tóm tắt luận án tiến sĩ một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

ẩn hàm uξb được tìm dưới dạnguξ = F [u]ξ,b trong đó u ∈ H~ α/2R.Chương 2 dành cho việc trình bày về một số lớp hệ phương trình cặp tíchphân của một số bài toán biên hỗn hợp đối với phươn

§¹i häc Th¸i Nguyªn

Mở đầu

Phương trình cặp (dual equations) và hệ phương trình cặp (systems of dualequations) xuất hiện khi giải các bài toán biên hỗn hợp của vật lý toán bằngcách sử dụng các biến đổi tích phân thích hợp Nhiều bài toán của lý thuyết

đàn hồi, các bài toán về vết nứt, các bài toán về tiếp xúc, có thể được đưa

đến giải các phương trình cặp khác nhau Hiện nay các kết quả định tính vềphương trình cặp còn rất khiêm tốn, tính giải được của các hệ phương trìnhcặp hầu như chưa được nghiên cứu Việc nghiên cứu hệ phương trình cặp sẽ

mở rộng phạm vi áp dụng cho phương trình cặp trong việc giải các bài toánbiên hỗn hợp của vật lý toán Vì vậy việc nghiên cứu về hệ phương trình cặp

là cần thiết và có tính thời sự

Trong số các phương pháp giải tích giải các bài toán biên hỗn hợp củavật lý toán thì phương pháp phương trình cặp là tổng quát và linh hoạt hơncả Những công trình nền móng của phương pháp này là các công trình củacác nhà toán học Beltrami E, Boussinesq J và Abramov V M Sự phát triểncủa phương pháp đã dựa trên các công trình sau đó của Tranter C., CookeJ., Sneddon I., Ufliand Ia S., Babloian A A., Valov G N., Mandal B N.,Aleksandrov B M.,

Phương trình cặp tổng quát có thể được phát biểu như sau: Giả sử J làkhoảng hữu hạn hay vô hạn của trục thực R và T là biến đổi tích phân nào

đó trên J với biến đổi ngược T−1.Ký hiệubv(ξ)là T - biến đổi của hàm v(x).Phương trình cặp tích phân đối với phép biến đổi tích phân T có dạng

(

pT−1[A(ξ)bu(ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω,

p0u(x) = g(x), x ∈ Ω0, u(ξ) = Ab 2(ξ)bv(ξ), (1)trong đó Ω, Ω0 là các hệ khoảng không giao nhau của J, sao cho Ω∪Ω0 = J, p

phương trình cặp (1) có thể được xem như là bài toán Dirichlet trên Ω đốivới phương trình giả vi phân Au = f(x) trên Ω.

Trong khoảng 50 năm qua đã xuất hiện nhiều nghiên cứu về những phươngpháp khác nhau để giải các phương trình cặp tích phân và các phương trìnhcặp chuỗi đối với các phép biến đổi tích phân khác nhau Những phươngpháp này nhìn chung còn mang tính hình thức, tức là chưa xét đến tính giải

được của các phương trình cặp, cũng như chưa có sự đảm bảo toán học chặtchẽ đối với các biến đổi Tuy nhiên, các phương pháp này đã thúc đẩy sựphát triển mạnh mẽ của lý thuyết phương trình cặp đối với các biến đổitích phân khác nhau Xét phương trình (1) với T là phép biến đổi Fourier,Eswaran (1990) đã đề xuất một phương pháp tìm nghiệm của phương trìnhnày với A(ξ) = pξ2 − k2, Ω = (−1, 1), g(x) = 0 gặp trong lý thuyết nhiễuxạ (difraction) sóng điện từ Sneddon I S (1966) và một số tác giả nghiêncứu các phương trình cặp tích phân với hạch lượng giác thường gặp trong cácbài toán về vết nứt và tiếp xúc của lý thuyết đàn hồi hai chiều

Số lượng các nghiên cứu về tính giải được của các phương trình cặp sovới các nghiên cứu về các phương pháp tìm lời giải hình thức của các phươngtrình này là rất khiêm tốn Các phương pháp được sử dụng trong nghiên cứutính giải được của các phương trình cặp tích phân và chuỗi có thể phân thànhcác nhóm tiếp cận sau đây:

