại một cấp m

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình cặp (dual equations) và hệ phương trình cặp (systems of dualequations) xuất hiện khi giải các bài toán biên hỗn hợp của Vật lý toán bằngcách sử dụng các biến đổi tích phân thích hợp Nhiều bài toán của lý thuyết

đàn hồi, các bài toán về vết nứt, các bài toán về tiếp xúc, có thể được đưa

đến giải các phương trình cặp khác nhau Trong khoảng năm thập niên gần đâynhững nghiên cứu về phương trình cặp chủ yếu là các phương pháp tìm lời giảihình thức của các phương trình này [17, 44]

Hiện nay các kết quả định tính về phương trình cặp còn hạn chế [2- 5, 9,

11, 18, 23, 47], tính giải được của các hệ phương trình cặp hầu như chưa đượcnghiên cứu Việc nghiên cứu hệ phương trình cặp sẽ mở rộng phạm vi áp dụngcho phương trình cặp trong việc giải các bài toán biên hỗn hợp của Vật lý toán.Vì vậy, việc nghiên cứu về hệ phương trình cặp là cần thiết và có tính thời sự.Trong các phép biến đổi tích phân thì phép biến đổi tích phân Fourier có vị trí

đặc biệt quan trọng đối với các phát triển lý thuyết của toán học cũng như ứngdụng trong nhiều ngành khoa học tự nhiên khác

Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án củamình là " Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng"

2 Mục đích của đề tài luận án

2.1 Mục đích của đề tài luận án là thiết lập tính giải được của các hệ phươngtrình cặp tích phân trong những không gian hàm thích hợp Các không gian hàm

được sử dụng trong luận án là không gian các hàm suy rộng tăng chậm và cáckhông gian Sobolev vectơ

1

2.2 Mục đích thứ hai của đề tài luận án là nghiên cứu các phương pháp hữuhiệu tìm nghiệm của hệ các phương trình cặp tích phân Trong luận án này,chúng tôi sử dụng phương pháp biểu diễn nghiệm của các hệ phương trình cặptích phân thông qua các hàm phụ trợ thích hợp, và đưa hệ các phương trình cặptích phân về hệ các phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy hoặc nhânlogarithm.

2.3 Mục đích thứ ba của đề tài luận án là vận dụng các phương pháp hữu hiệugiải hệ phương trình tích phân kỳ dị, để từ đó có thể tìm được nghiệm của hệphương trình cặp tích phân Trong luận án này chúng tôi vận dụng phương pháp

đa thức trực giao [32- 37] để đưa hệ các phương trình tích phân kỳ dị với nhânCauchy hoặc nhân logarithm về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tínhtựa hoàn toàn chính qui [14], thuận tiện cho việc tìm nghiệm gần đúng của các

hệ phương trình cặp tích phân đề cập trong luận án này

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là thiết lập tính giải được của hệ phươngtrình cặp tích phân Fourier tổng quát với biểu trưng (symbol) là ma trận xác

định dương Xét ứng dụng của lý thuyết hệ phương trình cặp tích phân Fouriertổng quát vào nghiên cứu một số lớp hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải một

số bài toán biên hỗn hợp cho các phương trình điều hoà và song điều hoà trongmiền hình dải của mặt phẳng

4 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi vận dụng tiếp cận lý thuyết hàm suy rộng và toán tử giả vi phân

để nghiên cứu hệ phương trình cặp tích phân mà luận án quan tâm Tiếp cận

lý thuyết hàm suy rộng được sử dụng để nghiên cứu các phương trình cặp dạngTitchmash được Walton J R lần đầu tiên nghiên cứu vào năm 1975 [47], còntiếp cận toán tử giả vi phân do Nguyễn Văn Ngọc vận dụng năm 1988 [24] đểnghiên cứu tính giải được của phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưngtăng chậm

5 Tổng quan về đề tài luận án

5.1 Phương trình cặp tổng quát

Hiện nay trong số các phương pháp giải tích giải các bài toán biên hỗn hợpcủa Vật lý toán thì phương pháp phương trình cặp là tổng quát và linh hoạt hơncả Những công trình nền móng của phương pháp này là các công trình của cácnhà toán học Beltrami E., Boussinesq J và Abramov V M Sự phát triển củaphương pháp đã dựa trên các công trình sau đó của Tranter C., Cooke J., SneddonI., Ufliand Ia S., Babloian A A., Valov G N., Mandal B N., Aleksandrov B.M.,

