Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A là điểm đối xứng của A qua C. Đường thẳng đi qua K, vuông góc với BC, cắt BC tại E và AB tại N ; 1 3 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết 0 AEB 45 , phương trình đường thẳng BK : x y 3 15 0 và B có hoành độ lớn hơn 3. Hướng dẫn giải. ♥ Bước 1: Dựng hình: Ta phát hiện tính chất quan trọng của bài toán chính là : NC BK . Đồng thời NFB vuông cân tại F. Ta nhận thấy để chứng minh NC BK thì ta chỉ cần chứng minh C là trực tâm tam giác KNB (dễ thấy KA AB CB NK , Đồng thời do ECAN là tứ giá nội tiếp nên ta có AEB CNB NFB vuông cân tại F với F BK NC . ♦ Bước 2: Nhận xét và phân tích: Viết phương trình , ?;? F BK NC NC qua N BK F Viết phương trình đường tròn F có tâm F, bán kính R NF Ta có: 3 ?;? B x B BK F B viết phương trình BN qua N vtcp BN ; : Ta có: K BK C CN 2 ẩn nên cần 2 phương trình ? . 0 CK BN C latrung diem AK A BN KC BN KC u ♣ Bước 3: Trình bày lời giải: (các phần chứng minh, bạn đọc xem ở dựng hình) Ta có: NC BK NC x y m : 3 0, NC qua N m NC x y 1;3 10 : 3 10 0 Gọi F BK NC tọa độ F thỏa hệ 3 15 0 7 9 ; 3 10 0 2 2 x y F x y Ta có: 0 AEB CNB ECAN latgnt 45 BNF BNF F vuông cân tại F NF FB Nên phương trình đường tròn tâm F, R NF là 2 2 7 9 45 : 2 2 2 F x y Lại có: B BK F tọa độ B thỏa hệ 2 2 7 9 45 5, 0 2 2 2 2, 9 3 15 0 x y x y x y x y do B có hoành độ lớn hơn 3 nên ta nhận B5; 0 . Phương trình BN qua B5;0 nhận BN 6;3 3 2; 1 làm véctơ chỉ phương có dạng là: 5 : 2 5 0 2 1 x y BN x y . GROUP TOÁN 3K HÌNH HỌC PHẲNG OXY MR.LAFO Ta có: ;15 3 . 3 10; K BK K k k C CN C c c Do C là trung điểm AK nên ta có A c k c k BN c k 6 20 ; 2 15 3 2 11 0 1 Mặt khác, KC BN KC BN c k . 0 1 0 2 Từ 4 2; 4 1 ; 2 3 1; 2 c C k A Vậy tọa độ các điểm cần tìm là: A B C 1; 2 , 5; 0 , 2; 4
Trang 1THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI – CHUYÊN ĐỀ OXY – PHẦN 2
Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , gọi F thuộc cạnh AB
sao cho 7BF5FA với 13 3
6 2
F ;
, phương trình đường thẳng EG :11x7y 6 0 E là trung điểm cạnh AD,G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết B có tung độ âm
Trích đề thi HSG12 THPT Quảng Xương II , Thanh Hóa, 2016
■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)
Ta phát hiện EGFG Để chứng minh
ta áp dụng hệ trục tọa độ mới là Dxy với
CD a a Khi đó tọa độ các điểm
sẽ là:
0; , ; , ; 0
,
2 2
A a B a a C a
a
Do đó:
2
;
3 6
17
;
a a EG
GB GB
■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải
Do FGEG viết phương trình FG qua F ;EGG FG EG G ?; ?
Ta có tọa độ F& G độ dài FGAB?
Khi đó tọa độ B thỏa mãn 0 125
5
2 3
y
Do G là trọng tâm tam giác ABCC ?; ? AB DC D ?; ?
■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có FGEGFG: 7x11ym0 FG qua 13 3; 4 : 21 33 4 0
Trang 2GFGEG tọa độ G thỏa mãn hệ
1
;
3
x
G
y
AB
Gọi B a b Ta có tọa độ B thỏa mãn ;
2
2
125
18
FB
13 169 ,
Do y B 0 B 3; 1
12 5 3
5 6 12
1; 5
1
5 2
A
A
x
y
Do G là trọng tâm tam giác ABCC3; 3 Ta có 3 2
5; 3
3 6
D
D
x
y
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A1; 5 , B 3; 1 , C 3; 3 , D 5; 3
■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy)
Trang 3Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm K , M là điểm di
động trên cạnh AB Trên cạnh AD,BC lần lượt lấy điểm E,F sao cho AMAE,BM BF , phương trình EF : x 2 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABH là x2y24x2y15 0 và A,H đều có tung độ dương
Trích đề TTL6, Group Toán thầy Mẫn Ngọc Quang, năm 2016
■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)
Có 2 tính chất hình học quan trọng ta cần lưu ý và chứng minh đó là:
* ABH vuông tại H và MH chính là
tia phân giác của góc AHB.
* Khi M di động trên cạnh AB thì ta luôn
có EF luôn đi qua tâm của hình vuông ABCD
Ở đây, để chứng minh các tính chất trên, tác giả xin trình bày hai cách thông dụng sau:
+ Cách 1: (Thuần túy hình học)
Ta có: AMHE MBFH, là các tứ giác nội
45
o
Suy ra AMH MHB900 nên ta có
AHHB AHB vuông tại H và đồng thời MH là tia phân giác trong của góc AHB.
Mặt khác, ta có : KABH (do AKB90 )o đồng thời K là trung điểm EF nên giao điểm thứ hai của ABH với đường thẳng EF.
+ Cách 2: (sử dụng hệ trục tọa độ mới) Dựng hệ trục tọa độ Axy như hình vẽ và đặt AM a a 0
, MB1. Khi đó tọa độ các điểm là A 0; 0 ,B a1; 0 , F a 1; 1 , E 0;a M a , ; 0
Ta có EF qua E0;a, nhận EFa1;a1 làm vtcp có dạng là :
y a x
Lại có MHEFMH a: 1 x a1y m 0. MH qua M a ; 0 m a a 1 nên
MH : a1 x a1 y a a 1
Trang 4Khi đó tọa độ H là nghiệm của hệ :
2
;
H
Xét :
2
2
Đồng thời hình vuông ABCD có tâm 1; 1
K EF
khi M di động trên cạnh AB thì EF ,
luôn đi qua tâm K
■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải
MHEF K H ABH EF K H
Viết phương trình đường thẳng AB qua E la trung diem AB ,KE
A; B
A
y A K la trung diem AC BD C
■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH có tâm E2;1 là trung điểm AB R, 2 5
Ta có tọa độ ,K H thỏa mãn hệ: 2 2
2; 3
2 0
x
Do y H 0 nên ta nhận K2; 1 , H 2; 3
Ta có đường thẳng AB qua E2;1 nhận EK4; 2 2 2; 1 làm vtpt có phương trình:
AB x y AB x y
Khi đó, tọa độ ,A B thỏa mãn hệ 2 2
0; 5
x y
Do y A 0 nên ta nhận A 0; 5 ,B 4; 3
Do K là tâm hình vuông nên ta có C4; 7 , D 8; 1
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A 0; 5 ,B 4; 3 , C 4; 7 , D 8; 1
■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy)
Trang 5Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao nhất trong kì thi sắp tới !
Gmail: windylamphong@gmail.com Facebook: http://facebook.com/lamphong.windy
Group Toán 3[K]
Thầy Lâm Phong – Mr.Lafo