BÀI TOÁN điều KHIỂN CHO một lớp PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN nửa TUYẾN TÍNH đa TRỄ

Bài toán điều khiển đối với các hệ vi phân trong không gianhữu hạn chiều đã được quan tâm nghiên cứu từ những năm đầu của thế kỷ 20 trước những đòi hỏi của thực tiễn ứng dụng.. Trong nhữ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

****************

NGUYỄN THỊ KIM THÚY

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH ĐA TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS Trần Đình Kế

Hà Nội - 2014

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo - tiến sĩ Trần Đình Kế Tác giả xin bày tỏlòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thầy Thầy đã dànhnhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinhnghiệm quý báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập vàvượt qua những khó khăn trong chuyên môn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội

2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học vàhoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng nghề Cơ khí Nôngnghiệp và Khoa Khoa học cơ bản đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giảhọc tập và hoàn thành tốt luận văn

Tác giả xin chân thành cảm sự gúp đỡ động viên của gia đình, bạn

bè, các thành viên lớp cao học Toán giải tích khóa 2012 - 2014 để tácgiả hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Kim Thúy

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Đình Kế, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán điều khiểncho một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính đa trễ” đượchoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Kim Thúy

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Nửa nhóm các toán tử tuyến tính 5

1.1.1 Nửa nhóm và phần tử sinh 5

1.1.2 Nửa nhóm compact 7

1.1.3 Bài toán Cauchy 8

1.2 Bài toán điều khiển tuyến tính 10

Chương 2 Bài toán điều khiển phi tuyến 18

2.1 Đặt vấn đề 18

2.2 Kết quả bổ trợ 22

2.3 Tính điều khiển được xấp xỉ 37

Chương 3 Ứng dụng 42

3.1 Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định bởi phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính đơn trễ 42

3.2 Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định bởi phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính với hai trễ 44

3.3 Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định bởi phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính đa trễ 48

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điều khiển toán học đối với các hệ vi phân là chủ đề nghiêncứu lớn Bài toán điều khiển đối với các hệ vi phân trong không gianhữu hạn chiều đã được quan tâm nghiên cứu từ những năm đầu của thế

kỷ 20 trước những đòi hỏi của thực tiễn ứng dụng Theo hướng này, bàitoán điều khiển tuyến tính đã được giải quyết tương đối trọn vẹn Nhiềulớp bài toán phi tuyến cũng được các nhà toán học quan tâm nghiêncứu bằng cách sử dụng phương pháp tuyến tính hóa Trong những nămgần đây, bài toán điều khiển đối với các hệ vi phân trong không gian vôhạn chiều (ví dụ như hệ vi phân thường có trễ hoặc các hệ phương trìnhđạo hàm riêng) được nghiên cứu rộng rãi Một trong những khác biệt sovới bài toán hữu hạn chiều là tính điều khiển được chính xác cho các hệ

vô hạn chiều khó thực hiện được ngay cả với phương trình tuyến tính(ví dụ bài toán điều khiển với phương trình parabolic) Do vậy, người tathường đặt vấn đề về tính điều khiển được xấp xỉ trong những trườnghợp này Luận văn đặt mục tiêu tìm hiểu về lý thuyết điều khiển vô hạnchiều thông qua một lớp bài toán điều khiển với phương trình vi phân

nửa tuyến tính chứa đa trễ trong không gian Hilbert:

đa trễ”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết điều khiển đối với các hệ vi phân vô hạn chiều thôngqua một lớp bài toán điều khiển với phương trình vi phân nửa tuyếntính đa trễ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu bài toán điều khiển với phương trình vi phân tuyến tính; Tìmhiểu về lý thuyết điểm bất động; Chứng minh chi tiết các kết quả vềtính điều khiển được xấp xỉ đối với hệ vi phân nửa tuyến tính đa trễ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: bài toán điều khiển đối với phương trình vi phânnửa tuyến tính đa trễ trong không gian Hilbert

Phạm vi: tính giải được và tính điều khiển được xấp xỉ của bài toán nóitrên

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn

đề Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bàibáo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Đóng góp mới

