nghiệm tuần hoàn và ổn định tiệm cận của một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội

Trần Đình Kế, luậnvăn tốt nghiệp “Nghiệm tuần hoàn và ổn định tiệm cận của mộtlớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội” được hoànthành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác

LỜI CẢM ƠN

Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới TS Trần Đình Kế đã tận tình hướng dẫn tác giả trongquá trình thực hiện luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học,cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học

Sư Phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi đểtác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đềtài và nghiên cứu khoa học

Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐTtỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Bình Sơn huyện Sông Lô tỉnh VĩnhPhúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luậnvăn

Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế và thiếu sót nhất định.Tác giả xin chân thành cảm ơn đã nhậnđược những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn họcviên

Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Bá Huy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Đình Kế, luậnvăn tốt nghiệp “Nghiệm tuần hoàn và ổn định tiệm cận của mộtlớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội” được hoànthành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng vớibất kỳ luận văn nào khác

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Bá Huy

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xét phương trình vi phân với trễ bội

u0(t) = Au(t) + F (t, u(t), u(t − τ1), , u(t − τn)), t ∈ R, (1)trong đó A là toán tử tuyến tính (không bị chặn) trong không gianHilbert H, F là hàm phi tuyến Phương trình (1) là mô hình tổng quátcủa nhiều lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính có trễ, được nghiêncứu bởi nhiều nhà toán học trong những năm gần đây Một số vấn đềnghiên cứu được đặt ra đối với (1) bao gồm:

1 Trong trường hợp F là tuần hoàn theo t (biến thứ nhất), khi nào(1) có nghiệm tuần hoàn? Đây là một vấn đề nghiên cứu định tínhliên quan đến lý thuyết nghiệm dao động

2 Với điều kiện nào nghiệm của (1) ổn định tiệm cận? Vấn đề nàynằm trong một hướng nghiên cứu lớn của lý thuyết phương trình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là trình bày chi tiết các kết quả trongbài báo [7] của Li Cụ thể là tìm hiểu tính giải được, tính chất nghiệm

(tính dao động, ổn định tiệm cận) của một lớp phương trình vi phântổng quát với trễ bội trong không gian Hilbert.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Tìm hiểu lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân;

2 Tìm hiểu lý thuyết nghiệm dao động của phương trình vi phân;

3 Chứng minh một số kết quả về tính dao động, tính ổn định tiệmcận nghiệm đối với một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tínhvới trễ bội;

4 Ứng dụng cho một số lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyếntính có trễ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu là một lớp phương trình vi phân nửa tuyếntính với trễ bội;

• Phạm vi nghiên cứu: Tính giải được, tính dao động của nghiệm,tính ổn định tiệm cận của nghiệm

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng một số phương pháp của giải tích hàm: lý thuyết điểm bấtđộng, lý thuyết nửa nhóm

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống những nghiên cứu định tính về tính daođộng và tính ổn định nghiệm đối với phương trình vi phân nửa tuyếntính có trễ bội

Chương 1

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHỆM DAO ĐỘNG

Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng với trễ là mô hình toán học củanhiều bài toán vật lý, do đó nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiềunhà toán học và nhiều tính chất về nghiệm của nó đã được nghiên cứu.(xem [[4], [17]]) và các tài liệu tham khảo trong đó Các bài toán liên quanđến nghiệm tuần hoàn của phương trình đạo hàm riêng có trễ, là mộtchủ đề quan trọng được nghiên cứu trong những năm gần đây Đặc biệt,

sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa với trễ đã thu hút

sự quan tâm của một số tác giả (xem, [[3], [18], [10]-[12], [19]]), trong tàiliệu tham khảo [3], Burton và Zhang đã nghiên cứu phương trình tiến hóavới trễ vô hạn Với giả thiết là nghiệm của phương trình tiến hóa bị chặnđều, họ đã thu được một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn bằngcách sử dụng định lý điểm bất động Granas Trong tài liệu [18], Xiang vàAhmed đã chứng minh kết quả tồn tại nghiệm tuần hoàn đối với phươngtrình tiến hóa trong không gian Banach với giả thiết bài toán giá trị banđầu tương ứng có đánh giá tiên nghiệm Trong tài liệu [10]-[12], tác giảLiu đã suy ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn từ các nghiệm bị chặn hay cácnghiệm bị chặn chung cuộc đối với phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn

hay vô hạn trong không gian Banach Trong các cách làm trên, giả thiết

trung tâm chính là tính bị chặn toàn cục của nghiệm Gần đây, Zhu,

Liu và Li trong tài liệu [19] đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn

theo thời gian đối với phương trình tiến hóa Parabolic một chiều có trễ

Trong đó, a ∈ R, f : Rn → R là Lipschitz địa phương liên tục,

g : [0, 1] × R → R là hàm Holder liên tục và g (x, t) có chu kỳ ω theo t và

τ1, τ2, , τn là các hằng số dương Mô hình của phương trình này chứa

một số quá trình của sinh vật học (xem, [[19], [13]]) Các giả thiết được

Với các giả thiết trên các tác giả thu được sự tồn tại nghiệm tuần

hoàn có chu kỳ ω của phương trình (1) Hơn nữa, thêm vào điều kiện

Trong luận văn này, một phương pháp khác được sử dụng để cải tiến

và mở rộng các kết quả đề cập ở trên Cụ thể ta bỏ đi điều kiện (A1) và

cải tiến điều kiện (A3) Ta dùng điều kiện ngắn gọn hơn

Do đó điều kiện (A3)∗ đúng và yếu hơn điều kiện (A3) rất nhiều Vớiđiều kiện (A3)∗ yếu hơn, ta thu được các kết quả sau:

Định lý A Cho f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương liên tục,

g : [0, 1] × R → R là hàm Holder liên tục và g (x, t) có chu kỳ ω theo

t Nếu các điều kiện (A2) và (A3)∗ đúng thì phương trình (1) nhận

u ∈ C2,1([0, 1] × R) là nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian.Định lý B Cho f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương liên tục,

g : [0, 1] × R → R là hàm Holder liên tục và g (x, t) có chu kỳ ω theo t.Nếu các điều kiện (A3)∗ và (A4) đúng thì phương trình (1) có duy nhấtnghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian, u ∈ C2,1([0, 1] × R).Định lý A và định lý B không sử dụng điều kiện (A1) và cải tiến nhiềucác kết quả chính trong [19]

Ta xét bài toán trên không gian Hilbert tổng quát Cho H là khônggian Hilbert, A là toán tử xác định dương tự liên hợp với miền xác định

H1 = D(A) ⊂ H Xét H1 với tích vô hướng h·, ·i := (A·, A·) Nếu A cógiải thức compact theo định lý phân giải phổ của toán tử tự liên hợp,phổ σ(A) bao gồm các giá trị riêng thực và có thể xếp theo dãy

λ1 < λ2 < · · · < λn < · · ·, λn → ∞ (n → ∞) (1.1)

Theo tính chất của toán tử xác định dương A, giá trị riêng thứ nhất

λ1 > 0 Cho F : R × Hn+1 → H là ánh xạ liên tục và với mỗi v =(v0, v1, , vn) ∈ Hn+1, F (t, v) có chu kỳ ω theo t Tổng quát hơn, ta xét

sự tồn tại và ổn định tiệm cận của nghiệm tuần hoàn theo thời gian đốivới phương trình

u0(t) + Au(t) = F (t, u (t) , u (t − τ1) , , u (t − τn)) , t ∈ R (1.2)Với phương trình tiến hóa có trễ tổng quát, ta thu được các kết quảsau

Định lí 1.0.1 Cho A là toán tử tự liên hợp xác định dương trong khônggian Hilbert có giải thức compact Cho F : R × Hn+1 → H liên tục và

F (t, v) có chu kỳ ω theo t Nếu tồn tại các hằng số dương β0, β1, , βn

và K sao cho các điều kiện sau nghiệm đúng

n

P

i=0

βi < λ1,

thì phương trình (1.2) có ít nhất một nghiệm mạnh tuần hoàn có chu kỳ

ω thuộc vào L2loc(R, H1) ∩ W1,2loc(R, H)