- Cách tiếp cận giải tích và giải tích hàm

Năm 1988, Nguyễn Văn Ngọc đã vận dụng tiếp cận toán tử giả vi phân

để xét tính giải được của phương trình cặp tích phân Fourier trong các khônggian Sobolev thích hợp

Năm 2009, Nguyễn Văn Ngọc đã đưa ra cách giải các phương trình cặp

Những kết quả gần đây của Nguyễn Văn Ngọc và Nguyễn Thị Ngân dànhcho việc nghiên cứu tính giải được của các hệ phương trình cặp tích phânFourier (

pF−1[A(ξ)u(ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω,b

p0F−1[u(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ωb 0 = R \ Ω, (3)trong đó Ω là một khoảng hữu hạn của trục thực, ub là hàm vectơ cần tìm,

f , g là các hàm vectơ đã cho, A(ξ) là một ma trận vuông xác định và đượcgọi là biểu trưng( symbol) của hệ phương trình cặp (3), p và p0 lần lượt làtoán tử hạn chế trên Ω và Ω0

Luận án gồm phần Mở đầu, ba chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo.Chương 1 dành cho việc trình bày lý thuyết chung của hệ n- phương trìnhcặp tích phân Fourier trên hệ khoảng không giao nhau của trục thực

Trong các Mục 1.1-1.3 trình bày một số kiến thức bổ trợ: biến đổi Fouriercủa hàm cơ bản giảm nhanh và hàm suy rộng tăng chậm, các không gianSobolev cấp thực bất kỳ Mục 1.4 trình bày các không gian Sobolev vectơ

H~(R), H~◦(Ω), H~◦,◦(Ω), H~(Ω) Chứng minh sự đẳng cấu giữa không gian

H−~s(R) với không gian (H~(R))∗ là không gian đối ngẫu của H~

(R)( Định lý 1.8) Tương tự, chứng minh định lý về dạng tổng quát của phiếmhàm tuyến tính liên tục trên không gian H~

◦(Ω) (Định lý 1.9)

Mục 1.5 dành cho việc nghiên cứu toán tử giả vi phân vectơ dạng(Au)(x) := F−1[A(ξ)bu(ξ)](x) Ma trận A(ξ) được gọi là biểu trưng(symbol) của toán tử giả vi phân A Dựa trên nhiều bài toán cụ thể, chúngtôi đã định nghĩa các lớp của biểu trưng: Σα ~

(R), Σ~α+(R), Σ~α◦(R) ( Định nghĩa1.11)

Mục 1.6 dành cho việc nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình cặptích phân (3) với các giả thiết sau

(

A(ξ) ∈ Σ~α◦(R), A(ξ) là ma trận xác định dương với mọi ξ ∈ R,

f (x) ∈ H−~α/2(Ω), g(x) ∈ H~α/2(Ω0), (4)

ẩn hàm u(ξ)b được tìm dưới dạngu(ξ) = F [u](ξ),b trong đó u ∈ H~ α/2

(R).Chương 2 dành cho việc trình bày về một số lớp hệ phương trình cặp tíchphân của một số bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình điều hoà và song

điều hoà trong miền hình dải

Mục 2.1 xét một hệ phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng cấpmột gặp trong bài toán biên hỗn hợp thứ nhất của phương trình điều hoàtrong miền hình dải gặp trong các lớp thế vị Chứng minh các định lý tồntại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình cặp tích phân trong không gianSobolev của các hàm suy rộng (Định lý 2.1 và Định lý 2.2) (Mục 2.1.3).Trong Mục 2.1.4 sử dụng phương pháp biểu diễn các hàm um(x), m = 1, 2qua các hàm phụ trợ thích hợp

um(x) = 1

2

Z b a

vm(t)sign(x−t)dt, vm ∈ L2ρ(a, b) ⊂ H◦−1/2(a, b), m = 1, 2,

đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier này về hệ phương trình tích phân