Các phương trình cặp xuất hiện khi sử dụng phép biến đổi tích phân nào đó

để giải các bài toán biên hỗn hợp của các phương trình đạo hàm riêng Có nhiềuphép biến đổi tích phân khác nhau và mỗi phép biến đổi lại tương ứng với mộtloại phương trình cặp Độ phức tạp của mỗi loại phương trình cặp phụ thuộcvào biểu trưng và số khoảng có trong phương trình Phương trình cặp tổng quát

có thể được phát biểu như sau:

Giả sử J là khoảng hữu hạn hay vô hạn của trục thực R và T là biến đổitích phân nào đó trên J với biến đổi ngược T−1 Ký hiệu bv(ξ) là T − biến đổicủa hàm v(x) Phương trình cặp tích phân đối với phép biến đổi tích phân T có

pT−1[A1(ξ)bv(ξ)](x) = f(x), x ∈ Ω,

p′T−1[A2(ξ) bv(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ω′, (1)trong đó A1(ξ) và A2(ξ) là các hàm đã biết, Ω, Ω′ là các hệ khoảng không giaonhau của J, sao cho Ω ∪ Ω′ = J, p và p′ lần lượt là các toán tử hạn chế trên Ω

hàm A(ξ) được gọi là biểu trưng (symbol) của toán tử (giả vi phân):

Au := T−1[A(ξ)bu(ξ)](x)

Nhận xét rằng, phương trình cặp (2) có thể được xem như là bài toán Dirichlet

đối với phương trình giả vi phân Au = f(x) trên Ω

5.2 Các phương pháp hình thức

Trong khoảng 50 năm qua đã xuất hiện nhiều nghiên cứu về những phươngpháp hình thức giải các phương trình cặp tích phân và các phương trình cặpchuỗi đối với các phép biến đổi tích phân khác nhau Những phương pháp nàynhìn chung còn mang tính hình thức, tức là chưa xét đến tính giải được của cácphương trình cặp, cũng như chưa có sự đảm bảo toán học chặt chẽ đối với cácbiến đổi Tuy nhiên, các phương pháp này đã thúc đẩy sự phát triển mạnh mẽcủa lý thuyết phương trình cặp đối với các biến đổi tích phân khác nhau Phầnlớn các phương pháp này có thể tìm thấy trong các tài liệu [17, 31, 44]

Trước hết đề cập tới những phương pháp hình thức nghiên cứu về phươngtrình cặp liên quan đến biến đổi Fourier (gọi tắt là phương trình cặp tích phânFourier) dạng:

• Khi Ω = (0, ∞) phương pháp thường được sử dụng là phương pháp nhân

tử hoá Wiener- Hopf [11, 19, 31] Trường hợp này thường gặp trong các bàitoán về tán xạ các sóng và về các vết nứt nửa vô hạn

• Khi Ω = (a, b) là khoảng hữu hạn, phương trình (3) còn được gọi là phươngtrình bộ ba (triple equation) được đưa về phương trình tích phân dạng chập [1,

7, 36, 37]:

(a∗ u)(x) :=

Z b a

a(x− t)u(t)dt = f(x) + ˜g(x), a < x < b, (4)

trong đó a(x), u(x) tương ứng là biến đổi Fourier ngược của A(ξ) và bu(ξ), còn

˜

g(x)là hàm số phụ thuộc tuyến tính vào hàm g(x) Phương trình tích phân dạngchập (4) thường là phương trình với nhân logarithm, hoặc là phương trình vớinhân kỳ dị Cauchy và được giải gần đúng bằng phương pháp đa thức trực giao[36, 37], phương pháp tiệm cận [1]

• Eswaran (1990) [17] đã đề xuất một phương pháp tìm nghiệm của phươngtrình (3) với A(ξ) = pξ2 − k2, Ω = (−1, 1), g(x) = 0 gặp trong lý thuyếtnhiễu xạ (difraction) sóng điện từ Phương pháp của Eswaran dựa trên quá trìnhtrực giao hoá và hệ thức

