Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình tiến hoá cấp 2

Một trongnhững cách tiếp cận bài toán này đối với các hệ động lực tán xạ vôhạn chiều, sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc cácphương trình vi phân hàm, là nghiên cứu sự

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CUNG THỊ HƯỜNG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH

TIẾN HÓA CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCHNgười hướng dẫn khoa học: TS Cung Thế Anh

Hà Nội -2011

LỜI CẢM ƠNLuận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Cung Thế Anh.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Cung Thế Anh

Sự tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình học tập

và làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều về cách tiếpcận một vấn đề mới Cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngànhToán Giải tích đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp tácgiả nâng cao trình độ tư duy, hoàn thành tốt quá trình học tập và làmluận văn Tác giả cũng xin được cảm ơn tới Ban Giám hiệu và các đồngnghiệp ở trường THPT Quang Minh đã quan tâm giúp đỡ và tạo mọiđiều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập trong suốt hai năm vừaqua

Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp

đỡ, động viên kịp thời để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2011

Tác giả

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2011

Tác giả

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tiến hóa cấp hai 7

1.1 Giới thiệu toán tử A và nửa nhóm etA 7

1.2 Phương trình tiến hóa cấp hai và định nghĩa nghiệm tích phân của nó 11

1.3 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tiến hóa cấp hai 16 1.3.1 Sự tồn tại địa phương 16

1.3.2 Sự tồn tại toàn cục và tính duy nhất nghiệm 18

Chương 2 Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính 20 2.1 Định nghĩa đa tạp quán tính 20

2.2 Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính 28

2.3 Ví dụ áp dụng 35

2.3.1 Ví dụ 1 35

2.3.2 Ví dụ 2 37

KẾT LUẬN 39

Tài liệu tham khảo 40

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực vô hạn chiều

là một trong những bài toán cơ bản của vật lý toán hiện đại Một trongnhững cách tiếp cận bài toán này đối với các hệ động lực tán xạ vôhạn chiều, sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc cácphương trình vi phân hàm, là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất củatập hút toàn cục Đó là một tập compact, bất biến, hút mọi tập bị chặn

và chứa nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ độnglực đang xét

Nếu một hệ động lực vô hạn chiều có một tập hút toàn cục với sốchiều hữu hạn thì có thể đưa việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệđộng lực đang xét về việc khảo sát các tính chất của một hệ động lựchữu hạn chiều Tuy nhiên vì cấu trúc của tập hút toàn cục rất phức tạp,

nó không thể mô tả chi tiết được trong những trường hợp quan trọngnhất, nên việc kiến thiết các hệ động lực hữu hạn chiều này không thểtiến hành được Ngoài ra, tập hút toàn cục thường không ổn định đốivới các nhiễu và tốc độ hút các nghiệm vào tập hút toàn cục thường rấtchậm

Bởi các lí do trên, các nhà toán học đã đưa ra một khái niệm mới

là khái niệm đa tạp quán tính của các hệ động lực vô hạn chiều, ( xem[4]) Đa tạp quán tính là một đa tạp bất biến hữu hạn chiều, nó chứatập hút toàn cục và hút các quỹ đạo nghiệm theo tốc độ mũ Hơn nữa,

có thể chuyển việc nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều ban đầu về

việc nghiên cứu một hệ phương trình vi phân thường trên đa tạp quántính Hiện nay việc nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của đa tạpquán tính của các hệ động lực vô hạn chiều là một chủ đề thời sự thuhút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước, (xem [1] - [10]).

Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: "Đa tạp quántính đối với một lớp phương trình tiến hóa cấp 2"

dt

t=s

= u1trong đó A là toán tử tự liên hợp dương với phổ rời rạc và B(·, ·) là mộtánh xạ từ D(Aθ) × R vào H, 0 ≤ θ ≤ 1/2, thỏa mãn các tính chất:

kB(0, t)k ≤ M0kB(u1, t) − B(u2, t)k ≤ M1kAθ(u1 − u2)kvới mọi u1, u2 thuộc miền xác định Fθ = D(Aθ) của toán tử Aθ, k · k làchuẩn của không gian H

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân toàn cục

• Nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính

• Xây dựng một số ví dụ minh họa kết quả của luận văn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tiến hóa cấp 2, sinh bởi cácphương trình hyperbolic phi tuyến

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quántính

5 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng phương pháp nửa nhóm để chứng minh sự tồn tại duy nhấtnghiệm tích phân

• Sử dụng phương pháp Lyapunov - Perron để chứng minh sự tồn tạicủa đa tạp quán tính

6 Những đóng góp của đề tài

• Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân toàncục

• Nghiên cứu được sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính

• Xây dựng được một số ví dụ minh họa kết quả của luận văn

Trước tiên ta xem xét một số kiến thức bổ trợ đóng vai trò quan trọngtrong các phần tiếp sau đó.