kỳ dị nhân Cauchy.Vận dụng phương pháp đa thức trực giao để đưa hệ cácphương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy về hệ vô hạn các phương trình đại

số tuyến tính Chứng minh được Định lý 2.6 về hệ vô hạn các phương trình

đại số tuyến tính có duy nhất nghiệm thuộc không gian `2 (Mục 2.1.5).Mục 2.2 trình bày về một hệ phương trình cặp tích phân gặp trong bàitoán biên hỗn hợp đối với dải đàn hồi Bằng cách biểu diễn các đại lượngcủa chuyển vị và ứng suất qua hai hàm điều hoà, bài toán được đưa về hệphương trình cặp hai phương trình đối với vết của các chuyển vị trên biên vớibiểu trưng tăng cấp một như đối với hệ phương trình cặp đã gặp trong Mục2.1, nhưng biểu trưng thì có cấu trúc phức tạp hơn rất nhiều

Mục 2.3 dành cho việc nghiên cứu về hệ phương trình với biểu trưng giảmcấp một, trình bày về một hệ phương trình cặp tích phân gặp trong bài toánbiên hỗn hợp đối với phương trình song điều hoà

Mục 2.4 dành cho việc nghiên cứu về hệ phương trình với biểu trưng tăng-giảm cấp một, trình bày về một hệ phương trình cặp tích phân gặp trong bàitoán biên hỗn hợp thứ hai đối với phương trình điều hoà

Chương 3, chúng tôi thực hiện việc giải gần đúng hệ phương trình tíchphân kỳ dị của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier gặp trong bài toánbiên hỗn hợp thứ nhất của phương trình điều hoà trong Mục 2.1

Chương 1

Hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát

Chương này trình bày lý thuyết chung của hệ n-phương trình cặp tích phânFourier trên hệ khoảng không giao nhau của trục thực Các hệ phương trìnhnày là sự khái quát hoá của nhiều hệ phương trình cặp gặp trong các bài toánbiên hỗn hợp của vật lý toán, một số các bài toán đó sẽ được trình bày trongChương 2

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về biến đổi Fouriercủa các hàm cơ bản giảm nhanh S

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về biến đổi Fouriercủa các hàm suy rộng tăng chậm S0

1.4 Các không gian Sobolev vectơ

1.4.1 Khái niệm

Giả sử X là không gian tô pô tuyến tính Ta ký hiệu tích trực tiếp của nkhông gian X là Xn Tô pô trong Xn là tô pô thông thường của tích trựctiếp Ta dùng chữ in đậm để ký hiệu hàm vectơ và ma trận Ký hiệu u làvectơ có dạng u = (u1, u2, , un), và

Sn = S ì S ì S, S0n = S0 ì S0 ì S0.Cho vectơ hàm u, v ∈ (S0)n Giả sử Hsj

(R), Hsj

◦ (Ω), Hsj

◦,◦(Ω), Hsj(Ω) làcác không gian Sobolev, trong đó j = 1, 2, , n; Ω là một tập mở trong R

◦ (Ω).Chuẩn trong H~(Ω) được xác định bởi công thức

(R))∗ là không gian đối ngẫu của không gian

H~(R) Khi đó (H~(R))∗ đẳng cấu với H−~s

(R) Ngoài ra giá trị của phiếmhàm f ∈ H−~s

Định nghĩa 1.10 Giả sử A(ξ) ∈ Σα ~

(R), u ∈ H~, u(ξ) = F [u](ξ).b Toán tử

Định nghĩa 1.11 Giả sử A(ξ) = ||aij(ξ)||nìn, ξ ∈ R là ma trận vuôngcấp n, trong đó aij(ξ) là hàm số liên tục trên R, αj ∈ R, (i = 1, 2, , n),

trong đó C1 là hằng số dương và w là liên hợp phức của w Cuối cùng, matrận A(ξ) ∈ Σα ~

(R) thuộc vào lớp Σα◦~(R), nếuRewTAw ≥ 0, w = (w1, w2, , wn)T ∈ Cn, (1.8)ngoài ra, RewTAw = 0 chỉ có thể tại một số điểm hữu hạn của trục thực.1.5.2 Chuẩn và tích vô hướng tương đương

