đôi luc vai tro cua ỔkỖ trong viêc giai PTLG rât quan trong.Viêc xet ựiêu kiên ỔkỖ co thê ựưa ựên môt sô PTLG kha hay liên quan ựên viêc giai môt sô bai toan ựai sô, sô hoc nho ma ta se
Trang 1PH PHẦN I: LƯỢNG GIÁC ẦN I: LƯỢNG GIÁC ẦN I: LƯỢNG GIÁC
-
CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (PTLG)
BÀI 1: CAC KHAI NIÊM CƠ BAN
I PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (PTCB):
Trong lượng giác có 3 phương trình cơ bản Dù cơ bản (chính vì cơ bản nên nó mới có tên như vậy) nhưng cũng phải nêu ra ñây bởi vì các PTLG khác nếu giải ñược cũng phải ñưa về một trong 3 PTCB sau ñây:
1 sinx =α với α 1≤ , có nghiệm là:
arcsin α 2 arcsin α +k2
x
π
2 cosx =α với α ≤ , có nghiệm là: 1
arc cos α+k2
x= ± π (k ∈Z )
3 tgx =α có nghiệm là:
arc α
x= tg +kπ (k ∈Z ) (hay là cotgx =α có nghiệm là:
arc cot α
x= g +kπ) (k ∈Z )
Chu y: Trong cac PTCB trên ta ña co sư dung ñên cac ham sô lương giac ngươc:
1 Ham y=arcsinx:
Miên xac ñinh: D = −[ 1,1]
;
sin
y
y x
π π
∈ −
2 Ham y=arccosx:
Miên xac ñinh: D = −[ 1,1] arc cos
cos
y
y x
π
∈
⇔
=
3 Ham y=arctgx:
Miên xac ñinh: D =R
;
y tgx
tgy x
π π
∈ −
4 Ham y=arc cotgx:
Miên xac ñinh: D=R
(0; ) arc cot gx
cot
y y
gy x
π
∈
=
Trang 2Ta xet môt sô bài toán sau:
Bài toán 1: Giai phương trinh sau:
cos 3 sinπ x =cos πsinx
Giai
cos 3 sinπ x =cos πsinx
⇔
x k
x k
=
⇔
=
sin sin 2
x k k x
=
Do
k x
∈
≤
1 2
k k
⇔
≤
2
k
⇔ ≤ ⇔k∈{0; 1; 2ổ ổ }
1 sin
2
x x x
=
sin 2 0 1 sin 2 1 sin
2
x x x
2 2 6 5 2 6 7 2 6
l x
π
π π π π π π
=
= ổ +
⇔
2 6
l x
π
π π
=
⇔
= ổ +
(l , k ∈ Z )
Vây nghiêm cua phương trinh ựa cho la
6
l x
π
π π
=
= ổ +
( l , k ∈ Z )
Nhân xet: đây la môt PTLG ma viêc giai no rât ựơn gian, mâu chôt cua bai nay la vi tri quan
trong cua ỔkỖ đôi luc vai tro cua ỔkỖ trong viêc giai PTLG rât quan trong.Viêc xet ựiêu kiên
ỔkỖ co thê ựưa ựên môt sô PTLG kha hay liên quan ựên viêc giai môt sô bai toan ựai sô, sô hoc nho ma ta se găp ơ môt sô bài toán sau:
Bài toán 2:
(đH Tông hơp Lômônôxôp khoa Tinh Toan va điêu Khiên 1979-đHSPII 2000)
Tim tât ca cac nghiêm nguyên cua phương trinh sau:
π
Giai
Trang 3Gia sư x la sô nguyên thoa man phương trinh, khi ño ta co:
π
π
π
2
2 2
⇔
2
k x
k
=
+
25
k
⇔
+
( )1
25
3k 5
+ Z , suy ra :k ∈{0;-2;-10} ( )2
Tư ( )2 , băng cach thư trưc tiêp vao( )1 ta ñươc:
2 7 10 31
k x k x
= −
= −
= −
= −
Nhân xet: ðây la môt PTLG cơ ban, viêc giai no thât ra la giai môt phương trinh nghiêm
nguyên hai ân ma ta se ñê câp ñên môt cach cu thê ơ phân sau.Bai toan nay chi nhăm muc ñich minh hoa cho vai tro cua ‘k’
Bài toán 3 : Tim sô a>0 nho nhât thoa man:
2
Giai
2
π
( 2 ) ( 2)
sinπ a 2a sin πa
⇔
a k
⇔
Z
( )*
Do
( )*
