Sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho một lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính_2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN HẠ KIM CƯƠNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

HẠ KIM CƯƠNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN

CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH

TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

HÀ NỘI, 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

HẠ KIM CƯƠNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN

CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH

TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS ĐỖ LÂN

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn TS Đỗ Lân, người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn này Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2018

Tác giả luận văn

HẠ KIM CƯƠNG

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của thầy giáo TS Đỗ Lân, luận văn chuyên ngành toán giải tích với đề tài: "Sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho một lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính" được hoàn thành bởi

sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2018

Tác giả luận văn

HẠ KIM CƯƠNG

Mục lục

1.1 Các không gian hàm 4

1.2 Lí thuyết nửa nhóm 6

1.3 Nửa nhóm hyperbolic 7

1.4 Các định lí điểm bất động 8

1.4.1 Nguyên lí ánh xạ co 8

1.4.2 Định lí điểm bất động Schauder 9

2 Sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn 10 2.1 Đặt bài toán 10

2.2 Trường hợp tồn tại duy nhất nghiệm 12

2.3 Trường hợp tồn tại nghiệm 15

2.4 Ví dụ áp dụng 23

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tàiTrong nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi tích phân, cùng với

lí thuyết ổn định, việc tìm các lớp nghiệm đặc biệt, ví dụ như nghiệm

có tính chất tuần hoàn, đối tuần hoàn cũng là hướng nghiên cứu thuhút sự quan tâm của nhiều nhà toán học Bài toán với nghiệm đối tuầnhoàn của các hệ vi phân được sinh ra từ các bài toán vật lí, trong đó,nhiều quá trình vật lí được mô tả bởi một phương trình với nghiệm đốituần hoàn (có thể xem trong [3])

Các kết quả đầu tiên về sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho cácphương trình tiến hóa là các nghiên cứu của Okochi (xem [6, 7, 8]), từ

đó, nhiều kết quả về sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho các lớp phươngtrình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính đã được chứng minh Trongkhoảng một thập kỉ trở lại đây, cách tiếp cận thường gặp nhất khi nghiêncứu sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho các phương trình tiến hóa làcách tiếp cận của lí thuyết nửa nhóm, trong đó, nghiên cứu của tác giảLiu (xem [5]) là kết quả đầu tiên theo cách tiếp cận này Trong luận vănnày chúng tôi trình bày lại một cách hệ thống các kết quả trong bài báo[5] về chứng minh sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho lớp phương trìnhtiến hóa nửa tuyến tính dạng

u0(t) = Au(t) + f (t, u(t)), t ∈R,

u(t + T ) = −u(t),trong đó, phần tuyến tính sinh ra một nửa nhóm có tính chất lưỡngphân

2 Mục đích nghiên cứuNghiên cứu về sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho một lớp phươngtrình tiến hóa nửa tuyến tính trong không gian Banach mà nửa nhómsinh bởi toán tử đóng có tính lưỡng phân.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về lí thuyết nửa nhóm, nửa nhóm hyperbolic

- Tìm hiểu về bài toán nghiệm đối tuần hoàn

- Áp dụng lí thuyết tổng quát vào một phương trình đạo hàm riêng

cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trongkhông gian Banach

- Phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu điều kiện đủ để bài toán tồn tại vàtồn tại duy nhất nghiệm

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng cách tiếp cận của lí thuyết nửa nhóm và các nguyên lí điểmbất động

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2018

Tác giả luận văn

HẠ KIM CƯƠNG

• Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian các hàm khả tích Lebesgue bậc

p trên Ω Chuẩn trên Lp(Ω) được định nghĩa như sau:

• L2(0, π), là không gian các hàm khả tích Lebesgue bậc 2trên (0, π).Chuẩn trên L2(0, π) được định nghĩa như sau:

• L∞(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặnhầu khắp nơi trên Ω với chuẩn được xác định như sau

kukL∞ (Ω) := ess sup

x∈Ω

|u(x)|

Giả sử (X; k.kX) là một không gian Banach Trong luận văn này chúngtôi sử dụng các không gian hàm sau:

• L(X) là không gian Banach tất cả những toán tử bị chặn trên X

• C([a, b]; X) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → Xliên tục từ [a, b] vào X với chuẩn

kukC([a,b];X) = sup

ku(t)kpXdt

1 2

< +∞

• BC(R, X) là không gian Banach của tập tất cả các hàm liên tục

và bị chặn từ R vào X với chuẩn đều

kuk∞ = sup {ku(t)k : t ∈R}

• Hàm sốu ∈ BC(R, X) được gọi là thỏa mãn điều kiện T −đối tuầnhoàn nếu

u(t + T ) = −u(t), ∀t ∈ R

Kí hiệu PT A(R, X) là tập tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện đốituần hoàn, khi đó PT A(R, X) là bất biến dưới tác động của phéptịnh tiến Được trang bị chuẩn đều, PT A(R, X) trở thành khônggian con đóng của BC(R, X)

1.2 Lí thuyết nửa nhóm

Trong mục này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về lí thuyếtnửa nhóm: toán tử sinh và một số nửa nhóm đặc biệt thường gặp Cáckiến thức trong mục này chúng tôi tham khảo từ các tài liệu [1], [4]

Với X là một không gian Banach và L(X) là không gian các toán tửtuyến tính bị chặn trên X, ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1 Một họ các ánh xạ S(t) ∈ L(X), 0 ≤ t < ∞, đượcgọi là nửa nhóm các ánh xạ tuyến tính trên X nếu nó thỏa mãn:

(i) S(0) = I, I là toán tử đồng nhất trên X,(ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0.Định nghĩa 1.2 Một toán tử tuyến tính A được gọi là toán tử sinh củanửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu nó được xác định như sau:

A(x) = lim

t→0

S(t)x − x

t , ∀x ∈ D(A)trong đó D(A) là miền xác định của A:

Định nghĩa 1.3 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là C0-nửa nhóm (haynửa nhóm liên tục mạnh) nếu

lim

t→0S(t)x = x, ∀x ∈ X

Định lí sau đây cho ta một điều kiện cần để toán tử tuyến tính Asinh ra một C0-nửa nhóm

Định lý 1.1 Toán tử sinh của một C0-nửa nhóm phải là một toán tửtuyến tính đóng và xác định trù mật.

Định lý 1.2 sau đây giới thiệu một tính chất cơ bản củaC0-nửa nhóm.Định lý 1.2 Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm Khi đó tồn tại cáchằng số ω ≥ 0 và M ≥ 1 sao cho

kS(t)k ≤ M eωt, với mọi t ≥ 0.Trong trường hợp ω < 0 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là ổn địnhmũ; nếu ω ≤ 0, M = 1 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhómco

Định nghĩa 1.4 Cho{S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm trên X Nửa nhóm{S(t)}t≥0 được gọi là:

(a) nửa nhóm liên tục theo chuẩn nếu ánh xạ t 7→ S(t) liên tục tạimọi t > 0 theo chuẩn trong L(X);

(b) nửa nhóm khả vi nếu với mỗi x ∈ X thì ánh xạ t 7→ S(t)x khả

(i) Nửa nhóm {Ss(t)}t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs;(ii) Các toán tử Su(t) là khả nghịch trên Xu và Su(t)−1 t≥0 là ổnđịnh mũ đều trên Xu

Trong [1] đã chỉ ra, một nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 là perbolic nếu và chỉ nếu tồn tại phép chiếu P ∈ L(X) giao hoán với{S(t)}t≥0 sao cho Xs = RgP, Xu = KerP Hơn nữa, tồn tại các hằng

hyper-Chi tiết hơn về đặc trưng phổ của tính hyperbolic, có thể xem trong [1]

Định lý 1.3 Mỗi ánh xạ co từ không gian metric đủ (X, d) vào chính

nó đều có duy nhất một điểm bất động

1.4.2 Định lí điểm bất động Schauder

Định lý 1.4 Giả sử M là một tập lồi, compact khác rỗng của khônggian Banach X Giả sử T : M → M là ánh xạ liên tục Khi đó T cóđiểm bất động

trong đó, A là một toán tử tuyến tính đóng trên X, sinh ra nửa nhóm

S = {S(t)}t≥0, f : R× X → X là một hàm nhận giá trị trong X.Định nghĩa 2.1 Hàm u ∈ BC(R, X) được gọi là nghiệm của bài toán(2.1) − (2.2) nếu với mọi t > s,

u(t) = S(t − s)u(s) +

Z t s

Chứng minh Từ điều kiện (i),(ii) và (1.1) ta có

k g(s)kds

1 − e−δT

Z t t−T

k g(s)kds

1 − e−δT

Z T 0

Z +∞

t+h

S(t + h − s)Qg(s)ds

Do đó, Φg thỏa mãn điều kiện đối tuần hoàn.