• Các phương pháp hình thức tìm nghiệm của các phương trình cặp liên quan

đến biến đổi Hankel, biến đổi Mehler- Fock, Weber-Orr và Legendre được giớithiệu khá chi tiết trong [17, 44]

Nh­ trªn ®· nãi, c¸c ph­¬ng ph¸p trªn ®©y vÒ c¬ b¶n cßn mang tÝnh h×nhthøc, ch­a quan t©m ®Õn vÊn ®Ò tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm trong c¸c kh«nggian hµm thÝch hîp nµo ®ã, còng nh­ nh÷ng ®¶m b¶o to¸n häc cÇn thiÕt trongqu¸ tr×nh biÕn ®æi ®­a ph­¬ng tr×nh cÆp vÒ c¸c ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n t­¬ngøng D­íi ®©y chóng t«i sÏ tr×nh bµy tæng quan nh÷ng kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒtÝnh gi¶i ®­îc cña mét sè líp ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n, ®Æc biÖt lµ tÝch ph©nFourier, lµ ®èi t­îng nghiªn cøu cña ®Ò tµi luËn ¸n nµỵ

5.3 TÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp

Sè l­îng c¸c nghiªn cøu vÒ tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp so víic¸c nghiªn cøu vÒ c¸c ph­¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i h×nh thøc cña c¸c ph­¬ng tr×nhnµy lµ rÊt khiªm tèn Trong phÇn nµy chóng t«i sÏ ®Ò cËp ®Õn mét sè kÕt qu¶nghiªn cøu ®¹i diÖn cña c¸c chuyªn gia vµ cña t¸c gi¶ luËn ¸n vÒ tÝnh gi¶i ®­îccña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n th­êng gÆp trong c¸c bµi to¸n biªn hçn hîpcña vËt lý to¸n

• N¨m 1975, Walton J R [47] vËn dông tiÕp cËn hµm suy réng Zemanian[48], xÐt tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh cÆp d¹ng Titchmarsh

• NguyÔn V¨n Ngäc [25, 26] xÐt tÝnh gi¶i ®­îc cña mét sè líp ph­¬ng tr×nhcÆp tÝch ph©n Hankel b»ng c¸ch sö dông c¸c to¸n tö vi ph©n Mm

µ , Nνm vµ c¸ctÝch ph©n ph©n M−m

µ,J , Nµ,J−m trong kh«ng gian c¸c hµm suy réng Zemanian H′

µ.NguyÔn V¨n Ngäc vµ Hµ TiÕn Ngo¹n [30] ®· x©y dùng c¸c kh«ng gian Sobolevliªn quan ®Õn phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Hankel ®Ó nghiªn cøu to¸n tö gi¶ vi ph©nd¹ng A[u] = Bµ[Ặ)bu(.)], trong ®ã bu = Bµ[u]lµ biÕn ®æi Hankel cña hµm suy

rộng u, A(t) là biểu trưng (symbol) đã cho Tính bị chặn và tính compact củatoán tử giả vi phân A[u] được vận dụng để nghiên cứu tính giải được của cácphương trình cặp tích phân dạng

(

F−1[(1 + K1(ξ))bu(ξ)](x) = f(x), x > 0,

F−1[(1 + K2(ξ))bu(ξ)](x) = g(x), x < 0 (11)với các giả thiết

1 + Kj(ξ) 6= 0, kj(x) = F−1[Kj(ξ)], ef (x) ∈ {0} (j = 1, 2), (12)trong đó {0} là lớp các hàm có Fourier thuộc không gian L2(R) và thoả mãn

điều kiện Holder địa phương trên khoảng bị chặn bất kỳ và tại lân cận của ±∞và

e

f (x) =

(

f (x), x≥ 0,g(x), x < 0

• Gohberg I C và Fel'man I A [12] đã nghiên cứu phương trình (11) vớicác giả thiết

˜

f (x), kj(x) = F−1[Kj(ξ)] ∈ L1(R), (13)

1 + Kj(ξ) 6= 0, Ind[1 + Kj(ξ)]R = 0 (j = 1, 2), (14)trong đó IndK(ξ)R là chỉ số của hàm K(ξ) trên trục thực theo chiều dương.Kết quả nhận được là các điều kiện (13)-(14) là cần và đủ để phương trình (11)

có nghiệm trong L1(R)