>0
a k
2
Mina= −
Nhân xet: Bai toan nay 2 mâu chôt quan trong:
Trang 4-Thư nhât: ta ña sư dung công thưc cơ ban nhưng lơi hai nhât la ñôi vơi cac bai toan co dang sina+cosb:
sin cos
2
x π x
-Thư hai: tim gia tri nho nhât co thê co cua biên a
Bài toán 4: Tim nghiêm dương nho nhât cua phương trinh:
sin πx =sinπ x+1
Giai
sin πx =sinπ x+1
2 2
2 2
⇔
( k ∈ Z )
2
2 0
k x
x x k
+
= −
⇔
( k ∈ Z ) k ∈ Z
( )+ Xet 2 1>0
2
k
x= − + , k ∈ Z suy ra: , ta ñươc 1
2
x = la nghiêm dương nho nhât
( )+ Xet phương trinh 2
0
x +x−k= ( )* co:
∆ 1 4= + k≥0
1 4
k k
≥ −
⇔
∈
⇒ ≥ k 0
Thư trưc tiêp ta thây khi k =1 thi phương trinh ( )* co nghiêm nho nhât la:
-1+ 5 1
x = >
2 2(loai) Vây nghiêm dương nho nhât cua phương trinh ña cho la: 1
2
x =
Bài toán 5: Tinh tông cac nghiêm x ∈[0,100] cua phương trinh sau:
2 2
cos 2 cos
x tg x x
Giai
ðiêu kiên: 2
cos x ≠0
2
x π kπ
⇔ ≠ + (k ∈Z ) Vơi ñiêu kiên trên phương trinh:
2 2
1
cos
x
cosx cos 2x
2 2 3
x k k x
π π
=
⇔ =
3
k
Trang 5Do 0≤x≤100nên0 100 50 47
2
k
≤ ≤ = =
47.2
48 0
3 2
S
π
+
Nhân xet: Bài toán nay ngoai viêc cho ta thây vai tro cua ỔkỖ con chi ro môt vân ựê: tâm quan
trong cua viêc kêt hơp nghiêm Thư hinh dung, nêu ta không kêt hơp nghiêm lai dươi dang công thưc (*) ựon gian hơn thi ta phai tiên hanh xet 2 bât phương trinh sau:
0≤k2π ≤100; 0 2 100
3
k π
Như vây ta phai tôn thơi gian hơn, qua trinh giai bai toan se bi keo dai môt cach không cân thiêt
II KÊT HƠP CÔNG THƯC NGHIÊM:
Kêt hơp công thưc nghiêm trong cac PTLG chăng nhưng giup cho ta co thê loai ựươc nghiêm ngoai lai ma con co thê co ựươc môt công thưc nghiêm ựơn gian hơn, tư ựo viêc giai quyêt bai toan trơ nên ựơn gian hơn (giông như bài toán ma ta vưa xet ơ trên) đôi luc viêc kêt hơp công thưc nghiêm cung tương tư như viêc giai môt hê phương trinh lương giac cơ ban băng phương phap thê Ơ ựây ta không ựê căp ựên phương phap nay ma ta chi noi ựên hai phương phap chu yêu sau:
A đƯƠNG TRON LƯƠNG GIAC:
1.Cac khai niêm cơ ban:
a) đương tron lương giac: la ựương tron co ban kinh ựơn vi R = 1 va trên ựo ta ựa chon môt
chiêu dương ( )+ (thông thương chiêu dương la chiêu ngươc chiêu kim ựông hô)
b) Cung lương giac: AB (vơi A, B la 2 ựiêm trên ựương tron lương giac) la cung vach bơi
ựiêm M di chuyên trên ựương tron lương giac theo môt chiêu nhât ựinh tư A ựên B
c) Goc lương giac: khac vơi goc binh thương goc lương giac co môt chiêu nhât ựinh
a) Biêu diên cac ựiêm ngon cua cung lương giac biêt sô ựo co dang α + kπ:
Ta ựưa sô ựo vê dang α k2
m
π
Bai toan co m ngon cung phân biêt tương ưng vơi k tư 0 ựên (m-1 )
Bài toán 1: Trên ựương tron lương giac, ta lây ựiêm A lam gôc