Định lí 1.0.2 Cho A là toán tử tự liên hợp xác định dương trong khônggian Hilbert có giải thức compact Cho F : R × Hn+1 → H là hoàn toànliên tục và F (t, v) có chu kỳ ω theo t Nếu tồn tại các hằng số dương

β0, β1, , βn sao cho điều kiện (F 2) và các điều kiện sau đây

kỳ ω thuộc vào L2loc(R, H1) ∩ W1,2loc (R, H)

Ngoài ra, làm mạnh điều kiện (F2) trong định lý 1.0.2 ta thu đượckết quả tính ổn định tiệm cận của nghiệm tuần hoàn

Định lí 1.0.3 Với các giả thiết như trong định lý 1.0.2, nếu điều kiện(F 2)∗ β0 +

n

P

i=1

eλ1 τiβi < λ1,đúng thì nghiệm mạnh duy nhất, tuần hoàn có chu kỳ ω, của phươngtrình (1.2) ổn định tiệm cận toàn cục

Ta áp dụng kết quả tổng quát của định lý 1.0.1 và định lý 1.0.2 vàophương trình Parabolic trễ (1) Đặt H = L2(0, 1) với ∀v0, v1, , vn ∈

L2(0, 1) , cho

F (t, v0, v1, , vn) = g (·, t) + f (v1(·) , , vn(·)) (1.3)Hiển nhiên với các điều kiện của định lý A hoặc định lý B, F :

R × Hn+1 → H liên tục, phương trình Parabolic trễ (1) được viết lại theodạng phương trình tiến hóa tổng quát có trễ (1.2) trong H = L2(0, 1).Trong đó

D (A) = H2(0, 1) ∩ H01(0, 1) , Au = −∆u − au (1.4)Khi a < π2, toán tử A xác định bởi (1.4) là toán tử tự liên hợpdương có tập giải được Compact nằm trong L2(0, 1), và nó là giá trịriêng thứ nhất λ1 = π2 − a Khi điều kiện (A2) và (A3)∗ của định lý

A được thỏa mãn, ánh xạ F : R × Hn+1 → H xác định bởi (1.3) thỏamãn điều kiện (F 1) và (F 2) với β0 = 0 Do đó, theo định lý 1.0.1 tathu được sự tồn tại của nghiệm mạnh, nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω,

u ∈ L2loc(R, H1) ∩ W1,2loc(R, H) của phương trình (1) Theo phương phápchính quy hóa thông thường của lý thuyết nửa nhóm giải tích của cáctoán tử tuyến tính (xem [[1], bổ đề 4.2]), ta có thể chứng minh nghiệmmạnh tuần hoàn chu kỳ ω, u ∈ C2,1([0, 1] × R) là một lớp nghiệm củaphương trình (1) Như vậy, kết luận của định lý A đúng Tương tự, khiđiều kiện (A3)∗ và (A4) của định lý B được thỏa mãn, ánh xạ F tươngứng thỏa mãn điều kiện (F 2) và (F 3) Do đó theo định lý 1.0.2 ta thuđược kết luận của định lý B

Kết quả tổng quát của định lý 1.0.1 - 1.0.3 cũng có thể được áp dụngtrong trường hợp tổng quát, phương trình đạo hàm riêng Parabolic vớitrễ N chiều Điều này sẽ được thảo luận trong chương 2 Chứng minhđịnh lý 1.0.1 - 1.0.3 dựa trên thuyết nửa nhóm giải tích và bất đẳng thứctích phân dạng Bellman có trễ được đưa ra trong mục 1.2.