• Poletaev G S [33-35] đã xét phương trình (11) với giả thiết

F−1[K1(ξ)](x) ∈ L1(R), ecxF−1[K2(ξ)](x) ∈ L1(R), trong đó c là hằng sốdương nào đó, bằng phương pháp dựa trên kỹ thuật nhân tử hoá Wiener-Hopftrong các đại số Banach đã thiết lập một số định lý về tính giải được của phươngtrình (11) trong các không gian thích hợp

• Năm 1986, Nguyễn Văn Ngọc và Popov G Ya [23] đã xét tính giải đượccủa phương trình cặp vi-tích phân với nhân lượng giác trên hệ khoảng

b j

a j

Φj(y)dy = 0, j = 1, N Phương trình cặp trên hệ 2N + 1 khoảng được đưa về hệ N phương trình tíchphân loại một với nhân chính ln x− y

x + y

đối với các hàm Φj(y), j = 1, N

• Manam S R [18] đề xuất phương pháp tìm nghiệm hữu hiệu của một lớpphương trình cặp liên quan đến tổ hợp của các hàm lượng giác Đã nhận đượctiêu chuẩn giải được, theo đó nghiệm của phương trình là duy nhất

• Năm 1988, Nguyễn Văn Ngọc [24] đã vận dụng tiếp cận toán tử giả viphân trong các không gian Sobolev cấp thực để xét tính giải được của phươngtrình cặp tích phân Fourier (3) trong các không gian Sobolev thích hợp Kết quảcơ bản của nghiên cứu này là: nếu biểu trưng A(ξ) của phương trình (3) dương

và A(ξ) ≤ C(1 + |ξ|)α thì với mỗi f(x) ∈ H−α/2(Ω), g(x) ∈ Hα/2(R \ Ω),phương trình (3) có nghiệm duy nhất trong Hα/2(R)

• Năm 2009, Nguyễn Văn Ngọc đã đưa ra cách giải các phương trình cặp

đối với biến đổi Fourier với symbol tăng cấp p ∈ N sau đây [28]:

(

F−1[|ξ|pA(ξ)bu(ξ)](x) = f(x), x ∈ (a, b),

F−1[bu(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (a, b), (16)trong đó bu(ξ) ∈ S′∩ C∞(R) là hàm cần tìm, f(x) là hàm đã cho thuộc khônggian Sobolev H−p/2(a, b) Hàm đã biết A(ξ) thoả mãn các điều kiện

i) A(ξ) ∈ C∞(R), A(−ξ) = A(ξ), ReA(ξ) ≥ 0(6≡ 0),ii) L(ξ) := 1− A(ξ) = O(|ξ|−q),|ξ| → ∞, q >> 1

Khi p = 2m (m = 1, 2, ) nghiệm của phương trình (16) được tìm ở dạng

bu(ξ) = 1

(−iξ)m

Z b a

ϕ(t)eiξtdt, (17)

Z b a

tkϕ(t)dt = 0, k = 0, 1, , m− 1 (18)

Khi p = 2m + 1 (m = 0, 1, 2, ) nghiệm của phương trình (16) được tìmtương tự như trên, trong đó trong các công thức (17)-(18) m được thay bởi

m + 1 Phương trình cặp (16) được đưa về giải phương trình tích phân kỳ dịnhân Cauchy đối với với hàm ϕ(t)

• Mới đây Banerji P K và Deshnar Loonker [2] xét tính giải được trongkhông gian các hàm suy rộng của một lớp phương trình cặp liên quan đến biến

2 +iτ(cosh α) là hàm Legendre

• Những kết quả gần đây của Nguyễn Văn Ngọc và Nguyễn Thị Ngân dànhcho việc nghiên cứu tính giải được của các hệ phương trình cặp tích phân Fourier

(

pF−1[A(ξ)ub(ξ)](x) = f (x), x∈ Ω,

p′F−1[ub(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ω′ = R\ Ω, (20)

trong đó Ω là một khoảng hữu hạn của trục thực, bu là vectơ hàm cần tìm, f, g

là các vectơ hàm đã cho, A(ξ) là một ma trận vuông xác định và được gọi làbiểu trưng ( symbol) của hệ phương trình cặp (20), p và p′ lần lượt là toán tửhạn chế trên Ω và Ω′