2.2 Trường hợp tồn tại duy nhất nghiệm

Để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) − (2.2),

ta xét các giả thiết sau:

(H1) Nửa nhóm S = {S(t)}t≥0 là nửa nhóm hyperbolic

(H2) Hàm f :R× X → X thỏa mãn những điều kiện sau:

(i) Với mọi t ∈ R, x ∈ X thì f (t + T, −x) = −f (t, x)

(ii) Với mỗi x ∈ X thì f (·, x) là đo được Mặt khác, tồn tại hàm

α ∈ L([0, T ],R+) và một hàm số không giảm Ω : R+ → R+ sao cho

kf (t, x)k ≤ α(t)Ω(kxk), hầu khắp t ∈ [0, T ], ∀x ∈ X

(iii) Tồn tại hằng số L > 0 sao cho

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk, hầu khắp t ∈ [0, T ],∀x, y ∈ X.(H3) 2LM < δ

Bây giờ ta chứng minh định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bàitoán (2.1) − (2.2)

Định lý 2.1 Giả sử rằng các giả thiết (H1)-(H3) thỏa mãn Khi đó,bài toán (2.1) − (2.2) có duy nhất một nghiệm T-đối tuần hoàn

P u(t) = S(t − s)P u(s) +

Z t s

S(t − ξ)P f (ξ, u(ξ))dξ, (2.3)

Qu(t) = S(t − s)P u(s) +

Z t s

S(t − ξ)Qf (ξ, u(ξ))dξ (2.4)

Từ (1.1) và (1.2), cho s → −∞ trong (2.1) và s → +∞ trong (2.2) tađược

Từ (H3), ta có Λ là ánh xạ co, nên theo nguyên lí ánh xạ co Banach, Λ

có điểm bất động duy nhất u ∈ PT A(R, X) Vậy bài toán (2.1) − (2.2)tồn tại duy nhất một nghiệm T-đối tuần hoàn

2.3 Trường hợp tồn tại nghiệm

Ta xét trường hợp hàm f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biếnthứ hai Với số dương r bất kì, ta kí hiệu:

Br := {x ∈ X : kxk ≤ r} ,

Yr := {φ ∈ PT A(R, X) : kφk∞ ≤ r}

Ta xét các giả thiết sau:

(H2’) Hàm f : R× X → X thỏa mãn các điều kiện sau

(i) Với mọi t ∈ R, x ∈ Br, f (t + T, −x) = −f (t, x)

(ii) f thỏa mãn điều kiện Carathéodory, tức là với mọix ∈ X, f (·, x)

là đo được và với mỗi t ∈ R, f (t, ·) là liên tục Hơn nữa, tồn tại hàm

α ∈ L([0, T ],R+) sao cho

kf (t, x)k ≤ α(t), hầu khắp t ∈ [0, T ], ∀x ∈ Br.(H3’)

2M

1 − e−δT

Z T 0

Định lý 2.2 Giả sử tồn tại hằng số r > 0 thỏa mãn các điều kiện (H1),(H2’), (H3’) và (H4) Khi đó (2.1) − (2.2) có ít nhất một nghiệm trong

Yr

Chứng minh Để chứng minh định lí này, ta chia thành bốn bước

Bước 1: Tương tự như chứng minh bước 1 ở Định lí 2.1

Ta có ánh xạΛtrên PT A(R, X) là xác định đúng và đi từPT A(R, X)vàochính nó Với u ∈ PT A(R, X)bất kì khi đó u là nghiệm của (2.1) − (2.2)khi và chỉ khi u là điểm bất động của Λ

