34 ĐAHS đường trung tuyến (b2)

Ta cần đi chứng minh hai trung tuyến BM = CN.. Chứng minh rằng ABC vuông tại A.. Bài 3: Chứng minh rằng: Trong một tam giác đều cạnh bằng a, độ dài ba đường trung tuyến bằng nhau và bằ

Các hướng dẫn ở đây chỉ mang tính gợi ý rút gọn, không phải là bài trình bày mẫu Trong trường hợp các em đã suy nghĩ rất nhiều mà chưa ra cách giải thì được phép xem hướng dẫn để suy nghĩ tiếp Sau khi đã xem gợi ý mà các em vẫn còn gặp khó khăn thì lên lớp để hỏi các thầy cô

Hình học lớp 7 CB Bài 34: Đường trung tuyến (b2)

Bài 1: Cho ΔABC cân tại A, trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G Chứng minh BM = CN.

Hướng dẫn:

Giả sử ABC cân tại A.

Ta cần đi chứng minh hai trung tuyến BM = CN

Thật vậy, xét ABM và CAN , ta có:

AB = AC ( ABC cân tại A);

�

A chung;

Bài 2: Cho ABC , trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC Chứng minh rằng ABC vuông tại A.

Hướng dẫn:

Ta có AM =

1

2 BC � AM = MB = MC

∆AMB cân tại M � �MAB MBA� (1)

∆AMC cân tại M �MAC MCA� � (2)

Từ (1) và (2) suy ra BAC MAB MAC MBA MCA� � � � �

Mà BAC MBA MCA 180� � �  0

Do đó BAC 90�  0

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Bài 3: Chứng minh rằng: Trong một tam giác đều cạnh bằng a, độ dài ba đường trung tuyến bằng nhau và

bằng

a 3

2

Hướng dẫn:

Giả sử ABC đều có các trung tuyến AM, BN, CP Khi đó:

Do ABC cân tại A nên BN = CP và AMBC

Do ABC cân tại B nên AM = CP.

Suy ra AM = BN = CP

Xét MBA vuông tại M, ta có:

(vì ABC đều)

� �

Vậy ABC đều cạnh bằng a ta có

a 3

AM BN CP

2

Bài 4: Chứng minh rằng trong một tam giác, trung tuyến ứng với cạnh lớn thì nhỏ hơn trung tuyến ứng với

cạnh nhỏ

Hướng dẫn:

Xét ABC các đường trung tuyến AM, BN, CP, trọng tâm G Giả sử AB < AC ta cần đi chứng minh CP >

BN Thật vậy:

Xét ABM và ACM , ta có:

MB = MC, vì M là trung điểm BC; GM chung; AB < AC

Do đó M�1M�2

Xét GBM và GCM , ta có:

MB = MC, vì M là trung điểm BC; GM chung; M�1M�2

Do đó

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A Từ A hạ AH  BC Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho HM = HA.

Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = BC

a) Chứng minh C là trọng tâm của tam giác AMN

b) AC cắt MN tại I chứng minh HI // AN

Hướng dẫn:

a) Xét ∆ABH và ∆ACH vuông tại H, có:

AB = AC; B C� � (tính chất tam giác cân)

Vậy ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra BH = CH

Xét ∆ANM có HN là trung tuyến, mà BC = CN (gt); BH = HC (cmt)

Suy ra HC =

1

2 CN � CN = 2HC � CN =

2

3 HN Vậy C là trọng tâm của tam giác ANM

b) Khi đó AC cũng là trung tuyến thuộc cạnh MN nên MI = IN (1)

Ta dễ dàng chứng minh được ∆AHN = ∆MHN (hai cạnh góc vuông)

�1 �2

N N

Trong tam giác MHN vuông tại H, có MI = IN (theo (1))

Vậy HI là trung tuyến thuộc cạnh huyền nên HI =

1

2 MN � HI = IN Suy ra tam giác HIN cân tại I �H�1N�2 (tính chất tam giác cân) (3)

Từ (2) và (3) ta có �N1H�1

Vậy HI // AN (có hai góc so le trong bằng nhau)

Hướng dẫn:

a) Kẻ trung tuyến AM và trên AM lấy AG =

2

3 AM

Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC Ta sẽ chứng minh G cũng là trọng tâm của tam giác AEF

Thật vậy, AM là trung tuyến của ∆ABC nên BM = MC (1)

Theo giả thiết BE = CF (2)

Từ (1) và (2) ta có BM + BE = MC + CF hay ME = MF

Vậy AM cũng là trung tuyến thuộc cạnh EF của ∆AEF, mà AG =

2 3

AM, hay G cũng là trọng tâm của ∆AEF

b) Xét ∆GHI và ∆GMN, có HG =

1

2 AG

Mà AG =

2

3 AM, vậy HG =

1

2

2

3 AM =

1

3 AM (3)

GM =

1

3 AM, vậy GM = HG

Ta có G là trọng tâm của tam giác AEF nên EN là trung tuyến, vậy GN =

1

3 EN (4)

IG =

1

2 EG, vậy IG =

1

2

2

3 EN =

1

3 EN (5)

Từ (4) và (5) suy ra GN = IG

Vì HGI MGN� � (đối đỉnh) vậy ∆GHI = ∆GMN (c.g.c) suy ra:

HI = MN (cạnh tương ứng)

�1 �1

H M (góc tương ứng) mà hai góc ở vị trí so le trong nên HI // MN.

Bài 6*: Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BC lấy điểm E và trên tia đối của CB lấy điểm F

sao cho BE = CF

a) Chứng minh ∆ABC và ∆AEF có cùng trọng tâm G

b) Nối AG cắt BC tại M Lấy H là trung điểm của đoạn AG Nối EG cắt AF tại N và lấy

I là trung điểm của đoạn EG Chứng minh IH // MN và IH = MN