Phương pháp nghiên cứu là sử dụng tiếp cận toán tử giả vi phân của các hàmsuy rộng trong các không gian Sobolev thích hợp Vận dụng Định lý Riesz vềphiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert và Định lý Fredholm

để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các hệ phương trình cặp

Đưa ra các biểu diễn nghiệm thích hợp để đưa các hệ phương trình cặp tíchphân Fourier về hệ phương trình tích phân kỳ dị hoặc hệ phương trình tích phânvới nhân logarithm Vận dụng phương pháp đa thức trực giao [36] đưa hệ cácphương trình tích phân trên đây về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tínhtựa hoàn toàn chính qui [14]

Vì đối tượng nghiên cứu của luận án này là tính giải được của các hệ phươngtrình cặp tích phân liên quan đến biến đổi Fourier, nên trong luận án này chúngtôi chỉ đề cập đến các phương trình cặp tích phân (chủ yếu là tích phân Fourier)

mà chưa quan tâm đến các phương trình cặp chuỗi Tuy nhiên, nhận xét rằngmột số kết quả về tính giải được của các phương trình cặp chuỗi có thể tìm thấy,

ví dụ trong [15, 22, 27, 29, 38, 39]

Nhận xét rằng, các phương pháp được sử dụng trong nghiên cứu tính giải

được của các phương trình cặp tích phân và chuỗi có thể phân thành các nhómtiếp cận sau đây:

- Cách tiếp cận giải tích và giải tích hàm [5, 11, 12, 18, 23, 33, 34, 35, 38,

39, ]

- Cách tiếp cận hàm suy rộng [2, 9, 20, 25, 26, 47, ]

- Cách tiếp cận toán tử giả vi phân của các hàm suy rộng trong các khônggian Sobolev và phương trình tích phân [24, 27- 29, ]

6 Cấu trúc và tổng quan luận án

Luận án gồm phần Mở đầu, ba chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo

Chương 1 dành cho việc trình bày lý thuyết chung của hệ n-phương trình cặptích phân Fourier trên hệ các khoảng không giao nhau của trục thực Các hệphương trình này là sự khái quát hoá của nhiều hệ phương trình cặp gặp trongcác bài toán biên hỗn hợp của Vật lý toán, một số các bài toán đó sẽ được trìnhbày trong Chương 2.

Trong các mục 1.1-1.3 trình bày một số kiến thức bổ trợ: biến đổi Fourier củahàm cơ bản giảm nhanh và hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolevcấp thực bất kỳ

Mục 1.4 trình bày về các không gian Sobolev vectơ H~s(R), H~s◦(Ω),

Mục 1.5 dành cho việc nghiên cứu toán tử giả vi phân vectơ dạng

(Au)(x) := F−1[A(ξ)ub(ξ)](x),trong đó A(ξ) = ||aij(ξ)||n ìn là ma trận vuông cấp n, u = (u1, u2, , un)T làvectơ chuyển vị của vectơ dòng (u1, u2, , un)và bu(ξ) := F [u] = (F [u1], F [u2], , F [un])T Ma trận A(ξ) được gọi là biểu trưng (symbol) của toán tử giả viphân A Dựa trên nhiều bài toán cụ thể, chúng tôi đã định nghĩa các lớp củabiểu trưng: Σ~ α(R), Σ~α+(R), Σ~α◦(R) ( Định nghĩa 1.11) Điều kiện (1.27) có vaitrò tương tự như điều kiện bức đối với toán tử vi phân elliptic

Lớp biểu trưng Σα ~

+(R) có vai trò quan trọng trong việc xây dựng chuẩn vàtích vô hướng tương đương trong không gian H~s(R) (Mệnh đề 1.5) Tính liêntục của toán tử giả vi phân vectơ Au với biểu trưng A(ξ) ∈ Σα ~(R) được chobởi Mệnh đề 1.6, còn tính hoàn toàn liên tục của toán tử được cho bởi Mệnh