Mệnh đề 1.5 Giả sử ma trận A(ξ) = A+(ξ) thuộc vào lớp Σ~ α

+(R) Khi đótích vô hướng và chuẩn trong Hα/2 ~

(R) được xác định bởi các công thức :(u, v)A+,~α/2 =

= (bu1(ξ),ub2(ξ), ,ubn(ξ))T là hàm vectơ cần tìm, f(x) = (f1(x), f2(x), ,

fn(x))T ∈ (D0(Ω))n, g(x) = (g1(x), g2(x), , gn(x))T ∈ (D0(Ω0))n là

những hàm vectơ cột xác định trên Ω và Ω0 tương ứng, A(ξ) = ||aij(ξ)||nìn

là ma trận vuông cấp n và được gọi là biểu trưng của hệ phương trình cặp(1.11); p và p0 lần lượt là các toán tử hạn chế trên Ω và Ω0 tương ứng

Chúng ta xét hệ phương trình cặp (1.11) với các điều kiện sau

pF−1[A(ξ)v(ξ)](x) = f (x) − pFb −1[A(ξ) c`0g(ξ)](x), x ∈ Ω, (1.13)trong đó v = F−1[ˆv] ∈ H~α/2◦ (Ω) thoả mãn

v + `0g = u ∈ Hα/2~ (R) (1.14)(`0g là một thác triển tuỳ ý của hàm vectơ g từ Ω0 vào R)

Biểu diễn h(x) = f(x) − pF−1[A(ξ) c`0g(ξ)](x), ta viết (1.13) dưới dạngsau

(Av)(x) = h(x), x ∈ Ω (1.15)

Trường hợp A(ξ) ∈ Σ ~ α

+ (R)

Định lý 1.11 (Sự tồn tại nghiệm) Giả sử h ∈ H−~ α/2(Ω), A(ξ) = A+(ξ) ∈

Σα~+(R) Khi đó hệ phương trình cặp (1.15) có duy nhất nghiệm v ∈ H~α/2◦ (Ω)

Ta có kết quả sau

||u||A,~α/2 ≤ C(||f ||H−~ α/2 (Ω) + ||g||H~ α/2 (Ω 0 )), (1.16)trong đó C là hằng số dương nào đó

Định lý 1.12 (Sự tồn tại nghiệm) Giả sử A(ξ) ∈ Σ~ α/2

+ (R), f ∈ H−~α/2(Ω),

g ∈ H−~α/2(Ω0) Khi đó hệ phương trình cặp (1.11) có duy nhất nghiệm

u = F−1[ˆu] ∈ H~α/2(R) thoả mãn ước lượng (1.16)

Định lý 1.13 (Sự tồn tại nghiệm) Giả sử Ω là tập bị chặn trong R Nếucác hàm vectơ f ∈ H−~ α/2

(Ω), g ∈ H~α/2(Ω0) và các điều kiện (1.12) và(1.17) được thoả mãn thì hệ phương trình cặp (1.11) có duy nhất nghiệm

u = F−1[ˆu] ∈ H~α/2(R)

• Kết luận Chương 1

Kết quả trong Chương 1 bao gồm:

- Xây dựng một số không gian Sobolev vectơ H~

(R), H~◦(Ω), H~◦,◦(Ω),

H~(Ω) Chứng minh sự đẳng cấu giữa không gian H−~s

(R) với không gian(H~(R))∗ là không gian đối ngẫu của H~

(R) (Định lý 1.8) Chứng minh vềdạng tổng quát của phiếm hàm tuyến liên tục trên không gian H~

◦(Ω) (Định

lý 1.9)

- Đưa ra định nghĩa về toán tử giả vi phân vectơ dạng (Au)(x) :=

F−1[A(ξ)u(ξ)](x).b Định nghĩa các lớp của biểu trưng: Σ~ α

(R), Σ~α+(R), Σ~α◦(R)

- Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình cặp tíchphân Fourier tổng quát trong những không gian hàm thích hợp

