Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Navier-stokes

tonSn tai v à duy nhat cna nghi¾m manh đ%a phương tron g trưòng hop ba chieu... Nhung van đe lí thuyet cơ bán đ¾t ra khi nghiên cúu h¾ phương trình Navier-Stokes là: • Sn ton tai và tính

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA TOÁN

****************

TRIfiU QUỲNH NHƯ

SU TON TAI VÀ TÍNH DUY NHAT

NGHIfi CÚA Hfi STOKES

NAVIER-LU¾N VĂN THAC SY Chuyên ngành : Toán Giái tích

Ngưòi hưóng dan khoa hoc

PGS.TS Cung The Anh

Hà N®i, 2013

LèI CÁM ƠN

Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo PGS TS Cung The Anh đã

đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thành lu¾n vănnày Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng Sau đai hoc, các thay

cô day cao hoc chuyên ngành Toán Giái tích trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2

đã giúp

đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p

Qua đây tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè đã ó bên, co vũ, đ®ng viên, giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn

Hà N®i, tháng 11 năm 2013

Tác giá Tri¾u Quỳnh Như

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Cung The Anh lu¾n văn

đưoc hoàn thành không trùng vói bat kì công trình khoa hoc nào khác

Trong khi thnc hi¾n lu¾n văn tác giá đã sú dung và tham kháo các thành tnu cna các nhà khoa hoc vói lòng biet ơn trân trong

Hà N®i, tháng 11 năm 2013

Tác giá Tri¾u Quỳnh Như

Mnc lnc

Má

đau 6

Chương 1 Kien th N c chuan b% 8

1.1.Các k hông gian hàm 8

1.2.Các to án tú 9

1.2.1 oánT tú A 9

1.2.2 oánT tú B 10

1.3.Các bat đang thúc thưòng dùng 12

1.3.1 đanBat g thú c H ¨ older 12

1.3.2 đangBat thúc Cauch y 12

1.3.3 đangBat thúc Y oung 12

1.3.4 đangBat thúc P oincaré 13

1.3.5 đangBat thúc Gronw all 13

1.4.Bo đe compact Aubin-Lions 13

Chương 2 Nghi¾m yeu cúa h¾ Navier-Stokes 14

2.1.Sn ton tai v à duy n hat cna nghi¾m y eu toàn cuc trong trưòng hop hai chieu 14

2.2.Sn ton tai nghi¾m y eu toàn cuc trong trưòng hop ba chieu 18

Chương 3 Nghi¾m manh cúa h¾ Navier-Stokes 22

3.1.Sn ton tai v à duy nhat nghi¾m manh toàn cuc trong trưòng hop hai chieu 22

3.2 tonSn tai v à duy nhat cna nghi¾m manh đ%a phương tron g trưòng hop ba chieu

Ket lu¾n 31 Tài

li¾u tham kháo 32

Má đau

1 Lý do chon đe tài

H¾ phương trình Navier-Stokes xuat hi¾n khi mô tá chuyen đ®ng cna các chatlóng và khí như nưóc, không khí, dau mó, dưói nhung đieu ki¾n tương đoitong quát, và chúng xuat hi¾n khi nghiên cúu nhieu hi¾n tưong quan trong trongkhoa hoc hàng không, khí tưong hoc, công nghi¾p dau mó, v¾t lí plasma, H¾phương trình Navier- Stokes đưoc xây dnng tù sn báo toàn cna khoi lưong, đ®nglưong, và năng lưong đưoc viet cho m®t the tích đang xem xét bat kì, và có dang:

u

❇t ✁ ν ∆u ♣u ☎ ∇q ∆p ✏ f

∇ ☎ u ✏ 0

ó đó u ✏ u♣x, tq là hàm vectơ v¾n toc, p ✏ p♣x, tq là hàm áp suat, ν là h¾

so nhót, f là ngoai lnc Nhung van đe lí thuyet cơ bán đ¾t ra khi nghiên cúu h¾

phương trình Navier-Stokes là:

• Sn ton tai và tính duy nhat cúa nghi¾m: Nghi¾m ó đây có the là nghi¾m yeu

ho¾c nghi¾m manh Các ket quá nh¾n đưoc là phu thu®c theo so chieu cnakhông gian

• Tính chính qui cúa nghi¾m: Tính chính qui ó đây có the là tính chính qui theo

bien thòi gian (tính giái tích, tính Gevrey) ho¾c tính chính qui theo bien khônggian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui Holder, mô tá t¾p điem kì d%, )