Bước 2: Ta chứng minh ánh xạ Λ đi từ Yr vào chính nó,

kf (s, u(s))kds +

Z t+T t

kf (s, u(s))kds

= 2M

1 − e−δT

Z T 0

Z ∞ t

S(t − s)Q[f (s, u(s)) − f (s, v(s))]dsk

Z t

−∞

e−δ(t−s)kf (s, u(s)) − f (s, v(s))kds+M

Z ∞ t

eδ(t−s)kf (s, u(s)) − f (s, v(s))kds

≤ 2M

1 − e−δT

Z T 0

kf (s, u(s)) − f (s, v(s))kds

Từ điều kiện (H2’)(ii), ta có Λ là liên tục

Bước 4: Bây giờ ta chứng minh ΛYr là compact Xét {uk : k ≥ 1} ⊂ Yr

Ta cần chứng minh{Λuk : k ≥ 1}là compact tương đối trongBC(R; X).Đầu tiên chúng ta chứng minh {Λuk : k ≥ 1} là liên tục đồng bậc Đặt

S(t + h − s)P f (s, uk(s))ds+

Z t t−η

(S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk(s))ds+

Z t−η t−N

(S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk(s))ds+

Z t−N

−∞

(S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk(s))ds

≡I1 + I2 + I3 + I4

Lại đặt α(t) là mở rộng trên R của hàm α(t) với α(t + T ) = α(t), với

k(S(t + h − s) − S(t − s))P f (s, uk(s))kds

≤

Z t−η t−N

k(S(t + h − s) − S(t − s))P kα(s)ds

=

Z t−η t−N

k(S(η + h) − S(η))S(t − η − s)P kα(s)ds

≤

Z t−η t−N

k(S(η + h) − S(η))ke−δ(t−η−s)α(s)ds

≤M nk(S(η + h) − S(η))k

Z T 0

α(s)ds

Từ (2.3), suy ra tồn tại hằng số θ1 ∈ (0, θ), không phụ thuộc với k và

t, sao cho kI3k <  Do đó, với mọi k,

S(t − h − s)Qf (s, uk(s))ds

−

Z ∞ t

S(t − s)Qf (s, uk(s))ds

=

Z t t−h

S(t − h − s)Qf (s, uk(s))ds+

Z t+N t

(S(t − h − s) − S(t − s))Qf (s, uk(s))ds+

Z ∞ t+N

(S(t − h − s) − S(t − s))Qf (s, uk(s))ds

≡J1 + J2 + J3

Tương tự, với mỗi  > 0, có hằng số λ ∈ (0, 1) không phụ thuộc vào k

và t, sao cho kJ1k <  với mọi h < λ Bây giờ, ta đánh giá J3

kJ3k ≤

Z ∞ t+N

k(S(t + h − s) − S(t − s))Qf (s, uk(s))kds

≤M

Z ∞ t+N

α(s)ds

Như vậy, với N đủ lớn không phụ thuộc k và t thì kJ3k <  Bây giờ ta

cố định N với N = nT với n ∈ N, sao cho kJ3k <  Khi đó

kJ2k ≤

Z t+N t

k(S(t − h − s) − S(t − s))Qf (s, uk(s))kds

=

Z t+N t

k(S(1 − h) − S(1))S(t − s − 1)Qf (s, uk(s))kds

≤k(S(1 − h) − S(1))k

Z t+N t

kS(t − s − 1)Qkkf (s, uk(s))kds

≤M k(S(1 − h) − S(1))k

Z t+N t

eδ(t−s−1)α(s)ds

≤M nk(S(1 − h) − S(1))k

Z T 0

t

Z

t−1n

S(t − s)P f (s, uk(s))ds −

t−1nZ

t

S(t − s)Qf (s, uk(s))ds

= S

1n

[Λuk]



t − 1n

+

t

Z

t−1nS(t − s)f (s, uk(s))ds (2.7)

Từ (2.4) ta suy ra tồn tại hằng số c > 0 sao cho

k

t

Z

t−1n

S(t − s)f (s, uk(s))dsk ≤ C

t

Z

t−1nα(s)ds, ∀t ∈ R, k ≥ 1

t

Z

t−1nα(s)dx

Do α là hàm T-đối tuần hoàn và α ∈ L([0, T ],R+), ta có ρn < ∞ và

ρn → 0khi

Xét họ các hàm {S(1)[Λuk](· − 1) : k ≥ 1} là tập con của PT A(R, X).Lại kí hiệu S(1)[Λuk](· − 1) là hạn chế của S(1)[Λuk](· − 1) trên đoạn[0, T ].

