Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình tiến hoá cấp 2

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2CUNG TH± HƯàNG ĐA TAP QUÁN TÍNH ĐOI VéI M®T LéP PHƯƠNG TRÌNH TIEN HÓA CAP HAI LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Chuyên ngành: TOÁN GIÁI TÍCH

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

CUNG TH± HƯàNG

ĐA TAP QUÁN TÍNH ĐOI VéI M®T LéP PHƯƠNG TRÌNH TIEN HÓA CAP HAI

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Chuyên ngành: TOÁN GIÁI TÍCH

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Cung The Anh

Hà N®i -2011

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2dưói sn hưóng dan cna TS Cung The Anh

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói TS Cung The Anh

Sn t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay trong suot quá trình hoc t¾p

và làm lu¾n văn đã giúp tác giá trưóng thành hơn rat nhieu ve cách tiepc¾n m®t van đe mói Cám ơn các thay cô giáo giáng day chuyên ngànhToán Giái tích đã nhi¾t tình cung cap các tri thúc khoa hoc giúp tácgiá nâng cao trình đ® tư duy, hoàn thành tot quá trình hoc t¾p và làmlu¾n văn Tác giá cũng xin đưoc cám ơn tói Ban Giám hi¾u và các đongnghi¾p ó trưòng THPT Quang Minh đã quan tâm giúp đõ và tao moiđieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá yên tâm hoc t¾p trong suot hai năm vùaqua

Cuoi cùng, tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bè đã giúp

đõ, đ®ng viên k%p thòi đe tác giá hoàn thành bán lu¾n văn này

Hà N®i, tháng 10 năm 2011

Tác giá

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi.Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 10 năm 2011

Tác giá

Mnc lnc

Má đau 4 Chương 1 SN ton tai và duy nhat nghi¾m cúa phương trình

tien hóa cap hai

1.1.Giái thi¾u toán t N A và nNa nhóm e tA .7

1.2.Ph ương trình tien hóa cap hai và đ%nh nghĩa nghi¾m tích phân cúa nó 11

1.3.SN ton tai nghi¾m cúa ph ương trình tien hóa cap hai

2.3.1 Ví du 1 35 2.3.2 Ví du 2 37

KET LU¾N 39

T

ài li¾u tham kháo 40

1 Lí do chon đe tài

Mé ĐAUVi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna các h¾ đ®ng lnc vô han chieu

là m®t trong nhung bài toán cơ bán cna v¾t lý toán hi¾n đai M®t trongnhung cách tiep c¾n bài toán này đoi vói các h¾ đ®ng lnc tán xa vôhan chieu, sinh bói các phương trình đao hàm riêng phi tuyen ho¾c cácphương trình vi phân hàm, là nghiên cúu sn ton tai và các tính chat cnat¾p hút toàn cuc Đó là m®t t¾p compact, bat bien, hút moi t¾p b% ch¾n

và chúa nhieu thông tin ve dáng đi¾u ti¾m c¾n cna nghi¾m cna h¾ đ®nglnc đang xét

Neu m®t h¾ đ®ng lnc vô han chieu có m®t t¾p hút toàn cuc vói sochieu huu han thì có the đưa vi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cnah¾ đ®ng lnc đang xét ve vi¾c kháo sát các tính chat cna m®t h¾ đ®nglnc huu han chieu Tuy nhiên vì cau trúc cna t¾p hút toàn cuc rat phúctap, nó không the mô tá chi tiet đưoc trong nhung trưòng hop quantrong nhat, nên vi¾c kien thiet các h¾ đ®ng lnc huu han chieu nàykhông the tien hành đưoc Ngoài ra, t¾p hút toàn cuc thưòng không onđ%nh đoi vói các nhieu và toc đ® hút các nghi¾m vào t¾p hút toàn cucthưòng rat ch¾m