đề 1.7 Các tính chất trên đây của toán tử giả vi phân F−1[A(ξ)ub(ξ)](x) có vaitrò quan trọng trong việc nghiên cứu tính giải được của các hệ phương trình cặptích phân ở mục tiếp theo

Mục 1.6 dành cho việc nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình cặptích phân

(

pF−1[A(ξ)bu(ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω,

p′F−1[bu(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ω′ := R\ Ω, (21)trong đó Ω là một khoảng hoặc hệ các khoảng không giao nhau trong R, bu(ξ) =(ˆu1(ξ), ˆu2(ξ), , ˆun(ξ))T là hàm vectơ cần tìm, f(x) = (f1(x), f2(x), ,

fn(x))T ∈ (D′(Ω))n, g(x) = (g1(x), g2(x), , gn(x))T ∈ (D′(Ω′))n là nhữnghàm vectơ cột xác định trên Ω và Ω′ tương ứng, A(ξ) = ||aij(ξ)||n ìnlà ma trậnvuông và được gọi là biểu trưng của hệ phương trình cặp (21); p và p′ lần lượt

là các toán tử hạn chế trên Ω và Ω′ tương ứng (Hệ (1.34) trong luận án)

Hệ phương trình cặp tích phân (21) được xét với các giả thiết sau

(

A(ξ)∈ Σ~α◦(R), A(ξ) là ma trận xác định dương với mọi ξ ∈ R,

f(x) ∈ H−~α/2(Ω), g(x) ∈ Hα/2 ~ (Ω′) (22)

ẩn hàm bu(ξ) được tìm dưới dạng bu(ξ) = F [u](ξ), trong đó u ∈ H~ α/2(R)

Đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình cặptích phân trong các trường hợp ma trận A(ξ) ∈ Σα ~

Trong Chương 2 này, chúng tôi xét một số bài toán biên hỗn hợp của phươngtrình điều hoà và song điều hoà trong miền hình dải, khi các điều kiện biên loạikhác nhau được cho xen kẽ nhau trên hai biên song song với trục Ox của miềnhình dải

Mục 2.1 và 2.2 dành cho việc nghiên cứu về hệ phương trình với biểu trưngtăng cấp một Trong các mục này trình bày hai bài toán biên hỗn hợp

Mục 2.1 xét một hệ phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng cấp mộtcủa một bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình điều hoà trong miền hình

dải khi điều kiện biên Neumann (đạo hàm pháp tuyến) được cho trên khoảnghữu hạn (a, b), còn ở ngoài khoảng đó thì cho điều kiện biên Dirichlet Bằngphương pháp biến đổi Fourier đã biến đổi về hệ phương trình cặp tích phân(Mục 2.1.2) Mục đích quan trọng là đã thiết lập tính giải được của hệ phươngtrình cặp tích phân: chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của hệphương trình cặp tích phân trong không gian Sobolev của các hàm suy rộng, đó

là các định lý: Định lý 2.1 và Định lý 2.2 (Mục 2.1.3) Trong Mục 2.1.4 vớiviệc biểu diễn các hàm um(x), m = 1, 2 qua các hàm phụ trợ thích hợp

um(x) = 1

2

Z b a

vm(t)sign(x − t)dt, vm ∈ L2ρ(a, b) ⊂ H◦−1/2(a, b), m = 1, 2,

đưa hệ phương trình cặp tích phân này về hệ phương trình tích phân kỳ dị vớinhân Cauchy (Hệ (2.12) trong luận án)

Z b a

vk(t)ℓmk(x− t)dt = −ifm(x),

vm(t) ∈ L2

ρ(a, b), m = 1, 2; a < x < b,trong đó

Vận dụng phương pháp đa thức trực giao [36, 37] để đưa hệ các phương trìnhtích phân kỳ dị với nhân Cauchy về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyếntính Đã chứng minh hệ phương trình (2.12) và hệ vô hạn các phương trình đại

số tuyến tính (2.30) là tương tương (Định lý 2.5) Trong các Bổ đề 2.2 và Bổ

đề 2.3 đã đánh giá các hệ số của hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính(2.37), chứng minh được Định lý 2.6 về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyếntính có duy nhất nghiệm thuộc không gian ℓ2, ngoài ra khẳng định hệ phươngtrình này là hệ phương trình tựa hoàn toàn chính qui (Mục 2.1.5) Nội dungcủa mục này đã được công bố trong Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại họcThái nguyên và trong kỷ yếu Hội thảo quốc tế "Based on the selected lectures of

the 17th International Conference on Finite and Infinite Dimensional ComplexAnalysis and Applications".