• Dáng đi¾u ti¾m c¾n cúa nghi¾m: Nghiên cúu dáng đi¾u cna nghi¾m khi thòi

gian t ra vô cùng Vi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n rat quan trong vì nócho phép

❇

2 Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu sn ton tai và tính duy nhat cna nghi¾m yeu và nghi¾m manh cna h¾ Navier-Stokes trong cá hai trưòng hop hai chieu và ba chieu

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Sn ton tai cna nghi¾m yeu và nghi¾m manh

Nghiên cúu tính duy nhat cna nghi¾m yeu và nghi¾m manh

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu : H¾ phương trình Navier-Stokes

Pham vi nghiên cúu : Sn ton tai và tính duy nhat cna nghi¾m yeu và nghi¾m manh

5 Phương pháp nghiên cNu

Nghiên cúu sn ton tai : Phương pháp Galerkin

Nghiên cúu tính duy nhat : phương pháp Lions, phương pháp Serrin

6 Giá thiet khoa hoc

Chúng minh đưoc sn ton tai cna nghi¾m yeu và nghi¾m manh

Tìm đưoc đieu ki¾n đn đe nghi¾m là duy nhat trong lóp hàm thích hop

Khi đó V và H là nhung không gian Hilbert vói tích vô hưóng lan lưot là

Goi V là không gian đoi ngau cna V Kí hi¾u |.|, ||.|| lan lưot là chuan trong H và

V, ⑤⑤.⑤⑤✝ kí hi¾u chuan trong V

①Au, v② ✏ ♣♣u, vqq, vói moi u, v P V.

Kí hi¾u D♣Aq là mien xác đ%nh cna A, ta có:

cna A gom toàn giá tr% riêng tλ j ✉✽

V Ngoài ra, de dàng kiem tra đưoc

b♣u, v, wq ✏ ✁b♣u, w, vq vói moi u, v, w P V.

Nói riêng b♣u, v, wq ✏ 0, vói moi u, v P V.

Đe thiet l¾p các đánh giá đoi vói b♣u, v, wq, ta can bo đe sau

Bo đe 1.2.1 [5] Vói bat kì t¾p mó Ω ⑨ Rd , ta có

Bat đang thúc Ladyzhenskaya khi d=2

⑤⑤v⑤⑤L4 ♣Ωq ↕ 24 ⑤⑤v⑤⑤2 ⑤⑤∇v⑤⑤2 vói moi v P H0 ♣Ωq Bat đang thúc Ladyzhenskaya khi d=3

d

j

✽

④2

①B♣u, vq, w② ✏ b♣u, v, wqvói moi u, v, w P V.

✪

Đ¾t Bu ✏ B♣u, uq.

Khi đó Bài toán đã cho có the phát bieu dưói m®t trong hai dang sau đây

Bài toán 1 Cho trưóc u0 P H và f P L2♣0,

T ; V

d

q Tìm hàm u P L ♣0, T ; V q thóa mãn

✩✫

dt ♣u, vq ν♣♣u, vqq b♣u, u, vq ✏ ①f, v②, vói moi v P V và hau khap

t P ♣0, T q,

✪ u♣0q ✏ u0.

Đe viet lai Bài toán 1 dưói dang phương trình toán tú, ta can bo đe sau

Bo đe 1.2.3 Giá sú u P L2♣0, T ; V q Khi đó hàm Bu xác đ%nh bói

0 0 0

Do đó Bu thu®c L4♣0, T ; Hq, nên cũng thu®c L2♣0, T ; Hq

Tù đó ta có bài toán sau đây.

De thay Bài toán 1 và Bài toán 2 tương đương nhau theo nghĩa neu u là nghi¾m

cna bài toán này thì nó cũng là nghi¾m cna bài toán kia và ngưoc lai

1.3 Các bat đang thNc thưàng dùng

1.3.1 Bat đang thNc H¨older

1.3.4 Bat đang thNc Poincaré

∇ ⑤u⑤ dx, ❅u P H0 ♣Ωq.

1.3.5 Bat đang thNc Gronwall

Giá sú x♣tq là m®t hàm liên tuc tuy¾t đoi trên r0, T s và thóa mãn

1.4 Bo đe compact Aubin-Lions

Giá sú E1 ⑨⑨ E ⑨ E0, ó đó E, E0, E1 là các không gian Banach Ta giá sú

W p1,p0 ♣0, T ; E1, E0q ⑨⑨ L p1 ♣0, T ; Eq.