Chương 2

Hệ phương trình cặp của một số bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình điều hoà và song điều hoà trong miền hình dải

Trong chương này, chúng tôi xét một số bài toán biên hỗn hợp của phươngtrình điều hoà và song điều hoà trong miền hình dải Bằng cách sử dụng biến

đổi tích phân Fourier theo biến x, các bài toán biên hỗn hợp được đưa về

hệ các phương trình cặp tích phân Fourier tương ứng Chương này tổng hợpcác kết quả được chúng tôi công bố trên các tạp chí Tạp chí Khoa học vàCông nghệ, Đại học Thái nguyên, Vietnam Journal of Mathematics, ActaMathematica Vietnamica và trong kỷ yếu Hội thảo quốc tế "Based on theselected lectures of the 17th International Conference on Finite and InfiniteDimensional Complex Analysis and Applications"

Trong mục này, xét một hệ phương trình cặp với biểu trưng tăng cấp mộtgặp trong bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hoà trong miền hìnhdải

2.1.1 Phát biểu bài toán

Xét bài toán sau: Tìm nghiệm của phương trình điều hoà

với điều kiện biên

(2.2)trong đó f1, f2 là các hàm đã cho

2.1.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân

Ta sẽ giải bài toán (2.1)-(2.2) bằng phương pháp biến đổi Fourier Ta biến

đổi về hệ phương trình cặp tích phân đối với các ẩn hàm ub1(ξ), ub2(ξ) :

(

F−1[A(ξ)u(ξ)](x) = f (x),b x ∈ (a, b),

F−1[u(ξ)](x) = 0,b x ∈ R \ (a, b), (2.3)trong đó f(x) = (f1(x), f2(x))T, bu(ξ) = F [u](ξ) = (F [u1(x)], F [u2(x)])T(ξ),

sinh(|ξ|h)

− |ξ|

sinh(|ξ|h)

|ξ| cosh(|ξ|h)sinh(|ξ|h)









Đặt ~α = (1, 1)T

Định lý 2.1 (Sự duy nhất nghiệm) Giả sử f ∈ H−~ α/2(a, b) Khi đó nghiệm

u ∈ H~α/2◦ (a, b) của hệ phương trình (2.4) nếu tồn tại, là duy nhất

Định lý 2.2 (Sự tồn tại nghiệm) Nếu f ∈ H−~ α/2(a, b) thì hệ phương trình(2.4) có duy nhất nghiệm u ∈ H~ α/2

◦ (a, b)

2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích phân

kỳ dị nhân Cauchy

Định lý 2.4 Hệ phương trình cặp tích phân (2.3) đối với (bu1(ξ), ub2(ξ))tương đương với hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy sau đây trên(a, b) :

v1(t)`11(x − t)dt +

Z b a

v2(t)`12(x − t)dt = −if1(x),1

v1(t)`21(x − t)dt +

Z b a

v2(t)`22(x − t)dt = −if2(x),

vm(t) ∈ L2ρ(a, b), m = 1, 2; a < x < b,

(2.5)với điều kiện vm ∈ O1(a, b), nghĩa là

Z b a

vm(x)dx = 0, (m = 1, 2), (2.6)trong đó

um(x) = 1

2

Z b a

vm(t)sign(x − t)dt, x ∈ R, (m = 1, 2), (2.7)

`11(x) = `22(x) = −i

π

Z ∞ 0

e−ξhsinh(ξh) sin(ξx)dξ,

`12(x) = `21(x) = i

π

Z ∞ 0

sin(ξx)sinh(ξh)dξ.

vị thứ tự lấy tích phân và tổng, sử dụng tính chất trực giao của đa thứcChebuyshev Uj ta thu được hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính

Tj[η(t)]

ρ(t) lmk(x − t)dt, (2.9)

Fn(m) = −i

Z b a

Định lý 2.6 Giả sử f1(x)và f2(x)là các hàm đã cho, giả thiết rằng {En}∞n=1

được xác định bởi (2.10), (2.11) thuộc `2.Khi đó hệ vô hạn các phương trình

đại số tuyến tính (2.14) có duy nhất nghiệm {Xn}∞n=1 ∈ `2 Hệ phương trìnhnày là hệ phương trình tựa hoàn toàn chính qui