Chứng minh chi tiết các kết quả về tính điều khiển được xấp xỉ cho hệ

vi phân nửa tuyến tính đa trễ trong bài báo [19] Cố gắng mở rộng cáckết quả này cho trường hợp không duy nhất nghiệm

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Nửa nhóm các toán tử tuyến tính

Trong mục này, chúng tôi trình bày gắn gọn các khái niệm và kết quả

về nửa nhóm liên tục mạnh mà chúng tôi sử dụng trong luận văn Phầnchứng minh của các mệnh đề có thể tìm thấy trong tài liệu [5]

1.1.1 Nửa nhóm và phần tử sinh

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian Banach Một họ toán tử tuyếntính bị chặn (T (t))t≥0 trên X gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hay C0-nửanhóm) trên X nếu nó thỏa mãn

(i) T (0) = I;

(ii) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0;

(iii) T (.)x : [0, +∞) → X, t 7→ T (t)x liên tục với mỗi x ∈ X

Nếu các tính chất trên thỏa mãn với mọi t, s ∈ R thì (T (t))t∈R là mộtnhóm liên tục mạnh trên X

Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa hàm sinh) (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tụcmạnh trên không gian Banach X Đặt

D(A) = nx ∈ X : ∃ lim

h↓0

T (h)x − xh

o

Toán tử A : D(A) ⊆ X → X, x 7→ Ax = lim

h↓0

T (h)x − x

h gọi là hàm sinhcủa nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0

Mệnh đề 1.1 Hàm sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử tuyếntính đóng, có miền xác định trù mật trong không gian Banach X và xácđịnh duy nhất

A là toán tử tuyến tính đóng

• Tập giải thức của A là ρ(A) = {λ ∈ C : λI − A là song ánh }

• Phổ của A là σ(A) = C − ρ(A)

• Giải thức R(λ, A) = (λI − A)−1, λ ∈ ρ(A)

Bổ đề 1.1 (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh có hàm sinh A, kT (t)k ≤

M eωt Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và

X sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 là tồn tại các số thực

M, ω sao cho với mọi số thực λ > ω thì λ ∈ ρ(A) và

kR(λ, A)nk ≤ M

(λ − ω)n, n = 1, 2

Trong trường hợp này kT (t)k ≤ M eωt

Định nghĩa 1.3 A là toán tử tuyến tính đóng, D(A) trù mật trong X.D(A∗) = {x∗ ∈ X∗ : ∃y∗ ∈ X∗ :< y∗, x >=< x∗, Ax >, ∀x ∈ D(A)} Khi

đó ta định nghĩa toán tử liên hợp A∗ như sau: A∗x∗ = y∗

Định lý 1.2 A là toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mậttrong không gian Banach X Khi đó A sinh ra một nửa nhóm liên tụcmạnh (T (t))t≥0 trên X thỏa mãn kT (t)k ≤ eωt, ∀t ≥ 0 khi và chỉ khi vớimọi λ > ω ta có

k(λI − A)xkX ≥ (λ − ω)kxkX, x ∈ D(A)

Dễ thấy vế phải hội tụ và các điều kiện (i), (ii), (iii) được thỏa mãn, vậy

etA là nửa nhóm liên tục mạnh

1.1.2 Nửa nhóm compact

Định nghĩa 1.4 (Nửa nhóm liên tục tức thì theo chuẩn) Nửa nhóm liêntục mạnh (T (t))t≥0 gọi là liên tục tức thì theo chuẩn nếu T (.) : (0, ∞) → L(X)liên tục theo chuẩn

Định lý 1.3 Giả sử A là hàm sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ổn định

mũ đều (T (t))t≥0 trên không gian Hilbert H (tức là tồn tại  > 0, M ≥ 1sao cho kT (t)k ≤ M e−t với mọi t ≥ 0) Các tính chất sau tương đương(i) (T (t))t≥0 là liên tục tức thì theo chuẩn

(ii) lim

R3r→±∞

kR(ir, A)k = 0

Định nghĩa 1.5 (Nửa nhóm compact)