Chương 2

Nghi¾m yeu cúa h¾ Navier-Stokes

2.1 SN ton tai và duy nhat cúa nghi¾m yeu toàn cnc

trong trưàng hap hai chieu

♣tq, u ♣tq, w j q ✏ ①f ♣tq, w j ②, j ✏ 1, , m,

✬✪ u m♣0q

é đây u 0m ✏ P m u0, vói Pm là phép chieu tù H xuong spantw1, , w2✉, không gian con

sinh ra bói m véctơ riêng đau tiên Tù lí thuyet phương trình vi phân thưòng suy ra nghi¾m xap xí u m♣tq ton tai và xác đ%nh trên r0, T s

Bưóc 2 Xây dnng các ưóc lưong tiên nghi¾m đoi vói tu ✉

Nhân hai ve cna (2.1) vói gim♣tq, sau đó lay tong theo j tù 1 đen m ta đưoc

Bưóc 3 Chuyen qua giói han.

Tù các ưóc lưong tiên nghi¾m ó bưóc 2, ta có the giá sú

Ta chúng minh ket quá sau

Bo đe 2.1.1 Giá sú u m ã u trong L2♣0, T ; Hq và u m Ñ u trong L2♣0, T ;

ó đó v m Ñ v trong L2♣0, T ; Hq, w P L2♣0, T ; Hq và v m b% ch¾n đeu trong

L✽♣0, T ; Hq.Do

⑤⑤wv ⑤⑤L2♣0,T ;Hq ➤ ⑤⑤w⑤⑤L2♣0,T ;Hq⑤⑤v ⑤⑤L✽ ♣0,T ;Hq

nên Em Ñ 0 Tù đó suy ra bo đe đưoc chúng minh.

Tù các ket quá trên suy ra ton tai hàm u P L2♣0, T ; Hq

❳ L✽

♣0, T ; Hq thóa mãn

hưóng cna phương trình trên vói ϕ, sau đó tích phân tùng phan ta đưoc

Nhân hai ve cna phương trình này vói u ta có

Đây là đieu phái chúng minh

2.2 SN ton tai nghi¾m yeu toàn cnc trong trưàng

dt P L4④3 ♣0, T, V q,

u là liên tnc yeu tù r0, T s vào H: u P Cw♣r0, T s; Hq.

Chúng minh Ta chúng minh sn ton tai nghi¾m bang phương pháp xap xí Galerkin Bưóc 1 Xây dnng dãy nghi¾m xap xí.

2

t 2

✶

✶

trong đó gim thóa mãn (2.1). é đây u 0m ✏ P m u0, vói Pm là phép chieu tù H xuong

spantw1, , w2✉, không gian con sinh ra bói m véctơ riêng đau tiên Tù lí thuyet phương trình vi phân thưòng suy ra nghi¾m xap xí u m♣tq ton tai và xác đ%nh trên r0, T s

Bưóc 2 Xây dnng các ưóc lưong tiên nghi¾m đoi vói u m

Nhân hai ve cna (2.1) vói gim♣tq, sau đó lay tong theo j tù 1 đen m ta đưoc

Bưóc 3 Chuyen qua giói han.

Tù các ưóc lưong tiên nghi¾m ó bưóc 2, ta có the giá sú

Ta chúng minh ket quá sau

Bo đe 2.2.1 Giá sú u m ã u trong L2♣0, T ; Hq và u m Ñ u trong L2♣0, T ;

m m

0 0

é đó v m Ñ v trong L2♣0, T ; Hq, w P L2♣0, T ; Hq và v m b% ch¾n đeu trong

L✽♣0, T ; Hq.Do

⑤⑤wv ⑤⑤L2♣0,T ;Hq ➤ ⑤⑤w⑤⑤L2♣0,T ;Hq⑤⑤w ⑤⑤L✽ ♣0,T ;Hq

nên Em Ñ 0 Tù đó suy ra bo đe đưoc chúng minh.

Tù các ket quá trên suy ra ton tai hàm u P L2♣0, T ; V q

❳ L✽

♣0, T ; Hq thóa mãn

du

dt νAu Bu ✏ f trong L

vói hau khap t P r0, T s

Đe chúng minh u♣0q ✏ u0, ta chon hàm thú ϕ

Tù đó suy ra ♣u♣0q, ϕ♣0qq ✏ ♣u0, ϕ♣0qq vói moi ϕ và do đó u♣0q ✏ u0.