1.1 Giới thiệu toán tử A và nửa nhóm etA

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử H là không gian Hilbert khả ly với tích vôhướng (·, ·) và chuẩn k · k Cho A là toán tử tuyến tính dương tự liênhợp với miền xác định D(A) Khi đó toán tử A được gọi là có phổ rờirạc nếu trong không gian H tồn tại một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơriêng {ek}

(ek, ej) = δkj, Aek = λkek, k, j = 1, 2, , (1.1.1)

sao cho

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ , lim

Cấu trúc được nói đến ở trên của toán tử A giúp ta định nghĩa toán

tử f (A) cho một lớp rộng các hàm f (λ) xác định trên nửa trục dươngnhư sau:

Ta có một số tính chất sau của toán tử Aα:

i Với bất kỳ β ∈ R toán tử Aβ là một toán tử bị chặn từ D(Aα)vào D(Aα−β) sao cho

AβD(Aα) = D(Aα−β), Aβ1 +β2

= Aβ1.Aβ2 (1.1.4)

ii Không gian Fα ≡ D(Aα) là một không gian Hilbert khả ly vớitích vô hướng (u, v)α = (Aαu, Aαv) và chuẩn |ukα = kAαuk

Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp các không gian Hilbert thỏa mãn các tínhchất:

1 Fα trù mật trong Fβ với mọi α > β;

2 Với σ > 0 và f ∈ Fσ thì hàm tuyến tính F (g) ≡ (f, g) có thểthác triển liên tục được từ không gian H lên F−σ, và |(f, g)| ≤

kf kσ.kgk−σ, với bất kỳ f ∈ Fσ và g ∈ F−σ;

3 Bất kỳ hàm tuyến tính liên tục F trên Fσ đều có dạng: F (f ) =(f, g), với g ∈ F−σ Như vậy, F−σ là không gian các hàm tuyến tínhliên tục trên Fσ,

thường được gọi là thang của các không gian Hilbert, ký hiệu là {Fσ}Trong thang {Fσ} ta xác định toán tử e−tA, t ≥ 0 dựa vào các biểuthức (1.1.3) như sau:

Bổ đề 1.1.1 Cho QN là phép chiếu trực giao lên bao đóng của bao tuyếntính của các phần tử {ek, k ≥ N + 1} trong H và cho PN = I −QN, N =

0, 1, 2, Khi đó:

1) với mọi h ∈ H, β ≥ 0 và t ∈ R bất đẳng thức sau thỏa

mãn:

kAβPNe−tAhk ≤ λβNeλN |t|khk; (1.1.6)2) với mọi h ∈ D(Aβ), t > 0 và α ≥ β ước lượng sau thỏa

mãn:

kAαQNe−tAhk ≤

hα − βt

(1.1.7)

Đặc biệt, ta chú ý rằng, từ (1.1.7) ta có

kAαe−tAhk ≤

hα − βt

α−β

+ λα−β1

i.e−tλ1kAβhk, α ≥ β (1.1.8)

1.2 Phương trình tiến hóa cấp hai và định nghĩa

nghiệm tích phân của nó

Trong không gian Hilbert tách được H ta xét bài toán dạng:

dt

t=s = U0 (1.2.14)

Ở đây

U (t) =

u(t);∂u(t)

∂t

, U0 = (u0; u1) ∈H

Toán tử tuyến tính A và ánh xạ B(U, t) được định nghĩa bởi các đẳngthức:

AU = (−u1; Au0 + 2εu1), D(A) = D(A) × D(A1/2), (1.2.15)

Ta chứng minh tính giải được của bài toán (1.2.11)

Xét bài toán tuyến tính

dt

... class="text_page_counter">Trang 21

Chương 2< /h2>

Sự tồn tính chất đa tạp quán tính< /h2>

2. 1 Định nghĩa đa tạp quán tính< /h3>

Theo... nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tiến hóa cấp 2, sinh cácphương trình hyperbolic phi tuyến

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tính chất đa tạp quántính

5 Phương pháp nghiên...

1

λ−N +1

(2. 1 .22 )

Do ta định nghĩa đa tạp quán tính sau:

Định nghĩa 2. 1.1 Đa tạp qn tính tốn (1 .2. 11) tập hợpcác mặt {Ms} không