(i) Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 gọi là nửa nhóm compact nếu T (t)compact với mọi t > 0

(ii) Toán tử tuyến tính A với ρ(A) 6= 0 có giải thức compact nếu R(λ, A)

là compact với mọi λ ∈ ρ(A)

Định lý 1.4 Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Các tính chất sautương đương

(i) (T (t))t≥0 là compact

(ii) (T (t))t≥0 là liên tục tức thì theo chuẩn và hàm sinh có giải thứccompact

1.1.3 Bài toán Cauchy

Định nghĩa 1.6 Xét bài toán:

ở đó t ∈ R+, x(.) là hàm nhận giá trị trong không gian Banach X Toán

tử A : D(A) ⊆ X → X là tuyến tính, x0 ∈ X là giá trị ban đầu

(i) Bài toán trên gọi là bài toán Cauchy liên kết với (A, D(A)) và cógiá trị ban đầu x0.

(ii) Hàm x : R+ → X gọi là nghiệm của (ACP) nếu x khả vi liên tục,x(t) ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và thoả mãn bài toán (ACP)

Nhận xét 1.1 Nếu A là hàm sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0thì x(t) = T (t)x0, x0 ∈ D(A), là nghiệm duy nhất của (ACP)

Định nghĩa 1.7 Hàm liên tục x : R+ → X được gọi là nghiệm suyrộng, hay nghiệm tích phân của bài toán (ACP) nếu

t

R

0

x(s)ds ∈ D(A)với mọi t ≥ 0 và

(ii) x0 ∈ D(A),

thì (1.3) khả vi liên tục trên [0, t] và là nghiệm của bài toán (1.1)-(1.2)

Bổ đề 1.2 Nếu A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trênkhông gian Banach X và T (t − s)f (s) ∈ D(A) với mọi t > s, f ∈

L1([0, t], X) và AT (t − s)f (s) ∈ L1([0, t], X) thì (1.3) là nghiệm duynhất của (1.1)-(1.2)

Định nghĩa 1.8 (Nghiệm tích phân) Nếu f ∈ Lp([0, t], X), p ≥ 1 tanói rằng

là nghiệm tích phân của (1.1) − (1.2) trên [0, t]

1.2 Bài toán điều khiển tuyến tính

Ta xét bài toán điều khiển sau







˙z(t) = Az(t) + Bu(t), t > 0,z(0) = z0,

(1.4)

trong đó A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh {T (t)} trong khônggian Banach Z, B là toán tử bị chặn từ không gian Banach U vào Z, uđược gọi là yếu tố điều khiển, u ∈ Lploc(R+, U ), p ≥ 1

Xét nghiệm tích phân của (1.4)

z(t) = T (t)z0 +

Z t 0

T (t − s)Bu(s)ds,

ta kí hiệu nghiệm này là z(·, z0, u)

Định nghĩa 1.9 Hệ (1.4) được gọi là điều khiển được chính xác trên[0, t1] nếu với mọi z0, z1 ∈ Z, tồn tại một điều khiển u ∈ Lp(0, t1; Z) saocho nghiệm tích phân tương ứng thỏa mãn z(t1) = z1.

Kí hiệu B(u) = Rt1

0 T (t1 − s)Bu(s)ds, u ∈ Lp(0, t1; U ) Dễ dàng thấyrằng (1.4) điều khiển được chính xác trên [0, t1] nếu và chỉ nếu RgB = Z.Mệnh đề sau đây cho ta một phản ví dụ về tính điều khiển được chínhxác

Mệnh đề 1.2 Nếu toán tử B compact thì B cũng là toán tử compact.Khi đó nếu dim Z = +∞ thì hệ (1.4) không thể điều khiển được chínhxác

Trong nhiều ứng dụng, ta thường xét U là không gian hữu hạn chiều.Khi đó B là toán tử compact và hệ (1.4) không thể điều khiển đượcchính xác khi Z là không gian vô hạn chiều Vì lí do này, ta cần các kháiniệm điều khiển được yếu hơn