1.1 Nghiệm tuần hoàn của bài toán tuyến tính

Trong mục này ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở trong nửa nhómgiải tích của toán tử tuyến tính và phương trình tuyến tính hóa tổngquát, trong đó ta chứng minh các kết quả chính

Ta giả thiết A : D (A) ⊂ H → H là toán tử tự liên hợp xác địnhdương trong không gian Hilbert H và phép nhúng D (A) ,→ H compact.Khi đó phổ σ (A) chỉ chứa các giá trị riêng thực dương được cho bởi(1.1) Như đã biết trong [[15],[6]] A sinh ra một nửa nhóm giải tíchS(t)t>0 trong H, nó ổn định mũ và thỏa mãn

kS(t)k 6 e−λ1 t, ∀t > 0 (1.5)Theo tính compact của phép nhúng D (A) ,→ H, S(t)t>0 cũng là mộtnửa nhóm Compact

Ta nhớ lại một số khái niệm và kết luận về lũy thừa bậc phân số của

từ đó suy ra (D(Aα), (·, ·)α) là không gian Hilbert Ta ký hiệu không gian

Hilbert (D(Aα), (·, ·)α) bởi Hα Đặc biệt, H0 = H và H1 = D(A) Với

0 6 α < β, Hβ nhúng trù mật vào trong Hα và phép nhúng Hβ ,→ Hαcompact, (xem [[6], định lý 1.4.8])

Ký hiệu J là khoảng vô hạn [0, ∞) và h : J → H Xét bài toán giátrị ban đầu của phương trình tiến hóa tuyến tính (LIVP)







u0(t) + Au(t) = h(t), t ∈ J,u(0) = u(x0)

(1.6)

Như đã biết trong [[15], chương 4, định lý 2.9], khi x0 ∈ D(A) và

h ∈ C1(J, H) phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6) có lớp nghiệm

u ∈ C1(J, H) ∩ C(J, H1) biểu diễn bởi

t ∈ J , thì ta gọi nó là nghiệm mạnh

Ký hiệu không gian Banach {u ∈ C(R, H) | u(t + ω) = u(t), t ∈ R}được trang bị bởi chuẩn max, kukC = M axx∈I ku(t)k, I = [0, ω] là

Cω(R, H) Cho h ∈ Cω(R, H), ta xét sự tồn tại nghiệm tuần hoàn có chu

kỳ ω của phương trình tiến hóa tuyến tính

u0(t) + Au(t) = h(t), t ∈ R (1.8)

Bổ đề 1.1.1 Với giả thiết của A : D (A) ⊂ H → H là một toán tử

tự liên hợp xác định dương trong không gian Hilbert H và phép nhúng

D (A) ,→ H compact, với mỗi h ∈ Cω(R, H), phương trình tiến hóatuyến tính (1.8) có duy nhất nghiệm tích phân tuần hoàn có chu kỳ ω,

u := P h ∈ Cω(R, H) và u ∈ W1,2(I, H) ∩ L2(I, H1) là nghiệm mạnh.Hơn nữa, p : Cω(R, H) → Cω(R, H) là toán tử tuyến tính compact vàchuẩn của nó thỏa mãn kpk 6 λ11.

Chứng minh Nghiệm tích phân tuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình(1.8) hạn chế trên J là nghiệm tích phân của phương trình tiến hóa tuyếntính (1.6) với giá trị ban đầu x0 := u(0) = u(ω) Từ kS(ω)k 6 e−λ1 ω < 1,

ta thấy I − S(ω) có toán tử ngược bị chặn (I − S(ω))−1 Do đó tồn tạiduy nhất giá trị ban đầu

nhất tuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình (1.8) Theo (1.7) và (1.9),nghiệm tích phân tuần hoàn chu kỳ ω này được biểu diễn trong I bởi

Cho 0 6 α < 12, γ ∈ 0;12 − α
Ta có thể chứng minh được toán

tử nghiệm P được cho bởi (1.10) là một toán tử tuyến tính liên tục từ

Cω(R, H) đến Cωγ(R, Hα) , (xem, [[1] bổ đề 1.2.1 và bổ đề 2.2]) Theo định

lý Arzela – Ascoli, phép nhúng Cωγ(R, Hα) ,→ Cω(R, H) compact Điềunày suy ra p : Cω(R, H) → Cω(R, H) là toán tử tuyến tính compact.Mặt khác, theo tính chất chính quy của nghiệm phương trình tiếnhóa tuyến tính với toán tử xác định dương trong không gian Hilbert(xem, [[16], chương II, định lý 3.3]), khi x0 ∈ H1/2, nghiệm tích phân củaphương trình tiến hóa tuyến tính (1.6) trên I có tính chính quy, cụ thể

