Phương trình vi phân cấp 1

Bradley, Calculus, McGrall-Hill, 2004... 2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng dy dx + pxy = qx 2 trong đó px, qx là các h

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TUYẾN TÍNH CẤP 1

Phạm Đình Đồng Ngày 08 tháng 08 năm 2008

Tài liệu

[1] Laurence D Hoffmann, Gerald L Bradley, Calculus, McGrall-Hill, 2004

[2] Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần 2, Giải tích toán học), NXB Thống kê, 2004

1 Phương trình tách biến

Phương trình dạng

p(x)dx + q(y)dy = 0 (1)

gọi là phương trình tách biến

Cách giải: Lấy tích phân hai vế phương trình (1) ta được tích phân tổng quát

Z p(x)dx +

Z q(y)dy = C

Ví dụ 1 Giải phương trình

xdx

√

1 − x2 + pydy

1 − y2 = 0 Giải Lấy tích phân hai vế ta được

p

1 − x2 +p1 − y2 = C

Ví dụ 2 Giải phương trình

dy

y ln y =

dx sin x

Giải Lấy tích phân hai vế của phương trình ta được

ln | ln y| = ln |tgx

2| + C

Phương trình đưa về dạng tách biến

M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy = 0 Cách giải: Chia hai vế của phương trình cho M2(y)N1(x) ta có

M1(x)

N1(x)dx +

N2(y)

M2(y)dy = 0 Trong quá trình biến đổi ta có thể để mất các nghiệm dạng: x = x0, y = y0 trong đó x là nghiệm của phương trình N (x) = 0, y là nghiệm của

Ví dụ 3 Giải phương trình

xp1 − y2dx + yp1 − x2dy = 0 Giải Chia hai vế của phương trình cho √

1 − x2p1 − y2 Các nghiệm để mất trong quá trình biến đổi là: x = ±1 (xem x là hàm của y); y = ±1 (xem y là hàm của x)

2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng

dy

dx + p(x)y = q(x) (2)

trong đó p(x), q(x) là các hàm số liên tục cho trước

Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất là phương trình có dạng

dy

dx + p(x)y = 0 (q(x) = 0) (3)

Cách giải phương trình thuần nhất

• Rõ ràng y = 0 là một nghiệm của phương trình (3)

• Ta tìm y 6= 0 Ta đưa về dạng tách biến dy

y = −p(x)dx Từ đây ta

có ln |y| = −R p(x)dx + C1 hay

y = C.e−R p(x)dx (4) trong đó C = ±eC1 6= 0

Ta thấy nghiệm y = 0 có thể thu được từ biểu thức (4) với C = 0 nên

ta suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là

y = C.e−R p(x)dx trong đó C là hằng số tuỳ ý

2.2 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng

Bước 2: Dùng phương pháp biến thiên hằng số

Trong (4) xem C như là hàm số của x, C = C(x), tức là ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng y = C(x).e−R p(x)dx

Thay vào (2) ta có

C(x) =

Z q(x).eR p(x)dxdx + C

Vậy nghiệm tổng quát của (2) là

y = e−R p(x)dx

Z q(x).eR p(x)dxdx + C



(5)

Ví dụ 4 Giải phương trình

1 dydx + y = ex

2 dydx + my = n trong đó m, n là các hằng số

3 dydx + xy = x

Giải

1 Giải phương trình thuần nhất tương ứng dydx + y = 0 Phương trình này có nghiệm là y = C.e−x

Xem C = C(x), dùng phương pháp biến thiên hằng số ta có

C0(x)e−x = ex, tích phân hai vế ta có

C(x) = 1

2e

2x + C

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

y = e−x 1

2e

2x + C



2 y = n

m +

C

emx

3 y = 1 + C

2.3 Phương trình Bernoulli

Phương trình Bernoulli là phương trình dạng

dy

dx + p(x)y = y

αq(x) (6)

trong đó α 6= 0, α 6= 1

Nhận xét: y = 0 là nghiệm của (6)

Cách giải: Chia hai vế của (6) cho yα ta có

y−αy0 + p(x)y1−α = q(x)

Đặt z = y1−α ta có

z0+ (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x) Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hàm phải tìm là z

Ví dụ 5 Giải phương trình

y0− 2xy = 2x3y2 Giải Chia hai vế cho y2 ta được y−2y0− 2xy−1 = 2x3

Đặt z = y−1 ta có

z0 + 2xz = −2x3 Giải phương trình thuần nhất tương ứng ta có z = C.e−x2

Dùng phương pháp biến thiên hằng số ta được

C(x) = −

Z 2x3.ex2dx = −x2ex2 + ex2 + C

Do đó z =



−x2ex2 + ex2 + C



e−x2 Nghiệm của phương trình là

y = 1

Ce−x 2

+ 1 − x2