Định nghĩa 1.10 Hệ (1.4) gọi là điều khiển được xấp xỉ trên [0, t1] nếu

∀ε > 0, ∀z0, z1 ∈ Z, tồn tại điều khiển u ∈ Lp(0, t1; U ) sao cho nghiệmtích phân z(., z0, u) thỏa mãn kz(t1) − z1k < ε

Định nghĩa trên tương đương với RgB = Z

Định nghĩa 1.11 Hệ (1.4) gọi là điều khiển được chính xác về 0 nếu

∀z0 ∈ Z tồn tại điều khiển u sao cho z(t1, z0, u) = 0

Tính điều khiển được về 0 của (1.4) tương đương với RgB ⊃ RgT (t1).Sau đây ta đi tìm các điều kiện cần và đủ cho tính điều khiển được chínhxác (xấp xỉ, về 0) của hệ (1.4) Trước tiên ta cần các bổ đề sau

Bổ đề 1.3 Nếu Z và U là các không gian Banach phản xạ thì toán tửliên hợp của B được xác định như sau:

z(x, 0) = z0(x)

(1.5)

Kí hiệu H = L2(0, 1), Az = −zxx, z ∈ D(A) với D(A) = H2(0, 1) ∩

với D(A) = D(A) × D(A1/2)

Ta biết rằng A sinh ra một nhóm liên tục mạnh trên H = D(A1/2) × H,

nX

n2π2(ω1, Φn)2 + (ω2, Φn)2o

1 2

,

do vậy γ trong (1.6) có thể tìm được nếu

4



t21 − sin

22nπt14n2π2



n2π2 ≥ (1−cos 2nπt1)2, n = 1, 2, và t1 >

sin 2nπt12nπ

Do bất đẳng thức cuối luôn đúng với t1 > 0 nên điều kiện nói trên đượcthỏa mãn Nói cách khác, hệ (1.5) điều khiển được chính xác trên mọiđoạn [0, t1] với t1 > 0

Định lí sau đây cho ta điều kiện để hệ (1.4) điều khiển được xấp xỉ.Định lý 1.7 Giả thiết như Định lí 1.6 Khi đó, hệ (1.4) điều khiểnđược xấp xỉ trên [0, t1] khi và chỉ khi Tt 1

Toán tử A xác định bởi Az = zxx với D(A) = H2(0, 1) ∩ H01(0, 1) sinh

ra nửa nhóm {T (t)} như sau:

sin nπy.z(y)dy, z ∈ L2(0, 1)

với u ∈ L2(0, t1; L2(0, 1)), B = I và B∗ = I, T∗(t) = T (t), ∀t ≥

0 Ta sẽ chỉ ra rằng hệ (1.7) không thể điều khiển được chính xácnhưng điều khiển được xấp xỉ Thật vậy, giả sử tồn tại γ > 0 sao choγkB∗T∗(·)zkL2 (0,t 1 ;L 2 (0,1)) ≥ kzkL2 (0,1)

z(y) sin nπydy

2)12

≥ kzkL2 (0,1) (1.8)

Nhưng kzkL2 (0,1) tương đương với

z(y) sin nπydy

z(y) sin nπydy = 0, ∀t ∈ [0, t1]

Từ đây suy ra R01z(y) sin nπydy = 0, ∀n (xem Bổ đề 1.5) và do đó z = 0.Vậy theo Định lí 1.7, hệ (1.7) điều khiển được xấp xỉ

Dưới đây ta xét một ví dụ quan trọng về tính điều khiển được xấp

xỉ, nhưng trước tiên ta cần Bổ đề sau

Bổ đề 1.5 Giả sử {λn}n≥1 là dãy số thỏa mãn:

c > λ1 > λ2 > · · · > λn > · · ·

và {an} là dãy số sao cho P∞

i=1eλi tai = 0 với mọi t ∈ [0, t1] Khi đó

ở đây Φnk là các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λn (thực) của A.