đinh nhưng ựiêm M biêt sự
AB=π +kπ
Giai
AB=π +kπ =π +k π Suy ra co 4 ựiêm ngon cung phân biêt ưng vơi:
Trang 6( )+ 1: 3
4
k = AM= π
( )+ 2 : 5
4
k= AM = π
( )+ 3 : 7
4
k = AM = π đê y ta thây răng trên ựương trong lương giac cac ựiêm ngon cung la ựinh cua hinh vuông
M M M M
Nhân xet: Trên ựương tron lương giac cac ựiêm ngon cung la ựinh cua môt ựa giac ựêu m
canh
b) Biêu diên goc (cung) dươi dang công thưc tông quat:
Ta biêu diên tưng goc (cung) trên ựương tron lương giac Tư ựo suy ra công thưc tông quat
Bài toán 2: Biêu diên goc lương giac co sô ựo sau dươi dang môt công thưc tông quat:
3
x k
π π π
=
= ổ +
Giai
Ta biêu diên cac ựiêm ngon cung cua 2
2
x=kπ =k π
k = x= 1:
k = x=π
Ta biêu diên cac ựiêm ngon cung cua
3
x= ổπ +kπ
0 :
3
k = x= ổπ
4 1:
3
k= x= ổ π Trên ựương tron lương giac, ta nhân thây co 6 ựiêm ngon cung phân biêt, Do ựo công thưc tông quat la: 2
x= π = π
Nhân xet: Qua bài toán nay ta thây ro vai tro cua viêc kêt hơp cac goc lương giac dươi dang
môt công thưc tông quat ựơn gian hơn Hơn nưa, ựây con la bài toán vê viêc giai hê phương trinh lương giac cơ ban băng phương phap biêu diên trên ựương tron lương giac.
Bai toan giai PTLG dung phương phap kêt hơp nghiêm băng ựương tron lương giac ựê loai cac nghiêm ngoai lai
4
k= AM =π
Trang 7Bài toán 1: Giai phương trinh:
2
sin (sin cos ) 1
0
=
Giai
ðiêu kiên: 2
cos x+sinx− ≠1 0 ⇔sinx+sin2x≠0
x x
≠
⇔
≠
2
x k
π π π
≠
⇔
Vơi ñiêu kiên ño phương trinh tương ñương:
sinx cosx+sinx − =1 0 ⇔sin2x+sin cosx x− =1 0 ⇔ cos (sinx x−cos )x =0
sin cos
x
=
⇔
=
2 4
π π π π
⇔
, k ∈ Z ( )2
Kêt luân: nghiêm cua phương trinh ña cho la:
2
x=π +kπ ; 2
2
x= −π +k π,( k ∈ Z )
Nhân xet: ðây la môt bai co công thưc nghiêm ñơn gian cho phep ta co thê biêu diên môt
cach chinh xac trên ñương tron lương giac Tuy nhiên ta hay xet thêm bài toán sau ñê thây ro mau săc cua bai toan biêu diên nghiêm trên ñương tron lương giac
Bài toán 2: Giai phương trinh sau:
cos 6
x
x =
Giai
ðiêu kiên ñê phương trinh co nghia la:
cos 6x ≠0 6
2
x π kπ
k
⇔ ≠ + , k ∈ Z (1)
Vơi ñiêu kiên (1) phương trinh tương ñương:
sin 4x=cos 6x
2
x π x
2
2
π
π π π
⇔
m ∈Z
Trang 820 5
4
m x
π π
⇔
= − +
m ∈Z
So sanh cac nghiêm nay vơi ñiêu kiên ban ñâu ta ñươc nghiêm cua phương trinh la:
m
x= π + π va m≠5n+1, n ∈ Z
Nhân xet: ta nhân thấy ñôi vơi bai toan nay viêc biêu diên băng ñương tron lương giac ña
ttrơ nên kho khăn va kho chinh xac Do ño ta hay xem phương phap hai
B PHƯƠNG TRINH NGHIÊM NGUYÊN:
1 Cơ sơ cua phương phap:
Giai phương trinh bâc nhât hai ân ax by+ =c, vơi a,b,c nguyên
a) ðinh li 1: ðinh li vê sư tôn tai nghiêm nguyên