Bói các lí do trên, các nhà toán hoc đã đưa ra m®t khái ni¾m mói

là khái ni¾m đa tap quán tính cna các h¾ đ®ng lnc vô han chieu, ( xem

[4]) Đa tap quán tính là m®t đa tap bat bien huu han chieu, nó chúat¾p hút toàn cuc và hút các quy đao nghi¾m theo toc đ® mũ Hơn nua,

có the chuyen vi¾c nghiên cúu các h¾ đ®ng lnc vô han chieu ban đau ve

vi¾c nghiên cúu m®t h¾ phương trình vi phân thưòng trên đa tap quántính Hi¾n nay vi¾c nghiên cúu sn ton tai và các tính chat cna đa tapquán tính cna các h¾ đ®ng lnc vô han chieu là m®t chn đe thòi sn thuhút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc trong và ngoài nưóc, (xem [1] - [10])

Chính vì v¾y, chúng tôi chon đe tài cna lu¾n văn là: "Đa tap quántính đoi vói m®t lóp phương trình tien hóa cap 2"

"B(u1, t) − B(u2, t)" ≤ M1"A θ (u1 − u2)"

vói moi u1, u2 thu®c mien xác đ%nh Fθ = D(A θ ) cna toán tú A θ, " ·

" là chuan cna không gian H.

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

• Nghiên cúu sn ton tai và duy nhat nghi¾m tích phân toàn cuc.

• Nghiên cúu sn ton tai và các tính chat cna đa tap quán tính.

• Xây dnng m®t so ví du minh hoa ket quá cna lu¾n văn.

d t

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

• Đoi tưong nghiên cúu: Phương trình tien hóa cap 2, sinh bói các

phương trình hyperbolic phi tuyen

• Pham vi nghiên cúu: Sn ton tai và các tính chat cna đa tap quán

tính

5 Phương pháp nghiên cNu

• Sú dung phương pháp núa nhóm đe chúng minh sn ton tai duy nhat

nghi¾m tích phân

• Sú dung phương pháp Lyapunov - Perron đe chúng minh sn ton tai

cna đa tap quán tính

6 NhÑng đóng góp cúa đe tài

• Chúng minh đưoc sn ton tai và duy nhat nghi¾m tích phân toàn

cuc

• Nghiên cúu đưoc sn ton tai và các tính chat cna đa tap quán tính.

• Xây dnng đưoc m®t so ví du minh hoa ket quá cna lu¾n văn.

hai trong m®t không gian Hilbert tách đưoc H.

Trưóc tiên ta xem xét m®t so kien thúc bo tro đóng vai trò quantrong trong các phan tiep sau đó

1.1. Giái thi¾u toán tN A và nNa nhóm etA

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Giá sú H là không gian Hilbert khá ly vói tích vô

hưóng (·, ·) và chuan " · " Cho A là toán tú tuyen tính dương tn liên hop vói mien xác đ%nh D(A) Khi đó toán tú A đưoc goi là có pho ròi rac neu trong không gian H ton tai m®t cơ só trnc chuan gom các vectơ riêng {ek}

(e k , e j ) = δ kj , Ae k = λ k e k , k, j

= 1, 2, , (1.1.1)

sao cho

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ , lim

k→∞ λk = ∞. (1.1.2)

Cau trúc đưoc nói đen ó trên cna toán tú A giúp ta đ%nh nghĩa toán

tú f (A) cho m®t lóp r®ng các hàm f (λ) xác đ%nh trên núa truc

dương như sau:

k=1 Đ¾c bi¾t, ta có the đ%nh nghĩa toán tú A α vói α ∈ R như sau

A α h = c k λ α e k , h ∈ D(A α ).

k=1 Vói α = −β < 0 thì các toán tú này b% ch¾n Tuy nhiên, trong trưòng hop này, vi¾c giói thi¾u các ”mien tuyen tính” D(A α) cũng

thu¾n ti¾n neu ta xem D(A −β ) như m®t sn bo sung cna không gian H

vói vi¾c thùa nh¾n chuan "A −β ".