Như đã trình bày ở trên, {Λuk : k ≥ 1} là liên tục đồng bậc, và do đó{S(1)[Λuk](· − 1) : k ≤ 1} cũng là liện tục đồng bậc Mặt khác, ở bước

2 ta đã chứng minh {Λuk : k ≥ 1} ⊂ Yr Từ đó suy ra

[Λuk](t − 1)k ≤ r, t ∈ [0, T ], k ≥ 1

Do S(1) là toán tử compact, với mọi t ∈ [0, T ],

tập{S(1)[Λuk](t − 1) : k ≥ 1} là compact tương đối trongX theo định

lí Arzela-Ascoli thì{S(1)[Λuk](· − 1) : k ≥ 1}là compact tương đối Do

đó, tồn tại dãy con của {Λuk : k ≥ 1}, kí hiệu Λu1k : k ≥ 1 sao cho



S

1n

[Λukk]



· − 1n

: k ≥ 1



là dãy Cauchy trong BC(R, X) Kếthợp với(2.5)và(2.6)ta cóΛukk : k ≥ 1 là dãy Cauchy trongBC(R, X),tức là {Λuk : k ≥ 1} là compact tương đối trong BC(R, X)

Bây giờ, từ Định lí điểm bất động Schauder ta suy ra Λ có điểm bấtđộng tức là bài toán (2.1) − (2.2) có ít nhất một nghiệm

Chú ý 2.1 Tương tự, ta có thể chứng minh bài toán (2.1) − (2.2) có

ít nhất một nghiệm đối tuần hoàn với điều kiện giả thiết (H2’)(i) trongĐịnh lí 2.2 được thay thế bởi điều kiện sau

(i’) với mọi t ∈ R, x ∈ Br, f (t + T, x) = −f (t, x)

Ta cũng có hệ quả sau đây được trực tiếp suy ra từ Định lí 2.2.

Hệ quả 2.1 Giả sử giả thiết (H1) và (H2) vẫn đúng, giả sử hàm f thỏamãn điều kiện Carathéodory và

Z T 0

với t ∈ R và x ∈ [0, π], trong đó p ∈ R, f : R× R → R là một hàm.Xét X = L2([0, π]) và toán tử A được định nghĩa như sau

Aψ := ψ00 + pψ, ψ ∈ D(A),

trong đóD(A) := ψ ∈ L2[0, π] : ψ00 ∈ L2[0, π], ψ(0) = ψ(π) ⊂ L2[0, π].Như vậy,A là toán tử sinh ra C0-nửa nhóm compact S = {S(t)}t≥0 trên

X Cho p 6= n2 với mọi n ∈ N, ta có thể kiểm tra σ(S(t)) ∩ Γ = ∅ vớimọi t > 0 Vậy S là nửa nhóm hyperbolic Giả sử hàm f thỏa mãn điềukiện Carathéodory và

Γ(r) = supkγ(|u(·)|)kL2 ([0,π]) : u(·) ∈ L2([0, π]), ku(·)kL2 ([0,π]) = r

Từ (2.11) ta có, với bất kì δ > 0, tồn tại M > 0 sao cho

γ(r) < δr, ∀r > M (2.12)

Mặt khác, do γ là hàm không giảm nên

KẾT LUẬN

Nội dung chính của luận văn là trình bày một cách hệ thống kết quảtrong bài báo [5] về nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho mộtlớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Trong luận văn này, chúng tôitrình bày phương pháp xây dựng một số điều kiện đủ cho phần tuyếntính và phi tuyến để chứng minh sự tồn tại và tồn tại duy nhất nghiệmbằng phương pháp điểm bất động Các kết quả đạt được của luận vănbao gồm:

• Trình bày một cách hệ thống về lí thuyết nửa nhóm toán tử

• Xây dựng các điều kiện đủ để chứng minh tồn tại và tồn tại duynhất nghiệm cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính mà phầntuyến tính sinh ra một nửa nhóm có tính chất lưỡng phân

• Xây dựng ví dụ minh họa kết quả trừu tượng thu được