Khi đó nếu {λn} bị chặn trên thì A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh{T (t)} xác định bởi

Xét trường hợp đặc biệt khi H = L2(0, 1), Az = zxx, D(A) = H2(0, 1) ∩

H01(0, 1) Khi đó λn = −n2π2, là các giá trị riêng đơn (rn = 1, ∀n), Φj1(x) =

sin jπx Với m = 1, ta thấy (1.10) trở thành điều khiển đơn giản:

Z 1 0

b1(y) sin nπydy 6= 0, ∀n = 1, 2,

Định lí sau đây cho ta điều kiện về tính điều khiển được về 0 của hệ(1.4)

Định lý 1.8 Giả sử X và U là các không gian Banach phản xạ và

1 < p < +∞ Khi đó hệ (1.4) điều khiển được về 0 trên [0, t1] nếu vàchỉ nếu tồn tại γ > 0 sao cho

γkB∗T∗(·)z∗kLq (0,t1;U ∗ ) ≥ kT∗(t1)z∗kZ∗, trong đó 1

p +1

q = 1.

Chương 2 Bài toán điều khiển phi tuyến

ξ ∈ C ([ − h, 0]; X) không gian Banach các hàm liên tục từ [ − h, 0] vào

X với chuẩn sup kí hiệu bởi | · |C; G : [0, b] × C([ − h, 0]; X) → X đượcxác định như sau

ở đây f : [0, b]×C([−h, 0]; X) → X và g : [0, b]×[−h, 0]×C([−h, 0]; X)×

X → X là hai phần tử phi tuyến Với y ∈ C([−h, b] ; X), yt là một phần

tử của C ([ − h, 0]; X) xác định tại từng điểm như sau yt(θ) = y (t + θ)với θ ∈ [−h, 0]

Nghiệm của (2.1) với mỗi hàm điều khiển u (·) ∈ L2(0, b; U ) kí hiệubởi y (·; u) gọi là hàm trạng thái của (2.1) ứng với điều khiển u Nóiriêng, trạng thái của (2.1) tại t=b, y (b; u) được gọi là trạng thái cuốitương ứng với điều khiển u

Tập hợp

Rb(N ) := y (b; u) : u (·) ∈ L2(0, b; U ) gọi là tập đạt được của hệ (2.1) Trong các phần tiếp theo, Rb(N ) đượchiểu là bao đóng của Rb(N ) trong X

Định nghĩa 2.1 Hệ (2.1) gọi là điều khiển xấp xỉ được trên [0, b] nếu

Rb(N ) = X Ngoài ra, nếu Rb(N ) = X, hệ được gọi là điều khiển chínhxác trên [0, b]

Hệ sau gọi là hệ tuyến tính tương ứng với hệ (2.1):

tính điều khiển được với hệ này có rất nhiều ứng dụng quan trọng.Balachandran và Dauer [1] đã tóm tắt nhiều kết quả về tính điều khiểnchính xác của các hệ điều khiển khác trong không gian Banach Ngoài

ra, tính điều khiển chính xác địa phương được nghiên cứu dưới các điềukiện khác nhau sử dụng nguyên lý ánh xạ co (xem [10, 11]) Tuy nhiên,như chứng minh của Triggiani [17], nếu X là không gian Banach vô hạnchiều, hệ điều khiển tuyến tính

˙

y (t) = Ay (t) + Bu (t) , y (0) = y0,

là không điều khiển chính xác trên [0, b] nếu B là compact hoặc T (t)

là nửa nhóm compact Một trong những trường hợp đặc biệt là hệ điềukhiển xác định bởi phương trình đạo hàm riêng parabolic trong miền

bị chặn Do đó, khái niệm về tính điều khiển chính xác là rất hạn chếvới nhiều phương trình đạo hàm riêng parabolic, tính điều khiển đượcxấp xỉ là thích hợp hơn thay cho điều khiển chính xác với nhiều hệ điềukhiển

Sự điều khiển được xấp xỉ với hệ điều khiển nửa tuyến tính có trễđược nghiên cứu trong nhiều công trình (xem [2, 18]) Hầu hết trong số

đó đều tập trung vào việc tìm kiếm điều kiện nhiễu phi tuyến sao cho

hệ nửa tuyến tính là điều khiển được xấp xỉ dưới giả thiết về tính điềukhiển được xấp xỉ của hệ tương ứng tuyến tính