Ta có m®t so tính chat sau cna toán tú A α:

i Vói bat kỳ β ∈ R toán tú A β là m®t toán tú b% ch¾n tù D(A α)

vào D(A α−β ) sao cho

A β D(A α ) = D(A α−β ), A β1+β2 = A β1 .A β2 . (1.1.4)

vói tích vô hưóng (u, v)α = (A α u, A α v) và chuan |u"α =

"A α u".

k

k

3 Bat kỳ hàm tuyen tính liên tnc F trên Fσ đeu có dang: F (f )

= (f, g), vói g ∈ F−σ Như v¾y, F−σ là không gian các hàm tuyen tính liên tnc trên Fσ,

thưòng đưoc goi là thang cúa các không gian Hilbert, ký hi¾u là {Fσ}

Trong thang {Fσ} ta xác đ%nh toán tú e −tA , t ≥ 0 dna vào các

bieu thúc (1.1.3) như sau:

◦ Vói bat kỳ α ∈ R và t > 0, toán tú tuyen tính e −tA ánh xa

F α vào Tσ≥0 F σ có tính chat: "e− u"α ≤

t A

Bo đe 1.1.1 Cho QN là phép chieu trnc giao lên bao đóng cúa bao tuyen

tính cúa các phan tú {e k , k ≥ N + 1} trong H và cho P N = I−Q N ,

", α

≥ β. (1.1.8)

Tù đó, ta suy ra đưoc

"e −tA u − e −sA u"θ ≤ Cθ,σ|t − s| σ−θ "u"σ; t, s > 0, (1.1.9)

vói θ < σ ≤ 1 + θ và Cθ,σ là hang so không phu thu®c t và s Hơn

1.2. Phương trình tien hóa cap hai và đ%nh nghĩa

nghi¾m tích phân cúa nó

Trong không gian Hilbert tách đưoc H ta xét bài toán dang:

chuan cna không gian H.

Đ¾t H = D(A 1/2 ) × H thì H là không gian Hilbert tách vói tích

vô hưóng

(U, V ) = (Au0, v0) + (u1, v1) (1.2.13)

ó đó U = (u0; u1) và V = (v0; v1) là các phan tú cna H Trong không gian H bài toán (1.2.11) có the viet lai như m®t phương trình cap m®t:

d

U (t) + AU (t) = B(U (t), t), t > s;

U .dt

= U0. (1.2.14)

d t

t=s

Toán tú tuyen tính A và ánh xa B(U, t) đưoc đ%nh nghĩa bói các

trong đó µn và en là các giá tr% riêng và vectơ riêng cna toán tú A

Ta chúng minh tính giái đưoc cna bài toán (1.2.11)

Xét bài toán tuyen tính

= U0, (1.2.20)

ó đó U (t) = .u(t); u˙ (t) và H (t) = .0; h(t).

Đ%nh nghĩa 1.2.1 M®t hàm u(t) đưoc goi là m®t nghi¾m tích

phân (trong Fθ) cúa bài toán (1.2.19) (hay (1.2.20)) trên đoan khoáng [s, s+T ] neu nó thu®c lóp

±

d t

t=s

g˙ j (t) là liên tuc tuy¾t đoi;

v˙ (t) = dv/dt Khi đó (1.2.21)vie t lai dưói dang

ó đó pm là phép chieu vuông góc lên Lin{e1, em} trên H.

Dưói đây ta giá sú rang

t=s

Đây là h¾ phương trình vi phân thưòng vói các hàm gj (t) do đó

(1.2.21) có duy nhat nghi¾m u m(t) trên moi đoan [s, s + T ] và um(t)

∈ Ls,T

Bây giò, giá sú {u m (t)} là dãy nghi¾m xap xí cna (1.2.22) Nhân vôhưóng (1.2.22 ) vói u˙ m(t) ta có

2 ¸

|h(τ )|

2

¸

dτ + 2ε

s

"u˙ m(τ )" dτ.

"A −1/2 u¨m(t)" ≤ 2εC"u˙ m(t)" + "A 1/2 u m(t)" +

"h(t)".

Bây giò ta chúng minh nghi¾m u(t) là duy nhat Th¾t v¾y, giá sú

(1.2.19) còn có nghi¾m v(t) Đ¾t w = u − v thì w m = u m − v m r .L¾p lai các bưóc bien đoi tương tn như trên ta có ưóc lưong:

e −tA (u0; u1) = .u(t); u˙ (t)., (1.2.26)

ó đó u(t) là m®t nghi¾m tích phân cna bài toán (1.2.19) vói h(t) ≡

0 Lay tích phân tù s đen t cna (1.2.19) ta chúng minh đưoc rangnghi¾m tích phân cna (1.2.19) có the bieu dien dưói dang

s e −(t−s)A (0; h(τ ))dτ. (1.2.27)

Bây giò ta xét bài toán phi tuyen (1.2.11)và đ%nh nghĩa nghi¾m tíchphân cna nó.