Mục 2.2 trình bày về một hệ phương trình cặp tích phân gặp trong bài toánbiên hỗn hợp đối với dải đàn hồi Bằng cách biểu diễn các đại lượng của chuyển

vị và ứng suất qua hai hàm điều hoà, bài toán được đưa về hệ phương trình cặptích phân hai phương trình đối với vết của các chuyển vị trên biên với biểutrưng tăng cấp một như hệ phương trình cặp tích phân đã gặp trong Mục 2.1,nhưng biểu trưng trong trường hợp này thì có cấu trúc phức tạp hơn rất nhiều.Mục 2.2.3 trình bày tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Chứngminh ma trận A◦(ξ) là ma trận xác định dương (Bổ đề 2.4) Chứng minh sựtồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình cặp tích phân (2.54) (Định lý2.7, Định lý 2.8) Tương tự như trong Mục 2.1.4 bằng cách biểu diễn các hàm

um(x), m = 1, 2 qua các hàm phụ trợ thích hợp đưa hệ phương trình cặp tíchphân (2.54) về hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy (Mục 2.2.4).Mục 2.2.5 trình bày biến đổi về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính.Chứng minh hệ phương trình (2.62) và hệ vô hạn các phương trình đại số tuyếntính (2.69) là tương tương (Định lý 2.10) Trong các Bổ đề 2.6 và Bổ đề 2.7

đã đánh giá các hệ số của hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.69).Chứng minh được hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.69) có duynhất nghiệm thuộc không gian ℓ2, ngoài ra còn khẳng định hệ phương trình này

là hệ phương trình tựa hoàn toàn chính qui (Định lý 2.11) Nội dung của mụcnày đã được công bố trong tạp chí Vietnam Journal of Mathematics

Mục 2.3 dành cho việc nghiên cứu về hệ phương trình với biểu trưng giảmcấp một, trình bày về một hệ phương trình cặp tích phân gặp trong bài toán biênhỗn hợp đối với phương trình song điều hoà Bài toán có nguồn gốc từ bài toánmô tả sự uốn của tấm hình dải giới hạn bởi các cạnh y = 0, y = h với điều kiệnngàm cho trên các khoảng |x| < a và điều kiện gối tựa cho trên |x| ≥ a đượctrình bày trong Mục 2.3.1 Mục 2.3.3 trình bày tính giải được của hệ phươngtrình cặp tích phân (2.106) Sử dụng Bổ đề 2.8 chúng tôi chứng minh hệ phươngtrình (2.110) có duy nhất nghiệm (Định lý 2.13) Chứng minh Định lý 2.14,

định lý về sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình (2.110) Chứng minh sự tồn tại

duy nhất nghiệm của bài toán (2.81)-(2.85) (Định lý 2.15) Mục 2.3.4 trình bàyphương pháp đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích phânnhân logarithm trên (−a, a) (Hệ (2.127) trong luận án)

x− y

u1(t)dt +

Z a

−a

u1(t)k11(x− t)dt+

Z a

−a

u2(t)k12(x− t)dt = ef1(x),1

2π

Z a

−a

ln ... đưa hệ phương trình cặp tíchphân (2.54) hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy (Mục 2.2.4).Mục 2.2.5 trình bày biến đổi hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính.Chứng minh hệ phương trình. .. gần hệ phương trình tíchphân kỳ dị hệ phương trình cặp tích phân xét Chương Cụ thểgiải gần hệ phương trình cặp tích phân kỳ dị hệ phương trình cặp tíchphân Fourier gặp tốn biên hỗn hợp thứ phương. .. trình cặp tíchphân Fourier hệ phương trình tích phân kỳ dị hệ phương trình tích phânvới nhân logarithm Vận dụng phương pháp đa thức trực giao [36] đưa hệ cácphương trình tích phân hệ vơ hạn phương