Chú ý 2.2.1 Trong trưòng hop 3 chieu ton tai nghi¾m toàn cuc nhưng tính duy nhat

van còn là van đe mó

setcounterchapter2

➺

➺

Chương 3

Nghi¾m manh cúa h¾ Navier-Stokes

3.1 SN ton tai và duy nhat nghi¾m manh toàn cnc

trong trưàng hap hai chieu

Đ%nh lí 3.1.1 Cho trưóc u0 P V và f P L2♣0, T ; Hq Khi đó ton tai duy nhat m®t

nghi¾m manh cúa h¾ Navier-Stokes

u m♣tq ✏ ➳

j✏1

♣tqq

ν♣♣u

♣tq, u

Lay tích phân (3.3) tù 0 đen T , ta đưoc

♣tq, Au

♣tqq f ♣tq.

Do đó, tù Bo đe 1.2.4 ta có

t♣u q ✉ b% ch¾n trong L ♣0, T ; Hq.

Bưóc 3 Chuyen qua giói han.

Tù ưóc lưong tiên nghi¾m ó trên, ta ket lu¾n ton tai u P L2♣0, T ;

u m h®i tu yeu✝ đen u trong L✽♣0, T ; V

q; u m h®i tu yeu đen u trong L2♣0, T ;

D♣Aqq; Au m h®i tu yeu đen Au trong

manh đen u trong L2♣0, T ; V q, và do đó cũng h®i tu manh trong L2♣0, T ; Hq.

Chuyen qua giói han so hang phi tuyen tính b♣☎, ☎, ☎q nhò Bo đe 2.1.1

Ta chúng minh u♣0q ✏ u0 Cho ψ là m®t hàm khá vi liên tuc trên r0, T s ó đó

đúng vói moi v P V, theo nghĩa phân bo.

Cuoi cùng, ta phái chúng minh rang u thoá mãn u♣0q ✏ u0 Ta nhân (3.2) vói

ψ♣tq và

✶

m

lay tích phân Lay tích phân tùng phan so hang đau tiên ta đưoc

Bang cách so sánh vói, ta có (3.10), ta đưoc

♣u♣0q ✁ u0, vqψ♣0q ✏ 0.

Ta có the chon ψ vói ψ♣0q ✘ 0, do đó u♣0q ✏ u0.

Bưóc 4 Tính duy nhat nghi¾m và sn phu thu®c liên tuc vào du ki¾n ban đau cna

nghi¾m manh

Chúng minh tương tn như đoi vói nghi¾m yeu ta cũng có sn duy nhat và phu thu®c liên tuc vào du ki¾n ban đau cna nghi¾m manh

3.2 SN ton tai và duy nhat cúa nghi¾m manh đ%a

phương trong trưàng hap ba chieu

Chúng minh Bưóc 1 Xây dnng dãy nghi¾m xap xí.

Cho u m là nghi¾m cna h¾ Galerkin

Bưóc 2 Xây dnng các ưóc lưong tiên nghi¾m đoi vói u m

Nhân vô hưóng vói (3.12) u m ta đưoc

⑤b♣u ,

⑤⑤ ♣1 ✁ ν4λ1 ⑤⑤u ⑤⑤ q,

1④2ν 2 1④2 1

Bưóc 3 Chuyen qua giói han.

L¾p lai các lí lu¾n tương tn như trong trưòng hop hai chieu ta đưoc

u m ã u trong L2♣0, T ; D♣Aqq,

và u là nghi¾m cna bài toán.

Bưóc 4 Tính duy nhat cna nghi¾m

Giá sú hai nghi¾m là u1, u2 Đ¾t w ✏ u1 ✁ u2, tù (3.11) ta suy ra

Trù hai ve cna phương trình ta đươc

Chú ý 3.2.1 Theo chúng minh trên ta thay rang neu trưòng hop u1, u2 có m®tnghi¾m là nghi¾m yeu, m®t nghi¾m là nghi¾m manh thì ta van chúng minh đưocchúng là trùng nhau Tuy nhiên trong trưòng hop cá hai nghi¾m là nghi¾m yeu thìvan đe này còn là van đe mó.

Tài li¾u tham kháo

[1] Cung The Anh, Cơ só lí thuyet h¾ đ®ng lnc vô han chieu, NXB Đai hoc Sư pham,

2012

[2] V.Barbu, Stabilization of Navier-Stokes Flows, Springer, London, 2011

[3] P Constantin and C Foias, Navier-Stokes Equations, Chicago Lectures in Math-

ematics, University of Chicago Press, Chicago, IL, 1988

[4] R Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis,2 nd edtion, Amsterdam: North-Holland, 1979

[5] R Temam, Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, SIAM,

Philadelphia, 2nd edition, 1995