Đ%nh nghĩa 1.2.2 Nghi¾m tích phân cúa bài toán (1.2.11) là hàm

U (t) ≡ (u(t); u˙ (t)) ∈ C([s, s + T ]; H) thóa mãn phương trình tích phân

Theo (1.2.14) phương trình tien hóa cap hai có the viet lai dưói dang

phương trình cap m®t; trong đó ánh xa B thóa mãn các tính chat:

"B(U, t)"H ≤ M (1 + "U "H) (1.3.30)

"B(U1, t) − B(U2, t)"H ≤ M"U1 − U2"H. (1.3.31)

Do đó ta chúng minh sn ton tai và duy nhat nghi¾m tích phân cna bàitoán (1.2.14)

1.3.1 SN ton tai đ%a phương

Phương pháp điem bat đ®ng giúp ta chúng minh khang đ%nh sau ve

sn ton tai đ%a phương cna nghi¾m tích phân cna bài toán(1.2.14)

Đ%nh lý 1.3.1 Cho U0 ∈ H Khi đó ton tai T ∗ phn thu®c vào "U0" sao cho bài toán (1.2.14) có duy nhat nghi¾m tích phân trên núa khoáng [s, s + T ∗ ) Hơn nua, ho¾c T ∗ = ∞ ho¾c nghi¾m không the liên tnc trên H cho đen thòi điem t = s + T ∗

Chúng minh Trên không gian Cs ≡ C(s, s + T ; H) ta xác đ%nh ánh

U = {U (t) ∈ Cs : |U − V0| ≡

max

τ∈[s,s+T ]

"U (t) − V0(t)" ≤ 1}.

Ta chí ra rang vói T đn nhó, toán tú G ánh xa U vào chính nó và là ánh

xa co Tù "U" ≤ "U − U0" + "U0" suy ra |U|C s ≤ 1 + "U0", vói U

∈ U.

ta có đưoc G là ánh xa co tù U vào chính nó Do đó, G có duy nhat

m®t điem bat đ®ng trong U ⊂ Cs Vì v¾y ta xây dnng đưoc m®tnghi¾m trên đoan [s, s + T1] Lay s + T1 như thòi điem ban đau, ta

có the xây dnng m®t nghi¾m trên đoan [s + T1, s + T1 + T2] vói

đieu ki¾n ban đau U0 = U (s + T1) Neu ta tiep tuc l¾p lu¾n này, thì

ta có the xây dnng m®t nghi¾m trên núa khoáng cnc đai [s, s + T ∗]

Hơn nua, có the có T ∗ = ∞ Đ%nh lý đưoc chúng minh.

1.3.2 SN ton tai toàn cnc và tính duy nhat nghi¾m

Đ%nh lý 1.3.2 Theo (1.3.31), ánh xa B(u, t) thóa mãn đieu ki¾n

Lip- schitz toàn cnc Khi đó bài toán (1.2.14) có duy nhat nghi¾m tích phân trên moi đoan [s, s + T ] vói U0 ∈ H.

Chúng minh Cho U (t) là m®t nghi¾m cna bài toán (1.2.14) trênnúa khoáng cnc đai [s, s + T ) Giá sú T < ∞, đieu ki¾n (1.3.30) chota:

"B(u, t)" ≤ M (1 + "u")

s

"U (τ )"dτ.

Tù đó, chúng tó rang giá tr% "U (t)" b% ch¾n trên [s, s + T ] Do v¾y,

nghi¾m ton tai trên bat kỳ khoáng [s, s + T ].