Với hệ điều khiển nửa tuyến tính đa trễ, một số kết quả về tínhđiều khiển được xấp xỉ đã được thiết lập Jeong và Roh [9] đã thảo luậntính điều khiển được xấp xỉ với một lớp hệ điều khiển có trễ dưới mộtvài điều kiện dạng bất đẳng thức Jeong et al [8] đã xem xét tính điều

khiển được xấp xỉ cho một lớp hệ nửa tuyến tính có trễ dưới với điềukiện về miền giá trị của toán tử điều khiển Naito và Park [15], Ryu et

al [16] đã nghiên cứu tính điều khiển được xấp xỉ cho một hệ Volterra

có trễ Dauer và Mahmudov [3] đã thảo luận tính điều khiển được xấp

xỉ của hệ nửa tuyến tính trong đó yếu tố điều khiển xuất hiện cả tronghàm nhiễu phi tuyến Wang [19] cũng nghiên cứu tính điều khiển đượcxấp xỉ với một lớp các hệ điều khiển nửa tuyến tính có trễ

Luận văn trình bày một nghiên cứu về tính điều khiển được xấp xỉcủa hệ (2.1) theo một số giả thiết tự nhiên liên quan đến độ tăng trưởngcủa hạng tử phi tuyến và tính compact của nửa nhóm T (t) Tính điềukhiển được xấp xỉ của hệ (2.1) được chứng minh nếu hệ tuyến tính tươngứng là điều khiển được xấp xỉ

Kết quả về tính điều khiển được xấp xỉ trong luận văn này pháttriển kết quả của Jeong trong [8], trong đó các điều kiện về tính Lipschitzđều hoặc bị chặn đều của hàm phi tuyến được thay thế bằng điều kiệnLipschitz địa phương và điều kiện về độ tăng trưởng dưới tuyến tính.Ngoài ra, ta cũng bỏ qua điều kiện phép nhúng D (A0) ⊂ V là compact

và hệ (2.1) tổng quát hơn hệ xét trong [8] khi hạng tử phi tuyến G (t, yt)

là tổng quát hơn G (t, x) của [8] Do đó phương pháp sử dụng để chứngminh tính điều khiển được cũng được cải tiến để xử lý tình huống hàm

G chỉ thỏa mãn tính chất Lipschitz cục bộ

2.2 Kết quả bổ trợ

Chúng ta bắt đầu phần này bằng việc giới thiệu nghiệm cơ bản S (t) củaphương trình tuyến tính tổng quát liên kết với (2.2), nghiệm cơ bản nàynhận giá trị là toán tử

Trong đó T (t) là C0 - nửa nhóm bị chặn trên [0, b] Ta sẽ chỉ ra rằng

S (t) cũng bị chặn trên [0, b] Ký hiệu L (X) là không gian Banach cáctoán tử tuyến tính bị chặn trên X với chuẩn toán tử Để đơn giản ta sửdụng ký hiệu k·k như là chuẩn trong không gian X, U và L (X) trongtrường hợp không có sự nhầm lẫn nào

Bổ đề 2.1 S (t) là bị chặn trên [0, b], tức là tồn tại số thực M > 0 saocho

2bnn! .

Với hệ điều khiển nửa tuyến tính đa trễ, số kết tính? ?iều khiển xấp xỉ thiết lập Jeong Roh [9] thảo luậntính điều khiển xấp xỉ với lớp hệ điều. .. luận tính điều khiển xấp

xỉ hệ nửa tuyến tính yếu tố điều khiển xuất tronghàm nhiễu phi tuyến Wang [19] nghiên cứu tính điều khiển đượcxấp xỉ với lớp hệ điều khiển nửa tuyến tính có trễ. .. xấp xỉ cho lớp hệ nửa tuyến tính có trễ với điềukiện miền giá trị toán tử điều khiển Naito Park [15], Ryu et

al [16] nghiên cứu tính điều khiển xấp xỉ cho hệ Volterra

có trễ Dauer