2.2.1 Phát biểu bài toán

Xét bài toán biên hỗn hợp sau đây: Tìm hai hàm điều hoà Φ(x, y) vàΨ(x, y) thoả mãn hai phương trình điều hoà

vị, σy(x, y), τxy(x, y) là ứng suất tiếp tuyến, à là môđun biến dạng rắn, ν là

đã biết phụ thuộc tuyến tính vào biến đổi Fourier của các hàm τ0(x) và σ0(x)

trong đó p và p0 là các toán tử hạn chế tương ứng trên (a, b) và R \ (a, b).

Định lý 2.7 (Sự duy nhất nghiệm) Giả sử f ∈ H−~ α/2(a, b) Khi đó nghiệm

u ∈ H~α/2◦ (a, b) của hệ phương trình (2.19) nếu tồn tại, là duy nhất

Định lý 2.8 (Sự tồn tại nghiệm) Giả sử các hàm số τ0(x) và σ0(x) được chotrước sao cho hàm f(x) = (f1(x), f2(x))T thuộc vào không gian H−~ α/2(a, b),

Mục này trình bày tương tự như Mục 2.1.5

Trong mục này, xét một hệ phương trình cặp với biểu trưng giảm cấp mộtgặp trong bài toán biên hỗn hợp của phương trình song điều hoà trong miềnhình dải

2.3.1 Phát biểu bài toán

Xét bài toán biên hỗn hợp sau đây: Tìm hàm Φ(x, y) thoả mãn phươngtrình song điều hoà

Φ

y=0 = r1(x), x ∈ R, Φ

y=h = r2(x), x ∈ R, (2.21)

y=h = f2(x), x ∈ (−a, a),

M [Φ]

y=h = 0, x ∈ R \ (−a, a),

(2.22)trong đó

Ta biến đổi về hệ phương trình cặp tích phân đối với các ẩn hàmub1(ξ),bu2(ξ) :

(

F−1[A(ξ)bu(ξ)](x) = ef (x), x ∈ (−a, a),

F−1[u(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (−a, a),b (2.24)trong đó u1(x) = M [Φ](x, 0), u2(x) = M [Φ](x, h), u(ξ) = F [u(x)](ξ),b

ef (x) = ( ef1(x), ef2(x))T,

e

f1(x) = −f1(x) − F−1[a1(ξ)br1(ξ)](x) + F−1[a2(ξ)br2(ξ)](x), (2.25)e

f2(x) = f2(x) + F−1[a2(ξ)br1(ξ)](x) − F−1[a1(ξ)br2(ξ)](x), (2.26)A(ξ) =

2.3.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.24)

Hệ phương trình cặp tích phân (2.24) được viết lại dưới dạng

(

pF−1[A(ξ)bu(ξ)](x) = ef (x), x ∈ (−a, a),

p0u := p0F−1[u(ξ)](x) = 0,b x ∈ R \ (−a, a) (2.27)trong đó p và p0 là các toán tử hạn chế tương ứng trên (−a, a) và R\(−a, a)

Ta có các khẳng định sau

r1(x) và r2(x) ∈ H32(R), f1(x) và f2(x) ∈ H12(−a, a), (2.28)

ef (x) ∈ H−~α/2(−a, a), ~α = (−1, −1)T (2.29)

2.3.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.24)

Hệ phương trình cặp tích phân (2.24) viết lại dạng

(

pF−1[A(ξ)bu(ξ)](x)... [Φ]

y=h = 0, x ∈ R \ (−a, a),

(2.22)trong

Ta biến đổi hệ phương trình cặp tích phân ẩn hàmub1(ξ),bu2(ξ) :

(

F−1[A(ξ)bu(ξ)](x)... p0F−1[u(ξ)](x) = 0,b x ∈ R \ (−a, a) (2.27)trong p p0 toán tử hạn chế tương ứng (−a, a) R\(−a, a)

Ta có khẳng định sau

r1(x) r2(x)