u ∈ L2(I, H1) ∩ W1,2(I, H) ∩ C(I, H1/2) (1.11)

và nó là nghiệm mạnh

Ta lưu ý rằng u = P h là nghiệm tích phân của phương trình tiến hóatuyến tính (1.6) với x0 = B(h) Theo biểu diễn (1.7) của nghiệm tíchphân u(t) = S(t)x0+ v(t), trong đó v(t) =

t

R

0

S(t − s)h(s)ds Từ đó hàmv(t) là một nghiệm tích phân của phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6)với giá trị ban đầu rỗng u(0) = θ, vì vậy v có dạng chính quy (1.11).Theo tính chất của nửa nhóm giải tích S(t), S(ω)x0 ∈ D(A) ⊂ H1/2

Do đó, x0 = u(ω) = S(ω)x0 + v(ω) ∈ H1/2 Sử dụng lại dạng chính quy(1.11) ta thu được u ∈ L2(I, H1) ∩ W1,2(I, H) và nó là nghiệm mạnhtuần hoàn có chu kỳ ω của phương trình (1.8)

Cho h ∈ Cω(R, H), đặt u = P h Với t ∈ I, theo (1.7) và (1.5) ta có:

kP h(t)k 6 e−λ1 tkB(h)k + 1−eλ−λ1t

1 khkC 6 λ11khkC, t ∈ INhư vậy, kP h(t)kC 6 λ11khkC, nghĩa là kP k 6 λ11 

1.2 Bài toán nửa tuyến tính có trễ bội

Trong mục này, ta trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán giátrị ban đầu của phương trình tiến hóa có trễ phi tuyến (1.2) Cho F :

J × Hn+1 → H liên tục, r = max {τ1, τ2, , τn}

Với u ∈ C ([−r, ∞) , H) và t ∈ [0, ∞), ta định nghĩa u(t) ∈ C ([−r, 0] , H)bởi u(t)(s) = u(t + s), s ∈ [−r, 0] Cho ϕ ∈ C ([−r, ∞) , H) Xét bài toángiá trị ban đầu của phương trình tiến hóa có trễ

W1,2loc((0, ∞), H)

Chứng minh Cho δ = min {τ1, τn} Cho G0 : [0, δ] × H → H xác địnhbởi

G0(x, t) = F (t, x, ϕ(t − τ1), , ϕ(t − τn)) , t ∈ [0, δ] , x ∈ H (1.15)Theo tính liên tục của hàm F và ϕ, G0 : [0, δ] × H → H liên tục Xétbài toán giá trị ban đầu







v0(t) + Av(t) = G0(t, v(t)), t ∈ [0, δ] ,v(0) = ϕ(0)

(1.16)

Theo điều kiện (F 1), G0 thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tuyếntính kG0(t, x)k 6 β0kxk + K1, t ∈ [0, δ] , x ∈ H,, trong đó K1 =

là một nghiệm tích phân của phương trình trễ (1.13) trên [−r, δ] Tương

tự như cách làm ở trên, ta xác định ánh xạ G1 : [δ, 2δ] × H → H bởi

là nghiệm tích phân của phương trình trễ (1.13) trên [−r, 2δ]

Tiếp tục cách làm như thế trên [2δ, 3δ], [3δ, 4δ], Cuối cùng, ta thuđược nghiệm tích phân u ∈ C ([−r, ∞) , H) của phương trình có trễ(1.13)

Đặt

h(t) = F (t, u(t), u(t − τ1), , u(t − τn)) , t ∈ J,thì u(t) là nghiệm tích phân của phương trình tiến hóa tuyến tính(1.6) Khi t > 0, theo biểu diễn (1.7), u(t) = S(t)x0 + v(t), trong đóv(t) =

t

R

o

S(t − s)h(s)ds Từ v(t) có dạng chính quy (1.11) và S(t)u(0) ∈D(A) ⊂ H1/2, ta thu được u(t) = S(t)x0 + v(t) ∈ H1/2