Đe chúng minh nghi¾m U (t) là duy nhat ta xét hàm W (t) = U1(t)

−U2(t), vói U1(t), U2(t) là các nghi¾m cna bài toán (1.2.14) L¾p lai

các bưóc chúng minh như ó trên vói hàm W (t) ta đưoc:

Chương 2

SN ton tai và các tính chat cúa đa tap quán tính

Theo các chúng minh ó chương 2, trong không gian H ton tai m®t

ho các toán tú tien hóa liên tuc S(t, s) có tính chat

S(t, t) = I, S(t, τ ) ◦ S(τ, s) = S(t, s),

và

S (t, s)U0 = .u(t); u˙ (t).,

ó đó u(t) là nghi¾m tích phân cna bài toán (1.2.11) vói đieu ki¾n ban

ó đó

H1 = Lin{(ek; 0), (0; ek) : k = 1, 2, N}

và H2 là bao đóng cna t¾p

Xét các tích vô hưóng trong không gian H1 và H2

(U, V )1 = ε2(u0, v0) − (Au0, v0) + (εu0 + u1, εv0 + v1) , (U, V )2 = (Au0, v0) + (ε2 − 2µN +1)(u0, v0) + (εu0 + u1, εv0 +

v1),

(2.1.1)

ó đó U = (u0; u1) và V = (v0; v1) là các phan tú tương úng trongkhông gian Hi Sú dung (2.3.46) ta đ%nh nghĩa m®t tích vô hưóng mói

và m®t chuan trong H bang đang thúc:

Chúng minh Lay U = (u0; u1) ∈ H1 Hien nhiên trong trưòng hop này

"A θ u0" ≤ µ β "u0" vói moi β > 0 Do đó,

|U|1 ≥ ε "u0" − " 1/2 u0

2

−2 θ

là có nghĩa á đây | · | là toán tú chuan cám sinh bói chuan véc tơ tương úng.

Chúng minh Lay U ∈ H2 Ta xét hàm ψ(t) = |e −At U |2 Vì H2 là bat

bien vói e −At nên phương trình

Neu chú ý rang exp{−At}f−

(2.1.9) Bo đe đưoc chúng minh

d t

d ψ

f

1 ⊕ H1 De dàng chúng minh đưoc rang

Chúng ta sú dung c¾p phép chieu vuông góc lên không gian H (vói tích

N +1

≤ M0 + M1µ N +1 max 1,

≤ M0 + KN |U|.

ε2 − µ

Bo đe đưoc chúng minh

Bây giò ta xét phương trình tích phân

26tr% trong H sao cho chuan

|B s [V1] − B s [V2]|

≤

N +1

4K N

N +1 + λ N

|V1 − V2|. (2.1.20)

N +1 + λ N Chúng minh Trưóc het ta chúng minh (2.1.20) Hien nhiên là tù

|

1

λ

−

Do q ≤ 4KN (λ − − λ − )−1 nên (2.1 15) đưoc thóa mãn Bat đang thúc

(2.1.19) có the chúng minh tương tn Bo đe đưoc chúng minh

Do đó, neu vói moi q < 1 đieu

λ N +1 − − λ N − ≥

(2.1.21)

q

đưoc thóa mãn thì phương trình (2.1.18) có nghi¾m duy nhat trong Cs

và nghi¾m V cna nó thóa mãn:

V (τ ) là m®t nghi¾m cúa phương trình tích phân (2.1.18).

2.2 SN ton tai và các tính chat cúa đa tap quán

tính

Dưói đây là m®t so đ%nh lý quan trong ve sn ton tai và tính chat cna

đa tap quán tính

≥ q

(2.2.25)

vói moi 0 < q < 1, ó đó λ − = ε − ,ε2 − µk và KN đưoc đ%nh nghĩa bói

công thúc (2.1.17) Khi đó hàm Φ(p, s) cho bói đang thúc (2.1.24)

thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz

S(t, τ )U0 = .u(t); u˙ (t)., t ≥ s, trong H, ó đó u(t) là m®t

nghi¾m cúa bài toán (1.2.11) vói đieu ki¾n ban đau U0 = (u0; u1) Hơn nua, neu

0 < q < 2 − √ 2 thì ton tai đieu ki¾n ban đau U ∗ = (u ∗ ; u ∗ ) ∈ Ms sao cho

các ưóc lưong (2.1.13) và tính chat cna toán tú B ta có:

e − λ

K N e −λ N +1(t−s) | V

e λ N (τ−t) |V (τ ) − V (τ )|dτ

e −λ N +1(t−τ ) |V (τ ) − V (τ )|dτ

−

−

|