Cân va ñu ñê phương trinh ax by+ =c,vơi (a b c ∈, , Z co nghiêm nguyên la ) (a b c, ) Hê qua: Nêu (a b = thi phương trinh ax by, ) 1 + =c luôn co nghiêm nguyên
b) ðinh li 2: nêu phương trinh ax by+ =c, vơi(a b c ∈, , Z , ) a2+b2≠0,(a b =, ) 1 co
môt nghiêm riêng (x y0, 0) thi nghiêm tông quat cua phương trinh la:
0 0
x x bt
y y at
, vơi t ∈ Z
Vi du: phương trinh 3x+2y=1 co nghiêm riêng la (1, 1− ) va nghiêm tông quat la:
1 2
1 3
= +
= − −
, vơi t ∈ Z
c) Vi du: giai va biên luân phương trinh nghiêm nguyên sau theo tham sô m nguyên
6x−11y=m+2 (1)
Ta co (6,11)= nên phương trinh (1) luôn co nghiêm nguyên 1
Phương trinh (1) co nghiêm riêng la (2m+4,m+2) nên co nghiêm tông quat:
2 6
2 Vi du: Ta xet môt sô bai toan dung phương trinh nghiêm nguyên ñê kêt hơp nghiêm
hay giai hê phương trinh hê qua cua PTLG
Bài toán 1: Giai phương trinh : 2tg xtg x =7 1
Giai
ðiêu kiên:
Trang 92 2 7 2
π π π π
( ) ( )
1
2
k x
k x
⇔
, k ∈ Z
Vơi ựiêu kiên trên phương trinh tương ựương:
sin 2 sin 7x x=cos 2 cos 7x x
cos 9x 0
2
x π mπ
m
⇔ = + , (3) m ∈ Z
Ta xet xem nghiêm cua (3) co thoa ựiêu kiên (1), (2) hay không:
Ớ Xet ựiêu kiên (1):
Ta giai phương trinh nghiêm nguyên sau:
m k
+ = + ⇔4m−18k =7 Dê dang nhân thây phương trinh trên co (4,18)=2 không phai la ươc cua 7 nên phương trinh nghiêm nguyên vô nghiêm
Vây nghiêm (3) luôn thoa man (1)
Ớ Xet ựiêu kiên (2):
Ta giai phương trinh nghiêm nguyên sau:
⇔7 14+ m=9 18+ k
⇔7m−9k=1 co nghiêm riêng tông quat la:
4 9
3 7
= +
, t ∈ Z
Do vây nghiêm cua phương trinh ựa cho la:
m
x= π + π , vơi m∈ Zva m≠9t+4,n∈Z
Nhân xet: đôi vơi bai toan nay ta nhân thây công thưc nghiêm cua no kha phưc tap, viêc biêu
diên trên ựương tron kho ựươc chinh xac Cho nên ta dung phương trinh nghiêm nguyên se chinh xac va dê dang hơn Quay trơ lai bài toán2 ơ muc trên ta thây nêu dung phương trinh vô ựinh thi bai toan se nhanh hơn
Bài toán 2: Giai hê phương trinh cơ ban sau:
cos 2 1
x x
=
=
Giai
cos 2 1
x
x
=
=
4 (1)
2 (2)
x k
k l
x l
π π
=
=
đê giai hê phương trinh nay ta giai phương trinh nghiêm nguyên:
Trang 104kπ =2lπ 1 ,
2
t
l t
= +
=
Vây nghiêm cua hê ña cho la: x= 4tπ vơi t ∈ Z
Nhân xet: Co thê ta cho răng bài toán nay cưc ki ñơn gian nhưng no rât quan trong Co môt
sai lâm thương găp vô cung nguy hiêm: khi nhin vao hê phương trinh ñơn gian nay ta nghi ngay ñên ñương tron lương giac -“cưc ki cưc ki nguy hiêm” Bơi vi ñương tron lương giac co chu ki la 2π trong khi ño (1) co chu ki la 4π va (2) co chu ki la 2π Ta không thê sư dung ñương tron lương giac trong trương hơp nay
Chu y :Ta chi dung ñương tron lương giac khi sô ño goc lương giac ño co dang:
m
π α
m
π α
(do ñương tron lương giac co chu ki 2π )